【课程总结】对伊藤微分公式和Black-Scholes公式的理解

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这篇文章其实是这两周学完Brown运动这一章后老师布置的课程论文，写的比较数学，但是不太严谨。好多地方我没看懂的也就没写上去。主要是对定义和公式的理解，梳理了一下Black-Scholes方程的推导过程。主要参考了知乎大神 石川 的两篇文章（见文末）。
关于 几何布朗运动 的直观理解可以参看 随机微分方程（SDE）的蒙特卡洛模拟（Python实现） 和 几何布朗运动数值解的模拟

定义：随机过程 称为Brown运动，如果它满足如下三个条件：

若 则称其为标准Brown运动。

从定义我们可以知道：

1.标准Brown运动在 时的状态为 ；

2.可以推出Brown运动是一个 马尔科夫过程 ，任意 时刻之后的状态仅和 时刻的状态有关，而与历史无关，另外还可以证明它是 鞅过程 和 正态过程 （即 高斯过程 ）；

3.在任何有限时间区间内标准Brown运动的变化服从均值为0，方差为 的正态分布 ， 而且其方差会随着时间区间长度线性增加 。

一些简单的不变性列举。

若 是 标准Brown运动 ，则

(1)对称性：

(2)起点变换：

(3)尺度变换：

(4)时间倒置：

(5)时间反向：

也是 标准Brown运动 。

对于任给的正数M，有

这可能是最好理解的性质：Brown运动是连续的，但它在任一点 的导数有限的概率为0，i.e，对几乎每条样本轨道上任意一点 ，其导数不存在，也就是说 固定 ，Brown运动不可导 。进一步可以证明 Brown运动处处不可微 （证明没啃清白）。

对书上其他的性质理解不是很深，所以来说一下在别的地方看到的性质。

(1) Brown运动的轨迹会频繁的穿越时间轴 ，即在时间轴上下波动，这一点其实就是书上对 Brown运动每个状态 都常返（a是零常返） 的证明

(2) 在任意时刻 ，它的位置 不会偏离 正负一个标准差（ ） 太远

这个概念从别的地方看的，书上只讲了 Brown运动的二次变差过程 ，也就是

定义：

考虑时间区间 和该区间内的一个划分 ， 则对于任意一个连续函数 ，它的二次变分（quadratic variation）定义为：

推论：

对于一个连续且在 上处处可微的函数 ，可以由中值定理得出

由此，对区间 分割足够细时， ，函数 的二次变分为

把上述 换成 即可，Brown运动的二次变分：

但推论有变化:

即，对区间 分割足够细时， ，随机过程 的二次变分为 （区间长度），而不是0

理解：

对于 Brown运动 ，其非零的二次变分说明 随机性使得它的波动太频繁 ，以至于不管我们如何细分区间 、得到多么微小的划分区间，这些微小区间上的 位移差的平方逐段累加起来的总和(二次变分的几何意义) 都不会消失（即二次变分不为0），而是等于这个 区间的长度

综上，Brown运动的二次变分公式也可以写成 ，这是 伊藤微分公式 推导的关键。

如何理解这个式子呢？先将其写成增量的形式：

对比一般的确定性函数 增量和微分的关系：

我们发现Brown运动的增量与 成正比，与一般的确定性函数 增量和微分的关系不同的是， Brown运动的增量和微分不再具有线性关系 ，也就表明在Brown的样本轨道的任意一点附近不能“以直代曲”。这也构成了随机微分方程和确定性微分方程的本质区别。

若函数 在点 的某领域 上有直到 阶的连续偏导数，则对 内任一点 ，存在相应的 ，使得

其中，

若只需求 ，则只需 在 内存在直到 阶连续偏导数，便有

这个公式将帮助我们导出 伊藤微分公式

设实函数 关于 有二阶连续偏导数，关于 有一阶连续偏导数，若 是参数为 的Brown运动，则

书上给出的证明条件是 关于 和 都有二阶连续偏导数。

证明思路是对 进行泰勒展开，展到二阶，然后处理掉其中的无穷小项。具体过程就不摆了，简单的写一下思路以及理解了的点吧。

(1)从 到

前者显然是直观的微分形式，但由于Brown运动处处不可导，所以这样的微分是不可行的；

后者绕开了 ，但是这样也是错误的，这是由于 Brown运动的二次变分非零 。当我们用泰勒展开写出它的前两项时，就明白为什么后者也是不可行了。

(2)要展开到二阶的原因

由一般函数的泰勒展开：

从第二项开始 都是 的 高阶无穷小 ，所以可以略去，只留第一项，

而 Brown运动 则不行，二阶偏导会出现 ，不再是高阶无穷小，所以 无法略去 ；

(3)无穷小项的处理

， ， ，第三个显然，第一个和第二个用到了前面的 2.3 和 2.4 。

扩散方程模型：

其中 和 是 和 的函数。

令 ，推导随机过程 满足的随机微分方程：

将 代入上面方程，其中，

忽略高阶无穷小项，可得：

从这里也可以感受到随机微分方程的解往往是先猜解后验证。

设随机过程 满足

其中 为常数， 为标准Brown运动，满足上述微分方程的解称为几何Brown运动。

在这里给出其解：

这里省略介绍 公式的经济学背景，从数学上看， 公式其实就是在思考如何消除 。

满足SDE：

满足SDE：

定义证券组合价值为 ，其满足：

将 和 代入上式，可得：

这里 被抵消掉了，也就是消去了瞬时收益率的风险项。

在不存在无风险套利的市场中，该投资组合的瞬时收益率 必须等于无风险收益率 ，即

将 和 代入上式，可得：

化简得：

上式称为 微分方程。

[参考资料]

《随机过程 方兆本 第三版》

布朗运动、伊藤引理、BS公式（前篇）

布朗运动、伊藤引理、BS公式（后篇）

经济金融系列学习：伊藤引理

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