求微分方程y"-2y'+2y=0的通解。

求微分方程y"-2y'+y=0的通解。~

微分方程y"-2y'+y=0的特征方程为：t²-2t+1=0，t=1。所以通解为y=Ce^x。
求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。
扩展资料：
微分方程求通解的方法：
一阶微分方程：
1、如果式子可以导成y+p（x）y=Q（x）的形式，利用公式y=[Q（x）e^（P（x）dx+cle^-fpxd求解。
2、若式子可变形为y=f（y/x）的形式，设y/x=u利用公式du（f（u）-u）=dx求解。
3、若式子可整理为dy/f（y）=dx/g（x）的形式，用分离系数法，两边积分求解。
二阶微分方程:
y"+py+q=0可以将其化为r^2+pr+q=0算出两根为r1，r2：
1、若实根r1不等于r2y=cle（rx）+c2e^（r2x）。
2、若实根r1=r2y=（c1+c2x）*e^（r1x）。
3、若有一对共轭复根r1+bir2a-biy=ex）1cos+c2sin。

不妨设p=y",则p'+2p=0,分离变量,有(1/p)dp=-2dx,积分得ln(abs(p))=-2x+c,即p=c*e^(-2x),对p积分两次，得y=c1*e^(-2x)+c2*x+c3,即为该微分方程通解。

微分方程y″-y′-2y=0的通解为y=C1*e^(2x)+C2*e^(-x)+C。

解：根据微分方程特性，可通过求特征方程的解来求微分方程的通解。

微分方程y″-y′-2y=0的特征方程为r^2-r-2=0，

可求得，r1=2，r2=-1。

而r1≠r2。

那么微分方程y″-y′-2y=0的通解为

y=C1*e^(2x)+C2*e^(-x)+C（其中C1、C2与C为任意实数）。

针对偏微分方程

存在性是指给定一微分方程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。

针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。

针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。

y``+y`=0

dy`/dx=-y`，即

dy`/y`=-dx，积分得

ln|y`|=-x+C.

即|y`|=e^(-x+C.)=(e^C.)e^(-x)

令C1=±e^C.，则y`=C1e^(-x)，再积分得

y=-C1e^(-x)+C2，C1，C2为任意常数。

扩展资料：

微分方程的解

1、一阶线性常微分方程的解

对于一阶线性常微分方程y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解为y=C(x)*e^(-∫p(x)dx)。然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

2、二阶常系数齐次常微分方程的解

对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解。

对于二阶常系数齐次常微分方程y''+py'+qy=0，可求得其通解为y=c1y1+c2y2。

然后可通过其特征方程r^2+pr+q=0来求解二阶常系数齐次常微分方程的通解。

（1）当r1=r2，则有y=(C1+C2*x)e^(rx)，

（2）当r1≠r2，则有y=C1*e^(r1x)+C2*x*e^(r2x)

（3）在共轭复数根的情况下，y=e^(αx)*(C1*cos(βx)+C2*sin(βx))

特征方程为r^2-2r+2=0，r1=1+i。r2=1-i
所以方程的解为：y=e^x*(C1*cosx+C2*sinx)

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新化县19531264721： 求解微分方程y' - 2y=e^x - ？
僪炒大黄：[答案] 此方程为一阶常系数非齐次方程, y'-2y=0,对应的特征方程为:r-2=0,解得r=2. 所以方程通解为:y=ce^(2x) 再用常数变量法,求对应的非齐次方程的通解: 设y=c(x)*e^(2x)为所求方程的通解,代入原方程,可解出c(x)=-e^(-x)+c 故方程的通解为: ...

新化县19531264721： 求微分方程 y' - 2y=3 - ？
僪炒大黄：[答案] dy/dx=3+2y dy/(3+2y)=dx 两边积分: 1/2*ln(3+2y)=x+C1 y=[e^(2x+C)-3]/2

新化县19531264721： 微分方程y〃 - 2y′=0的通解为 - ？
僪炒大黄：[答案] y``+y`=0 dy`/dx=-y`,即 dy`/y`=-dx,积分得 ln|y`|=-x+C. 即|y`|=e^(-x+C.)=(e^C.)e^(-x) 令C1=±e^C.,则y`=C1e^(-x),再积分得 y=-C1e^(-x)+C2,C1,C2为任意常数.

新化县19531264721： 微分方程y'' - 2y'=x的通解 - ？
僪炒大黄：[答案] 特征方程为:λ^2-2λ=0,得:λ=0,2 故y1=c1e^(2x)+c2 设y*=ax^2+bx y*'=2ax+b y*＂=2a 代入:2a-2(2ax+b)=x,比较系数得:-4a=1,2a-2b=0,得:a=b=-1/4,故y*=-(x^2+x)/4 因此通解y=y1+y*=c1e^(2x)+c2-(x^2+x)/4

新化县19531264721： 求微分方程通解y'' - 2y'=e^X*(X^2+X - 3)今天之内解决,我一定会及时采纳的! - ？
僪炒大黄：[答案] 特征方程r^2-2r=0 r=2,r=0 齐方程通解是y=C1+C2e^(2x) 因为1不是根,设特解形式:y*=e^x(ax^2+bx+c) y*'=e^x[ax^2+(2a+b)x+(b+c)] y*''=e^x[ax^2+(4a+b)x+(2a+2b+c)] 代入原方程得 e^x[ax^2+(4a+b)x+(2a+2b+c)]-2e^x[ax^2+(2a+b)x+(b+c)]=e^x(x^2+x-3...

新化县19531264721： 求微分方程y'' - 2y'=e^2x的通解 - ？
僪炒大黄：[答案] 特征方程 r^2-2r=0 r=0,r=2 所以齐次通解为 y=C1x+C2e^(2x) 由于非齐次右边含在齐次通解中,所以设特解为 y=axe^(2x) y'=ae^(2x)+2axe^(2x) y''=4ae^(2x)+4axe^(2x) 代入原方程得 4ae^(2x)+4axe^(2x)-2[ae^(2x)+2axe^(2x)]=e^(2x) 整理比较系数得 2a=1 ...

新化县19531264721： 微分方程y'' - 2y'²tany=0满足条件y(0)=0,y'(0)=1的解是什么 - ？
僪炒大黄：[答案] 令y'=p,则y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy,于是原方程为 pdp/dy=2p^2*tany,由于p不为0(y'(0)=1),因此得 dp/dy=2p*tany dp/(2p)=tany*dy d(lnp)=--2d(ln(cosy)) lnp=--2lncosy+C,代入已知条件 ln1=--2lncos0+C,C=0,故 dy/dx=p=1/cos^2y, cos^2ydy=dx...

新化县19531264721： 求微分方程y″ - 2y′+y=x+1的通解. - ？
僪炒大黄：[答案] 1.y″-2y′+y=0的通解 特征方程为r²-2r+1=0 (r-1)²=0 r1=r2=1 Y=(c1+c2x)e^x 2.非齐次一个特解y* 设y*=ax+b y*'=a y*''=0 -2a+ax+b=x+1 a=1,-2a+b=1 b=3 所以 y*=x+3 所以 通解y=Y+y*=(c1+c2x)e^x+x+3

新化县19531264721： 求微分方程y〃 - 2y′+y=(x - 1)e^x的通解 - ？
僪炒大黄：[答案] 答: y''-2y'+y=(x-1)e^x 特征方程a^2-2a+1=0 解得a1=a2=1 齐次方程的特解为y=(C1+C2x)e^x 设特解为y*=(ax^2+bx+c)e^x y*'=(2ax+b+ax^2+bx+c)e^x y*''=(2a+2a+b+2ax+b+ax^2+bx+c)e^x 代入原来方程有: ax^2+(2a+b)x+4a+2b+c-2(ax^2+2ax+bx+b+c)...

新化县19531264721： 求微分方程y' - 2y的通解 - ？
僪炒大黄： 解:dy/dx=2y , 1/ydy=2dx , 两边积分得ln|y|=2x+C1 , 则y=正负e^(2x+C1)=正负e^C1e^(2x) , 令C=正负e^C1得方程通解:y=Ce^(2x)