【课程总结】对伊藤微分公式和Black-Scholes公式的理解
这篇文章其实是这两周学完Brown运动这一章后老师布置的课程论文,写的比较数学,但是不太严谨。好多地方我没看懂的也就没写上去。主要是对定义和公式的理解,梳理了一下Black-Scholes方程的推导过程。主要参考了知乎大神 石川 的两篇文章(见文末)。
关于 几何布朗运动 的直观理解可以参看 随机微分方程(SDE)的蒙特卡洛模拟(Python实现) 和 几何布朗运动数值解的模拟
定义:随机过程 称为Brown运动,如果它满足如下三个条件:
若 则称其为标准Brown运动。
从定义我们可以知道:
1.标准Brown运动在 时的状态为 ;
2.可以推出Brown运动是一个 马尔科夫过程 ,任意 时刻之后的状态仅和 时刻的状态有关,而与历史无关,另外还可以证明它是 鞅过程 和 正态过程 (即 高斯过程 );
3.在任何有限时间区间内标准Brown运动的变化服从均值为0,方差为 的正态分布 , 而且其方差会随着时间区间长度线性增加 。
一些简单的不变性列举。
若 是 标准Brown运动 ,则
(1)对称性:
(2)起点变换:
(3)尺度变换:
(4)时间倒置:
(5)时间反向:
也是 标准Brown运动 。
对于任给的正数M,有
这可能是最好理解的性质:Brown运动是连续的,但它在任一点 的导数有限的概率为0,i.e,对几乎每条样本轨道上任意一点 ,其导数不存在,也就是说 固定 ,Brown运动不可导 。进一步可以证明 Brown运动处处不可微 (证明没啃清白)。
对书上其他的性质理解不是很深,所以来说一下在别的地方看到的性质。
(1) Brown运动的轨迹会频繁的穿越时间轴 ,即在时间轴上下波动,这一点其实就是书上对 Brown运动每个状态 都常返(a是零常返) 的证明
(2) 在任意时刻 ,它的位置 不会偏离 正负一个标准差( ) 太远
这个概念从别的地方看的,书上只讲了 Brown运动的二次变差过程 ,也就是
定义:
考虑时间区间 和该区间内的一个划分 , 则对于任意一个连续函数 ,它的二次变分(quadratic variation)定义为:
推论:
对于一个连续且在 上处处可微的函数 ,可以由中值定理得出
由此,对区间 分割足够细时, ,函数 的二次变分为
把上述 换成 即可,Brown运动的二次变分:
但推论有变化:
即,对区间 分割足够细时, ,随机过程 的二次变分为 (区间长度),而不是0
理解:
对于 Brown运动 ,其非零的二次变分说明 随机性使得它的波动太频繁 ,以至于不管我们如何细分区间 、得到多么微小的划分区间,这些微小区间上的 位移差的平方逐段累加起来的总和(二次变分的几何意义) 都不会消失(即二次变分不为0),而是等于这个 区间的长度
综上,Brown运动的二次变分公式也可以写成 ,这是 伊藤微分公式 推导的关键。
如何理解这个式子呢?先将其写成增量的形式:
对比一般的确定性函数 增量和微分的关系:
我们发现Brown运动的增量与 成正比,与一般的确定性函数 增量和微分的关系不同的是, Brown运动的增量和微分不再具有线性关系 ,也就表明在Brown的样本轨道的任意一点附近不能“以直代曲”。这也构成了随机微分方程和确定性微分方程的本质区别。
若函数 在点 的某领域 上有直到 阶的连续偏导数,则对 内任一点 ,存在相应的 ,使得
其中,
若只需求 ,则只需 在 内存在直到 阶连续偏导数,便有
这个公式将帮助我们导出 伊藤微分公式
设实函数 关于 有二阶连续偏导数,关于 有一阶连续偏导数,若 是参数为 的Brown运动,则
书上给出的证明条件是 关于 和 都有二阶连续偏导数。
证明思路是对 进行泰勒展开,展到二阶,然后处理掉其中的无穷小项。具体过程就不摆了,简单的写一下思路以及理解了的点吧。
(1)从 到
前者显然是直观的微分形式,但由于Brown运动处处不可导,所以这样的微分是不可行的;
后者绕开了 ,但是这样也是错误的,这是由于 Brown运动的二次变分非零 。当我们用泰勒展开写出它的前两项时,就明白为什么后者也是不可行了。
(2)要展开到二阶的原因
由一般函数的泰勒展开:
从第二项开始 都是 的 高阶无穷小 ,所以可以略去,只留第一项,
而 Brown运动 则不行,二阶偏导会出现 ,不再是高阶无穷小,所以 无法略去 ;
(3)无穷小项的处理
, , ,第三个显然,第一个和第二个用到了前面的 2.3 和 2.4 。
扩散方程模型:
其中 和 是 和 的函数。
令 ,推导随机过程 满足的随机微分方程:
将 代入上面方程,其中,
忽略高阶无穷小项,可得:
从这里也可以感受到随机微分方程的解往往是先猜解后验证。
设随机过程 满足
其中 为常数, 为标准Brown运动,满足上述微分方程的解称为几何Brown运动。
在这里给出其解:
这里省略介绍 公式的经济学背景,从数学上看, 公式其实就是在思考如何消除 。
满足SDE:
满足SDE:
定义证券组合价值为 ,其满足:
将 和 代入上式,可得:
这里 被抵消掉了,也就是消去了瞬时收益率的风险项。
在不存在无风险套利的市场中,该投资组合的瞬时收益率 必须等于无风险收益率 ,即
将 和 代入上式,可得:
化简得:
上式称为 微分方程。
[参考资料]
《随机过程 方兆本 第三版》
布朗运动、伊藤引理、BS公式(前篇)
布朗运动、伊藤引理、BS公式(后篇)
经济金融系列学习:伊藤引理
【课程总结】对伊藤微分公式和Black-Scholes公式的理解
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