设a,b,c为三角形ABC的三边，求证：x^2+2cx-b^2=0与x^2+2ax+b^2=0有公共根的充要条件是角A=90度

设a,b,c为ΔABC的三边，求证：方程x^2＋2ax＋b^2＝0与x^2＋2cx－b^2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°。~

x^2+2ax+b^2=0
x^2+2cx-b^2=0
x^2+2ax+b^2=x^2+2cx-b^2
2(a-c)x=-2b^2
x=b^2/(c-a)
x+x1=-2a
xx1=b^2
x(-2a-x)=b^2
b^2/(c-a)(-2a-b^2/(c-a)=b^2
-2a-b^2/(c-a)=c-a
-2a(c-a)-b^2=c^2-2ac+a^2
a^2=b^2+c^2
A=90
A=90
a^2=b^2+c^2
b^2=a^2-c^2
x^2+2ax+a^2-c^2=0
(x+(a-c))(x+(a+c))=0
x1=c-a,x2=-(a+c)
x^2+2cx+c^2-a^2=0
(x+c-a)(x+c+a)=0
x3=a-c,x4=-(c+a)
x2=x4
有公共根

1 (必要性）若x^2+2ax+b^2与x^2+2cx-b^2有一次公因子，
那么它们应与(x^2+2ax+b^2)-(x^2+2cx-b^2)=2(a-c)x+2b^2也有一次公因子。故这个一次公因子就为
(a-c)x+b^2.那么a与c不相等，且x=-b^2/(a-c)使x^2+2ax+b^2=0
代入得：[-b^2/(a-c)]^2+2a*[-b^2/(a-c)]+b^2=0
整理：b^4-2ab^2*(a-c)+b^2*(a-c)^2=0
因b>0,故b^2-2a(a-c)+(a-c)^2=0,b^2-2a^2+2ac+a^2-2ac+c^2=0,a^2=b^2+c^2
从而可知，A=90度。

2 （充分性）若A=90度，
则a^2=b^2+c^2,
x^2+2ax+b^2=x^2+2ax+a^2-c^2=(x+a)^2-c^2=(x+a+c)(x+a-c);
x^2+2cx-b^2=x^2+2cx+c^2-a^2=(x+c)^2-a^2=(x+c+a)(x+c-a).
可见，x^2+2ax+b^2与x^2+2cx-b^2有一次公因子(x+a+c).

证毕。

充分性：
A=90度，则a^2=b^2+c^2
那么第一个方程的根为-c±√(c^2+b^2)=-c±a
第二个方程的根为-a±√(a^2-b^2)=-a±c
则它们有公共根-a-c

必要性：
第一个方程两根之和为-2c<0，两根之积为-b^2<0，两根一正一负
第二个方程的根之和为-2a<0，两根之积为b^2>0，两根都为负
它们有公共根，就是第一个方程的负根与第二个方程的一个负根相等
又两根之积分别为-b^2，b^2，所以第一个方程的正根与第二个方程的另一个负根互为相反数

(1)若-c-√(c^2+b^2)=-a+√(a^2-b^2)，-c+√(c^2+b^2)=-(-a-√(a^2-b^2))
两式相加得，-2c=2√(a^2-b^2)，左边<0，右边≥0，矛盾
(2)若-c-√(c^2+b^2)=-a-√(a^2-b^2)，-c+√(c^2+b^2)=-(-a+√(a^2-b^2))
两式相加得，-2c=-2√(a^2-b^2)
所以a^2-b^2=c^2
那么A=90度

综上所述，充要条件

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横峰县17098658851： 已知a、b、c为三角形ABC的三边 - ？
潘峡甘悦： a、b、c为三角形ABC的三边 a-b<c,或b-a<c(a-b)^2<c^2 a^2-2ab+b^2<c^2 a^2+b^2-c^2<2ab(a^2+b^2-c^2)^2<4a^2b^2 (a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2 <0

横峰县17098658851： 设a,b,c为三角形ABC的三条边,求证;a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca) - ？
潘峡甘悦： 由三角形的三边关系: |a-b||b-c||c-a|三个式子相加得: a²+b²+c²<2(ab+bc+ca)

横峰县17098658851： 设a.b.c为三角形abc的三边.化简丨a+b+c丨丨a+b - c丨a - b - c丨 谢谢! - ？
潘峡甘悦： 解:因为a+b+c>0,a+b-c>0,a-b-c丨a+b+c丨+丨a+b-c丨+a-b-c丨 =(a+b+c)+(a+b-c)+(b+c-a) =(b+c+a)+(b+c-a)+(a+b-c) =a+3b+c

横峰县17098658851： 设A,B,C是三角形ABC的三边,化简|A+B+C|+|A - B - C| - ？
潘峡甘悦： 因为A,B,C是三角形ABC的三边 所以 A>0,B>0,C>0,A<B+C 所以 |A+B+C|+|A-B-C|=A+B+C+B+C-A=2B+2C

横峰县17098658851： 设a,b,c为三角形abc的三条边,求证a平方+b的平方+c平方〈2(ab+bc+ac) - ？
潘峡甘悦： a,b,c为三角形abc的三条边 因而a-b<c 两边平方得 a^2+b^2-2ab<c^2 a^2+b^2-c^2<2ab 同理由a-c<b,b-c<a可得,a^2+c^2-b^2<2ac b^2+c^2-a^2<2bc 三式相加得证

横峰县17098658851： 设a,b,c是三角形ABC的三边 化简:如下 - ？
潘峡甘悦： a、b、c为三角形ABC的三边 所以:a+b+c>0 a-b-cb-a-cc-b-a所以:根号(a+b+c)²+根号(a-b-c)²+根号(b-a-c)²-根号(c-b-a)²=(a+b+c)-(a-b-c)-(b-a-c)-[-(c-b-a)]=a+b+c-a+b+c-b+a+c+c-b-a=(a-a+a-a)+(b+b-b-b)+(c+c+c+c)=0+0+4c=4c

横峰县17098658851： 设a,b,c为△ABC的三边,求方程 x^2 +2ax +b^2 =0与 x^2 +2cx - b^2 =0有公共根的充要条件 - ？
潘峡甘悦：[答案] 设m是两方程的公共根 则m^2+2am+b^2=0 m^2+2cm-b^2=0 两式相加得 2m^2+2am+2cm=0 2m(m+a+c)=0 所以m=0或m+a+c=0 若m=0,带回得b^2=0 b=0(不符合题意,三角形三边长围正数) 所以m+a+c=0 即m=-a-c 带回得(-a-c)^2+2a(-a-c)+...

横峰县17098658851： 设a、b、c是△ABC的三边,化简: |a+b+c|+|a - b - c|+|c+a - b| - ？
潘峡甘悦： 因为a、b、c是△ABC的三边 所以a、b、c都大于0,而且三角形两边之和大于0 即得│a+b+c│=a+b+c │a-b-c│=b+c-a │c+a-b│=c+a-b 所以│a+b+c│+│a-b-c│+│c+a-b│=a+b+c + b+c-a + c+a-b=a+b+3c

横峰县17098658851： 朋友们,一道数学题,设a,b,c为三角形ABC的三边,求证:b的平方x的平方 - (b的平方+c的平方 - a的平方)x+c的平方=0 - ？
潘峡甘悦：[答案] 应该是证明方程的解得问题 使用判别式 =(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2 =(b^2+c^2-a^2-2bc)(b^2+c^2-a^2+2bc) =(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)解析看不懂?免费查看同类题视频解析查看解答更多答案(2)

横峰县17098658851： 若a,b,c为三角形ABC的三边,且a平方+b平方+c平方=ab+bc+ca,如何证明三角形ABC是等边三角形. - ？
潘峡甘悦：[答案] 因为a平方+b平方+c平方=ab+bc+ca 式子两边*2 得:2a平方+2b平方+2c平方-2ab-2bc-2ca=0 变形:(a-b)平方+(a-c)平方+(b-c)平方=0 因为三边都为正实数,所以推出a=b=c 所以是等边三角形