一个简单的不等式问题
其实用代入法就可以看清楚了：
x=-4时，有（-4）²=16>0
x²≤16
x²-16≤0
（x+4）（x-4）≤0
-4≤x≤4
请理解以上解答
设3x+y=m(x+y)+n(x-y)
=(m+n)x+(m-n)y
等式恒成立,则
(m+n)=3
(m-n)=1
m=2,n=1
这样,3x+y=2(x+y)+(x-y)
由3≤x+y≤4得,6≤2(x+y) ≤8
又 1≤x-y ≤2
得 7≤2(x+y)+(x-y)≤10
即7≤3x+y≤10
1）、利用恒等边形
3≤x+y≤4
所以 6≤2x+2y≤8
因为 1≤x-y≤2
所以 7≤3x+y≤10
（2）、利用图像
把不等式拆成4个：
3≤x+y
x+y≤4
1≤x-y
x-y≤4
即：y≥-x+3, y≤-x+4, y≤x-1, y≥x-4
在直角坐标系中作出它们的图像，是4根直线围成的正方形及其内部
正方形顶点是(2, 1), (5/2, 1/2), (5/2, 3/2), (3, 1)
因为都是一次函数
所以要求3x+y的取值范围，只需代入四个点的坐标进行计算
所以 7≤3x+y≤10 (分别是最左和最右的顶点)
x+y取最小时不是默认x-y也最小,事实是,在那个时候它就是最小...
老师的说法,在同相相加时,举例:如果两式相加在除2,求得X的范围那肯定是对的,但如何求Y的范围,两式相减??那肯定是错的嘛,但如果你把2式取个负号,即:求-(x-y)的范围,则它的范围应该倒一倒(比大的小,比小的大),然后你在和1式相加,除以2求得y的范围,那肯定也是正确的,且非常合理.然后你在x的范围上乘以3,然后在加上刚算得的y范围,这样的计算方法也是正确的.所以我估计老师所说错误的原因可能就在这里,不能把x,y同概而论,两者方法不一,怕你们弄错了..
现讨论老师讲的另外一种方法:把3x+y拆成2(x+y)+(x-y),原因在于,知道了x+y和x-y的范围后2(x+y)和x-y的范围当然变的已知,两者相加求得的范围即是答案.LZ的想法可能有点错误,因为现在我们把x+y,x-y看成的是一个整体,所求的3x+y又是另一个整体,而这两者跟x和y现在已经没关系了,因为我们已经知道了各个整体的范围.
如果LZ还未明白,还可以举个更加形象的例子:
现在我们抛开x和y,把题目重新定义一下,说
3小于等于A小于等于4
1小于等于B小于等于2
求2A+B的范围
好了现在LZ应该稍微有点明白其实x+y与x-y一旦范围确定,其实就和x,y没多少内在的联系了把.但话说回来,其实两者如果有那么点关系的话,就是说在求解题目时,如果你用的方法不怎么好,什么先求出x啊,再求出y啊,那就是你把原来给的已知,拆了开来,所以两者就联系上了..
x+y取最小时不是默认x-y也最小,事实是,在那个时候它就是最小...
老师的说法,在同相相加时,举例:如果两式相加在除2,求得X的范围那肯定是对的,但如何求Y的范围,两式相减??那肯定是错的嘛,但如果你把2式取个负号,即:求-(x-y)的范围,则它的范围应该倒一倒(比大的小,比小的大),然后你在和1式相加,除以2求得y的范围,那肯定也是正确的,且非常合理.然后你在x的范围上乘以3,然后在加上刚算得的y范围,这样的计算方法也是正确的.所以我估计老师所说错误的原因可能就在这里,不能把x,y同概而论,两者方法不一,怕你们弄错了..
现讨论老师讲的另外一种方法:把3x+y拆成2(x+y)+(x-y),原因在于,知道了x+y和x-y的范围后2(x+y)和x-y的范围当然变的已知,两者相加求得的范围即是答案.LZ的想法可能有点错误,因为现在我们把x+y,x-y看成的是一个整体,所求的3x+y又是另一个整体,而这两者跟x和y现在已经没关系了,因为我们已经知道了各个整体的范围.
如果LZ还未明白,还可以举个更加形象的例子:
现在我们抛开x和y,把题目重新定义一下,说
3小于等于A小于等于4
1小于等于B小于等于2
求2A+B的范围
好了现在LZ应该稍微有点明白其实x+y与x-y一旦范围确定,其实就和x,y没多少内在的联系了把.但话说回来,其实两者如果有那么点关系的话,就是说在求解题目时,如果你用的方法不怎么好,什么先求出x啊,再求出y啊,那就是你把原来给的已知,拆了开来,所以两者就联系上了..
讲了很多,只为LZ能够真的明白..
楼下真可耻,愧对二级的见习魔法师
当然是老师的解法对呀
3X+Y=2(X+Y)+(X-Y)
因为两个不等式都是同一个方向的，两个相加，可以直接相加，最小的加最小的还是相加中最小的，最大的加上最大的是相加的中最大的，其他任何情况都要包含在这种情况里面，举个简单的例子
比如2＜x＜3,1＜y＜4,求x+2y的区间
那么2+1*2＜x+2y＜3+2*4，所以4＜x+2y＜11
不论你取任何情况，都肯定包含中这个范围之内
所以你们老师的解答是对的，这是个典型的题目，要认真理解，一不小心就会走进误区
3*2+1＜3X+Y=2(X+Y)+(X-Y)＜4*2+2
7＜3X+Y＜10
两种方法：
（1）、利用恒等边形
3≤x+y≤4
所以 6≤2x+2y≤8
因为 1≤x-y≤2
所以 7≤3x+y≤10
（2）、利用图像
把不等式拆成4个：
3≤x+y
x+y≤4
1≤x-y
x-y≤4
即：y≥-x+3, y≤-x+4, y≤x-1, y≥x-4
在直角坐标系中作出它们的图像，是4根直线围成的正方形及其内部
正方形顶点是(2, 1), (5/2, 1/2), (5/2, 3/2), (3, 1)
因为都是一次函数
所以要求3x+y的取值范围，只需代入四个点的坐标进行计算
所以 7≤3x+y≤10 (分别是最左和最右的顶点)
是可以的，你看，题目里面的x和y并没有规定是整数，所以，对于他们的取值，必定能取到x+y和x-y同时满足的最大值和最小值，你为什么说x+y取得最小值时x-y就不一定能取得最小值呢？同样的道理，当x+y取得最大值的时候，x-y也是可以取得最大值的，就相当于解了一个关于x和y的二元一次方程组，得到对应最大（小）值时的x和y，对不？你应该明白了吧？
如果题目对x和y本身有了限制，这样直接加减可能会导致范围扩大，想通了吧？
看来你还是一个挺爱思考的学生，努力学习！
我的回答对你有所帮助是我最大的心愿～！
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