高中数学外接球问题

高中数学外接球问题~

答案挺坑的，他的意思是先求出△abc的外接圆，注意是△abc不是三棱柱，至于2/3×absin60°是一个公式(正三角形求外接圆半径公式)，后面的步骤是用了相似的原理求得△abc外接圆与球心的距离为1，算出球的半径，应为中间省略步骤过多，下面是我的证明过程，手机上打的，自己在纸上实现一下。

做ad⊥bc，d在bc上，做∠dba的角平分线，交ad于e，因为abc是正△，所以ad是bc的中垂线，be是ac的中垂线，所以e为△abc外接圆圆心(不是球心)，因为ad⊥bc，且abc是正△，所以d是bc中点，bd=1/2×bc=√3，ad=√(ab²-bd²)=3，因为be平分∠dba，所以∠dbe=30°，所以de=bd×tan∠dbe=1(三角函数，不要告诉我你不会)，所以△abc外接圆半径ae=ad-de=2，做ad延长线交球于f点，连接pf，因为af是△abc的外接圆的直径，所以af=2ae=4，因为pa⊥△abc，所以pa⊥ad，所以pa⊥af，所以pf是球的直径(这里是一个定理，圆上三点构成直角三角形，则三角形的斜边必过圆心)，pf=√(af²+pa²)=2√5，则球的半径r=√5，球的表面积公S=4πr²=20π

如图，9π，选B

考虑 ABC 所在的平面与球的截面如下左图，做直径 XP，与BC垂直，连接CP，BP，

由于圆周角是所对弧度数的一半，知道 角 CPB = （360 - 120 * 2）/2 = 60度，

由XP平分BC，知道CPB为正三角形，则CP=BP = 2 sqrt(3), 

且 角CPX = 30度；又XP为直径，则XCP必为直角，则可以简单计算的XP = CP /cos(30) = 4 

 

再考虑过SA，和左下圆圆心O的平面，截球面如下右图，其中O为左图截面之圆心。

 

易知 XP = AP‘ = 4，再考虑到SA垂直于平面ABC，O在ABC平面上，知SA垂直于AO，即SA垂直于AP'.

即 SAP'是直角三角形，可以计算出SP为2 sqrt(5), 

又SAP'是直角，则SP’为截面圆的直径。由于平面SAP‘垂直于ABC在所的圆，且O是球心在ABC上的投影，则SAP’必过球心，可知SP为球直径。

 

即球半径 为sqrt(5)，知道球的表面积为 S = 4 pi r^2 = 20 pi 

主要思路就是求球体的半径。
过C做一直线垂直面ABC，交球面于S'，则S'C=SA(如果有必要证明的话，可以将平面ACS'S上的球截面单拿出来证明一下，用圆周角定理和全等)
连接BS'，过它的中点D做直线L1.
然后过平面ABC所在的圆截面的中点O'做直线L2.
设BC中点为F，易证DF平行L2，OF平行L1，所以L1，L2可以相交，并设相交点为O，O为球体中心。运用圆周角定理，易得O'F=1，DF=1，FC=根号3，所以OF=根号5
球表面积为20π

∠BAC=120°；BC=2√3由正弦定理：BC/∠BAC=2r 得：r=2r 为∆BAC所在截面圆的半径。过A在∆BAC所在截面圆上作直径，直径过圆心O＇，设直径的另一端点为A＇。又∵SA⊥面ABC，显然也有OO＇⊥面ABC，∴SA∥OO＇……①且∆SAA＇为直角三角形……②由①②知，球心O在Rt∆SAA＇所在的面上，∴Rt∆SAA＇所在的截面为大圆，其实也可发现球心O为SA＇的中点。∴R=|SA＇|/2 =√(SA²+AA＇²)/2 =√(2²+4²)/2 =√5∴ S表=4πR²=20π
评论 | 0 0
2012-11-18 17:24qwe123397 | 七级
∠BAC=120°；BC=2√3由正弦定理：BC/∠BAC=2r 得：r=2r 为∆BAC所在截面圆的半径。过A在∆BAC所在截面圆上作直径，直径过圆心O＇，设直径的另一端点为A＇。又∵SA⊥面ABC，显然也有OO＇⊥面ABC，∴SA∥OO＇……①且∆SAA＇为直角三角形……②由①②知，球心O在Rt∆SAA＇所在的面上，∴Rt∆SAA＇所在的截面为大圆，其实也可发现球心O为SA＇的中点。∴R=|SA＇|/2 =√(SA²+AA＇²)/2 =√(2²+4²)/2 =√5

∠BAC=120°；BC=2√3
由正弦定理：BC/∠BAC=2r 得：r=2
r 为∆BAC所在截面圆的半径。
过A在∆BAC所在截面圆上作直径，直径过圆心O＇，设直径的另一端点为A＇。

又∵SA⊥面ABC，显然也有OO＇⊥面ABC，

∴SA∥OO＇……①
且∆SAA＇为直角三角形……②
由①②知，球心O在Rt∆SAA＇所在的面上，
∴Rt∆SAA＇所在的截面为大圆，其实也可发现球心O为SA＇的中点。

∴R=|SA＇|/2 =√(SA²+AA＇²)/2 =√(2²+4²)/2 =√5

∴ S表=4πR²=20π

∠BAC=120°；BC=2√3
由正弦定理：BC/∠BAC=2r 得：r=2
r 为∆BAC所在截面圆的半径。
过A在∆BAC所在截面圆上作直径，直径过圆心O＇，设直径的另一端点为A＇。

又∵SA⊥面ABC，显然也有OO＇⊥面ABC，

∴SA∥OO＇……①
且∆SAA＇为直角三角形……②
由①②知，球心O在Rt∆SAA＇所在的面上，
∴Rt∆SAA＇所在的截面为大圆，其实也可发现球心O为SA＇的中点。

∴R=|SA＇|/2 =√(SA²+AA＇²)/2 =√(2²+4²)/2 =√5

∴ S表=4πR²=20π赞同0|评论 检举|今天 06:33热心网友

---

云溪区15225619091： 高中数学/正三棱锥的外接球问题.急```正三棱锥底面边长为a,高为h,求其外接球的半径(用a,h表示) - ？
悟舒木香：[答案] 设凌锥为P-ABC,底面一条高线为AD,底面中心为M,内接球心为O,则AB=a,PM=h, AM=AD*2/3,AD=a*根3/2,在直角三角形OAM中,OA^2=OM^2+AM^2,即: r^2=(h-r)^2+(根3a/3)^2. 整理化简,自己可以进行吧?

云溪区15225619091： 高中数学外接球问题 - ？
悟舒木香： 答案挺坑的,他的意思是先求出△abc的外接圆,注意是△abc不是三棱柱,至于2/3*absin60°是一个公式(正三角形求外接圆半径公式),后面的步骤是用了相似的原理求得△abc外接圆与球心的距离为1,算出球的半径,应为中间省略步骤过...

云溪区15225619091： 高中数学立体几何外接球问题三棱锥S - ABC中,底面ABC为等边三角形,D为SC的中点,且有AD=DB - ？
悟舒木香：[答案] AO=3 AB=√3*AO′ 高DO′=√2*AO′ △AOO′中 3²=AO′²+(√2*AO′-3)² AO′=2√2 则正四面体的高DO′=4 则三棱锥的高=2DO′=8 AB=√3AO′=2√6 V=1/3*1/2*AB²sin60°*8=16√3

云溪区15225619091： 高中数学题 求几何体外接球 - ？
悟舒木香： 选A,在侧视图右下角点作一条垂线与根号三的那条边垂直,所得新的直角三角形的外接圆就是大圆,其半径就是球的半径

云溪区15225619091： 高中数学外接球 - ？
悟舒木香： 等腰直角ΔABC的外接圆,直径就是斜边,√6,半径√6/2 高√2/4,一半是√2/8, 外接球半径R=√[(√6/2)²十(√2/8)²] = √[(6/4)十(2/64)] = √[(48/32十1/32] =√(49/32)

云溪区15225619091： 高中数学已知正方体棱长为1则正方体外接球的体积为 - ？
悟舒木香：[答案] 要求外接球的体积则要知道外接球的半径 而正方体的体对角线则正是它的直径,所以转化为求正方体的体对角线 = 根号下( 2^2+2^2+2^2)=2根号3 所以外接球半径为根号3 所以体积为3π

云溪区15225619091： 高中数学几何外接球 - ？
悟舒木香： 共顶点A的三条棱两两相互垂直,你就应该想到一个方法,就是把这个图形补成长方体,长方体的体对角线就是球的直径,这样你会了吧. 直径的平方为1+6+9=16 半径为2 表面积为4π*2的平方为16π

云溪区15225619091： (数学)外接球的问题该怎么理解? - ？
悟舒木香： 性质:球心与任一截面圆心的连线垂直于截面.反之,任一截面通过圆心的垂线穿过球心.(类比于初中平面几何中圆的垂径定理) 打开百度App,看更多图片 球中的＂垂径定理＂ 方法归纳:理解以上性质,相当于掌握找球心的方法.首先找几何...

云溪区15225619091： 高中数学几何问题关于外接球 - ？
悟舒木香： 1、求棱长为1的正四面体外接球的体积 解析:∵正四面体为A-BCD 过A作AO⊥面BCD交面BCD于O,O是BCD的中心 连接BO BO = √3/2*2/3=√3/3 ∵AB =1 由勾股定理AO^2=1-1/3=2/3==>AO=√6/3 设外接球半径为R,球心O'必在AO上 连接...

云溪区15225619091： 高中数学几何外接球四面体ABCD中,共顶点A的三条棱两两相互垂直,且其长分别为1、√6、3,若四面体ABCD的四个顶点同在一个球面上,则这个球的表... - ？
悟舒木香：[答案] 共顶点A的三条棱两两相互垂直,你就应该想到一个方法,就是把这个图形补成长方体,长方体的体对角线就是球的直径,这样你会了吧. 直径的平方为1+6+9=16 半径为2 表面积为4π*2的平方为16π