数学分析求数列极限，5道题。求过程。
分给的太低了，题量又太大（又是非常简单的），我考试完后给你解答，如果你愿意加分的话！
【俊狼猎英】团队为您解答~
用定义证，
对任意小的正数εN1时，
同时有|an-a|<ε，|bn-b|<ε
从而|Σ(i=1~N1)aib[n+i-i]|<=Σ(i=1~N1)|ai|(|b|+ε)=A(常数，设为A)
|Σ(i=1~N1)bia[n+i-i]|<=Σ(i=1~N1)|bi|(|a|+ε)=B
|Σ(i=N1+1~n-N1)aib[n+i-i]/n-ab|
<=2N1|ab|/n+(n-2N1)(|a|ε+|b|ε+ε^2)/n
<2N1|ab|/n+2N1(|a|+|b|+1)ε/n+(|a|+|b|+1)ε
存在自然数N2，使得n>N2时
(A+B)/n<ε
2N1|ab|/n+2N1(|a|+|b|+1)ε/n<ε
从而|Σ(i=1~n)bia[n+i-i]/n-ab|
<=(A+B)/n+2N1|ab|/n+2N1(|a|+|b|+1)ε/n+(|a|+|b|+1)ε
<(|a|+|b|+3)ε
由定义即证
x^y：表示x的y次方
sqrt(x)：表示开根号x
sqrt(n,x)：表示开n次根号x
frac{x}{y}：表示以x为分子，y为分母的分数，即y分之x
lim就直接认定为n趋于无穷时候的情况吧。
(6)由于有公式:x^4-y^4=(x-y)(x^3+x^2*y+x*y^2+y^3)
所以，令x=sqrt(4,n^2+1),y=sqrt(n+1)。
代入，则原式化为frac{-2n*sqrt(n)}{x^3+x^2*y+x*y^2+y^3}
（这一步上面的-2n既是根据x^4-y^4算出来的，下面写起来比较复杂，就直接代入了）
然后你既然之前的题都会做，应该到这里也会了吧，和（5）是一样的道理。可以上下同时除以n*sqrt(n)。因为上下实际上关于n的次方数都是3/2，所以最后应该是剩一个常数的。最后得到-1/2.
方法肯定没错，得数不对的话跟我说一声，我得锻炼计算能力了……
(7)只要证明sqrt(n,1/n!)小于任意给定实数。就可以证明其极限为0.反证法。
即，假设存在k>0,使得对任意n，恒有sqrt(n,1/n!)>1/k，则1/n!>1/k^n。即对任意n，n！<k^n。明显当n足够大的时候会不成立。
所以矛盾。
所以对任意的k，有sqrt(n,1/n!)当n足够大的时候小于1/k。所以极限是0.
ps:写到这里突然发现也许最开始可以不用反证法，而直接找到使得sqrt(n,1/n!)小于1/k 的最小的N值，而这个序列是单调递减的很容易证明，所以就收敛到0了。
(8)
对式子做变换，由于1-1/n^2=(n^2-1)/n^2=(n-1)*(n+1)/n^2所以
原式=lim(frac{1*3}{2^2}*frac{2*4}{3^2}*frac{3*5}{4^2}*...*frac{(n+1)(n-1)}{n^2}）(大部分项都抵消掉了）
=lim(frac{n+1){2*n})
=1/2
这个你自己在纸上写一下写成分数形式就很容易看了。
(9)这道题明显答案是1啊……
就用夹逼定理好了sqrt(n,n)<sqrt(n,n*lgn)<sqrt(n,n^2)（当n足够大时成立）
而lim sqrt(n,n)=lim sqrt(n,n^2)=1这应该是已知的结论，任何一本写数学分析的书上面都应该有的。可以用伯努利不等式直接证明。
写起来不方便，先解释一下符号吧。
x^y：表示x的y次方
sqrt(x)：表示开根号x
sqrt(n,x)：表示开n次根号x
frac{x}{y}：表示以x为分子，y为分母的分数，即y分之x
lim就直接认定为n趋于无穷时候的情况吧。
(6)由于有公式:x^4-y^4=(x-y)(x^3+x^2*y+x*y^2+y^3)
所以，令x=sqrt(4,n^2+1),y=sqrt(n+1)。
代入，则原式化为frac{-2n*sqrt(n)}{x^3+x^2*y+x*y^2+y^3}
（这一步上面的-2n既是根据x^4-y^4算出来的，下面写起来比较复杂，就直接代入了）
然后你既然之前的题都会做，应该到这里也会了吧，和（5）是一样的道理。可以上下同时除以n*sqrt(n)。因为上下实际上关于n的次方数都是3/2，所以最后应该是剩一个常数的。最后得到-1/2.
方法肯定没错，得数不对的话跟我说一声，我得锻炼计算能力了……
(7)只要证明sqrt(n,1/n!)小于任意给定实数。就可以证明其极限为0.反证法。
即，假设存在k>0,使得对任意n，恒有sqrt(n,1/n!)>1/k，则1/n!>1/k^n。即对任意n，n！<k^n。明显当n足够大的时候会不成立。
所以矛盾。
所以对任意的k，有sqrt(n,1/n!)当n足够大的时候小于1/k。所以极限是0.
ps:写到这里突然发现也许最开始可以不用反证法，而直接找到使得sqrt(n,1/n!)小于1/k 的最小的N值，而这个序列是单调递减的很容易证明，所以就收敛到0了。
(8)
对式子做变换，由于1-1/n^2=(n^2-1)/n^2=(n-1)*(n+1)/n^2所以
原式=lim(frac{1*3}{2^2}*frac{2*4}{3^2}*frac{3*5}{4^2}*...*frac{(n+1)(n-1)}{n^2}）(大部分项都抵消掉了）
=lim(frac{n+1){2*n})
=1/2
这个你自己在纸上写一下写成分数形式就很容易看了。
(9)这道题明显答案是1啊……
就用夹逼定理好了sqrt(n,n)<sqrt(n,n*lgn)<sqrt(n,n^2)（当n足够大时成立）
而lim sqrt(n,n)=lim sqrt(n,n^2)=1这应该是已知的结论，任何一本写数学分析的书上面都应该有的。可以用伯努利不等式直接证明。
(10)
另Sn=原式，考虑2Sn-Sn。
你在纸上算一下就会发现，把2Sn和Sn中2的次方数相同的项合并之后，
原来Sn的第n项为(2n-1)/2^n,2Sn的(n+1)项为(2n+1)/2^n，相减得到1/2^(n-1)。
等比数列求和，得到
2Sn-Sn=Sn=1+frac{1-1/2^(n-1)}{1-1/2}。
所以limSn=3
然脸幼
睛寇猫
令
t
=
n^(1/n)
-
1
，由
n^(1/n)
>
1
，可得：t
>
0
；
则有：n
=
(1+t)^n
=
1+nt+n(n+1)t^2/2+...+t^n
>
n(n+1)t^2/2
，
可得：t^2
<
2/(n+1)
；
所以，0
<
t
<
√[2/(n+1)]
，
即有：0
<
n^(1/n)
-
1
<
√[2/(n+1)]
只要：
√[2/(n+1)]<ε或n>2/ε^2
所以：取n=[2&花订羔寡薏干割吮公经#47;ε^2],则当n>n时
n^(1/n)-1<ε
limn^(1/n)=1
怎么求数列极限?
1、定义法：根据数列极限的定义，如果存在某个实数A，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，对于所有的自然数n，都有an-A<ε成立，那么数列an的极限就是A。因此，可以通过直接验证这个定义来证明数列的极限存在。2、序列收敛法：如果数列an收敛于某个实数A，那么数列的极限就是A。因此...
求数列的极限,应当先证明什么问题?
解答：1、证明数列 (1+1\/n)^n 是单增数列（用二项式展开）；2、证明数列 (1+1\/n)^n 有界；3、记该数列极限为e；4、求 (1+1\/n)^(n+1),(1+1\/n)^(n-1) 的极限；5、将 (1+1\/x)^x 用夹逼准则放在上面几个数列极限之间即可。N的相应性 一般来说，N随ε的变小而变大，因此...
求数列极限的方法总结
求数列极限的方法包括直接计算法、夹逼定理、单调有界定理、子列法、斯托克斯定理等。1、直接计算法：对于某些简单的数列，可以直接通过计算得到极限值。例如，数列1，1\/2，1\/3，...的极限为0。2、夹逼定理：如果数列{xn}满足a≤ xn≤ b，且a和 b的极限均为L，那么数列{xn}的极限也为L。夹逼定...
数列如何求极限
求数列的极限的方法如下：1、观察法：对于一些简单的数列，可以通过观察来确定它们的极限。例如，对于数列1，1\/2，2\/3，3\/4，...可以明显看出其极限为1。2、定义法：如果一个数列的项数n趋于无穷大时，其通项an也趋于某个常数A，则称数列收敛于A，A称为该数列的极限。3、几何法：对于一些特殊...
求数列的极限
4、海涅定理：海涅定理是数学分析中的一个重要定理，它可以用来求解数列的极限。海涅定理指出，如果一个数列的项可以表示为无限个等差数列的和或差，则该数列收敛于某个值。5、迫敛性：如果存在两个数列，其中一个收敛于某个值，而另一个收敛于另一个值，则这两个数列的并集收敛于第一个数列的极限...
数学分析求数列极限,5道题。求过程。
sqrt(x)：表示开根号x sqrt(n,x)：表示开n次根号x frac{x}{y}：表示以x为分子，y为分母的分数，即y分之x lim就直接认定为n趋于无穷时候的情况吧。(6)由于有公式:x^4-y^4=(x-y)(x^3+x^2*y+x*y^2+y^3)所以，令x=sqrt(4,n^2+1),y=sqrt(n+1)。代入，则原式化为frac{...
数学分析理论基础5:数列极限概念
若数列 没有极限,则称 不收敛,或称 为发散数列 例：证明 ,其中 证：例：证明 ,其中 证：法二：例：证明 ,其中 证：例：证明 证：定义： ,若数列 在 外至多有有限项,则称数列 收敛于a 若 ,使数列 有无穷多项落在 外,则 不以a为极限 例：证明 和 都是发散...
数学分析思想方法第√4期 -- 计算或证明数列极限
练习 3: 如果非负数列 (c_n) 的极限为 0，证明 (c_n^2) 也收敛于 0。 练习 4: 求解数列 (d_n) = (1 - 1\/n)^n 的极限。这些练习将让你亲身体验如何巧妙运用两边夹法来解决数列极限问题。祝你学习进步，掌握这一强大的分析工具！
数学分析 难题 数列 极限:若0<=x(m+n)<=xm+xn,证明 lim xn\/x存在_百 ...
从而xn\/x有上界，从而知xn\/n有聚点 由于没有确定的信息，现证明lim xn\/n最小聚点=lim xn\/n 最大聚点 设最小聚点为a 那么 对于任意e>0,存在N使得xN\/N<a+e 注意：这个是分析里面常用的手法。对于这个e，对任意n有n=Nq+r 做类似转换得 xn=x(Nq+r)<=q*xN+xr<=q*xN+rx1 那么xn\/n<...
如何求一个数列的极限
1、确定数列的收敛性：在求极限之前，需要确定数列是否收敛。如果数列是发散的，那么极限不存在。因此，要确保数列收敛，并确定收敛值。2、观察数列的变化趋势：在求极限时，需要观察数列的变化趋势。例如，如果数列是递增的，那么数列的极限肯定存在，并且等于数列的项的最大值。因此，需要了解数列的变化...
招邰益脂： 写起来不方便,先解释一下符号吧.x^y:表示x的y次方 sqrt(x):表示开根号x sqrt(n,x):表示开n次根号x frac{x}{y}:表示以x为分子,y为分母的分数,即y分之x lim就直接认定为n趋于无穷时候的情况吧.(6)由于有公式:x^4-y^4=(x-y)(x^3+x^2*y+x*y^...
平南县18891359064： 求数列极限(利用三个重要数列极限求其他数列极限)三个重要数列极限 lim(sinx/x)=1(x趋于0) ,lim(1+1/x)^x=e(x趋于无穷大),lim(a^x - 1)/x=Ina(x趋于无穷大)求... - ？
招邰益脂：[答案] (1)提出3^x来 就变成lim(3^x)^(1/x)*lim(1+3^x)^(1/x)=3*lim(1+3^x)^(1/x)=3*lim(1+3^x)^(1/3^x)*3^x*(1/x)=3*e^lim((3^x)*(1/x))=3*e... =3*lim(3^x)^(1/x)=3*3=9). (2)需要根据a、b的值讨论.a,b之中有一个大于1,那么极限为无穷大;当a=b=1时,极限易得1,当a...
平南县18891359064： 求下列数列的极限求解几道数列的极限,结果我知道只求过程.(1) X下标n=1/2^n 求这一道是怎么求出lim1/2^n=0的,*****lim下面那个n→∞我就省略了.求过... - ？
招邰益脂：[答案] 1) Xn = 1/2^n 当 n→∞ 时,2^ n→∞ ,所以 1/2^ n→0. (就是说,当一个数趋于无穷大时,它的倒数趋于0) 2) Xn = 2+1/n^2 当 n→∞ 时,n^2 →∞ ,所以 1/n^2 →0. 所以 2 + 1/n^2 → 2
平南县18891359064： 数学分析,求极限问题求(a^n)/n!的极限,n趋于无穷大,a >0.如何证明 a>1时,极限趋于无穷? - ？
招邰益脂：[答案] 这个应该对a分段讨论. 当0
平南县18891359064： 如何求数列极限? - ？
招邰益脂： 结果是3/5.计算过程如下: (3n+2)/(5n+1) =(3+2/n)/(5+1/n) 当n→∞时,2/n→0,1/n→0 那么 lim(n→∞)(3+2/n)/(5+1/n) =(3+0)/(5+0)=3/5
平南县18891359064： 数列极限的题？
招邰益脂：帮你分析下 第一题先通分,必然含有n的二次项,此项系数为5-a(观察得此项必然要消去), 可得a=5 进而可得b=-15 a+5=-10 第二题分子为1+2^2+...+n^2=n(n+1)*(2n+1)/6 最高为3次,分子分母同除n^3 结果显而易见
平南县18891359064： (数学)极限数列题材求解过程 - ？
招邰益脂： 1 先求等比数列F(x) = (1+x) + (1+x)^2 +............+ (1+x)^N = [(1+x)^(N+1) - (1+x)] / (1+x-1) = [(1+x)^(N+1) - (1+x)] / x = [1 + (N+1)x + N(N+1)/2*x^2 + (N+1)N(N-1)/6*x^3 + ............ + x^(N+1) - 1 - x] / x = N + N(N+1)/2*x + (N+1)N(N-1)/6*x^2 + ......... x^N F(x) ...
平南县18891359064： 急求大学数学分析三道题:求数列极限(利用三个重要数列极限求其他数列极限) - ？
招邰益脂： (1)提出3^x来 就变成lim(3^x)^(1/x)*lim(1+3^x)^(1/x)=3*lim(1+3^x)^(1/x)=3*lim(1+3^x)^(1/3^x)*3^x*(1/x)=3*e^lim((3^x)*(1/x))=3*e^lim((3^x-1)/x)=3*e^ln3=9; (或者直接理解为原式=3*lim(1+3^x)^(1/x)=3*lim(3^x)^(1/x)=3*3=9).(2)需要根据a、b的...
平南县18891359064： 求下列数列的极限 要有过程 - ？
招邰益脂： 这几个题目很远代表性,你平时作业之所以不会做,可能是因为你基本的东西部知道,其实书本上有一些我下面解题用到的某个函数在某种情况下的极限,把这些记清楚,且要知道一些基本的形式如何变化,一般的求极限就没有问题了!下面是...
平南县18891359064： 几道大一高数求极限题目 求解题详细过程和答案 - ？
招邰益脂： 1.lim(n→∞)cos (nπ/2)/n=1.lim(.n→∞)Xn=0,解N时,N必须满足1/N<δ.即N=1/δ.δ=0.001,n=1000.2.a为常数,所以当n→∞,lim(x→∞)a²/n²=0,所以lim(n→∞)根号下(1+a²/n²)=lim(n→∞)1=1 或:欲使|根号下(1+a²/n²)-1|<δ,则(1+a...
