因式分解公式及概念

因式分解公式及概念~

因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式.
⑴提公因式法
①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.。
am＋bm＋cm＝m（a+b+c）
③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.
⑵运用公式法
①平方差公式：.
a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)
②完全平方公式：
a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2
※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.
③立方和公式：a^3+b^3＝
(a+b)(a^2-ab+b^2).
立方差公式：a^3-b^3＝
(a-b)(a^2+ab+b^2).
④完全立方公式：
a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3
⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]
a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)
⑶分组分解法
分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.
分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.
⑷拆项、补项法
拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.

因式分解公式：

平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²
完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²
把式子倒过来：
(a+b)(a-b)=a²-b²
a²±2ab+b²= (a±b)²
就变成了因式分解，因此，我们把用利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方法称之为公式法。
例：
1、25-16x²=5²-(4x)²=(5+4x)(5-4x)
2、p4-1
=(p²+1)(p²-1)
=(p²+1)(p+1)(p-1)
3、x²+14x+49
=x²+2·7·x+7²
=(x+7)²
4、(m-2n)²-2(2n-m)(m+n)+(m+n)²
=(m-2n)²+2(m-2n)²(m+n)+(m+n)²
=[(m-2n)+(m+n)]²
=(2m-n)²
扩展资料
注意点：
1、如果多项式的首项为负，应先提取负号；
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。
2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；
要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。
参考资料来源：百度百科-因式分解

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

1．运用公式法

　　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

　　(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；

　　(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；

　　(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

　　(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

　　下面再补充几个常用的公式：

　　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

　　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

　　(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；

　　(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；

　　(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．

　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

　　

例1 分解因式：a3+b3+c3-3abc．

　　本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．

　　分析 我们已经知道公式

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

　　的正确性，现将此公式变形为

a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．

　　这个公式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

　　解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc

　　　　　 =［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)

　　　　　 =(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)

　　　　　 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．

　　　　　

2．拆项、添项法

　　因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

　　

例2 分解因式：x3-9x+8．

　　分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．

　　解法1 将常数项8拆成-1+9．

　　原式=x3-9x-1+9

　　　　=(x3-1)-9x+9

　　　　=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)

　　　　=(x-1)(x2+x-8)．

　　解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．

　　原式=x3-x-8x+8

　　　　=(x3-x)+(-8x+8)

　　　　=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

　　　　=(x-1)(x2+x-8)．

　　解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．

　　原式=9x3-8x3-9x+8

　　　　=(9x3-9x)+(-8x3+8)

　　　　=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)

　　　　=(x-1)(x2+x-8)．

　　解法4 添加两项-x2+x2．

　　原式=x3-9x+8

　　　　=x3-x2+x2-9x+8

　　　　=x2(x-1)+(x-8)(x-1)

　　　　=(x-1)(x2+x-8)．

　　说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．

3．换元法

　　换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

　　例3 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．

　　分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．

　　解 设x2+x=y，则

　　原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10

　　　　=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)

　　　　=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．

　　说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．

　　4、双十字相乘法

　　分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．

　　例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，

　　可以看作是关于x的二次三项式．

　　对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

　　

　　

　　(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；

　　(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；

　　(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．

　　这就是所谓的双十字相乘法．

　　用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

　　(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；

　　(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

　　

例4 分解因式：

　　x2-3xy-10y2+x+9y-2

解：

　原式=(x-5y+2)(x+2y-1)

因式分解公式

公式描述：

式一为平方差公式，式二为完全平方公式，式三为立方差公式，式四为立方和公式，式五为十字相乘法公式。

因式分解的概念：

把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。

提公因式
运用公式
十字相乘
拆项、添项

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占叛加衡：[答案] (一)运用公式法: 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形.如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式.于是有: a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式...

景德镇市19699229568： 分解因式的概念,越多越好 - ？
占叛加衡：[答案] 归纳方法:1、提公因式法.2、公式法.3、分组分解法.4、凑数法.5、组合分解法.6、十字相乘法.7、双十字相乘法.8、配方法.9、拆项法.10、换元法.11、长除法.12、加减项法.13、求根法.14、图象法.15、主元法.16、待定系数法.17、特殊值法.18、...

景德镇市19699229568： 什么叫做因式,什么叫做因式分解 - ？
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