已知函数f(x)=2x-3/x-1 x∈[2,5]求:1.判断单调性并证明 2.f(x)的最大最小值
f(x)=(2(x+1)-3)/(x+1)=2-3/(x+1)
设5≥x2>x1≥3 x2-x1>0 x1+1>0 x2+1>0
f(x2)-f(x1)=3/(x1+1)-3/(x2+1)=3(x2-x1)/(x1+1)(x2+1)>0
是增函数
所以f(x)的最大值f(5)=2-1/2=3/2
f(x)的最小值f(3)=2-3/4=5/4
第一问,有基本函数的单调性知,f(x)单调递增,证明略。
第二问,则是一个恒成立的问题,只需要,f(x)的最小值大于等于m^2-1即可,故有f(3)>=m^2-1,解得
任取2≤x1<x2≤5
f(x1)-f(x2)
=(2x1-3/x1-1)-(2x2-3/x2-1)
=2(x1-x2)+(3/x2-3/x1)
=2(x1-x2)+3(x1-x2)/(x1x2)
=(x1-x2)[2+3/(x1x2)]
∵ 2≤x1<x2≤5
∴x1-x2<0,2+2/(x1x2)>0
∴(x1-x2)[2+3/(x1x2)]<0
∴f(x1)-f(x2)<0
∴f(x)是[2,5]上的增函数
(2)
由(2)知
f(x)max=f(5)=42/5
f(x)min=f(2)=1/2
理解成分式f(x)=(2x-3)/(x-1)
=(2x-2-1)/(x-1)
=2-1/(x-1)
设2<=x1<x2<=5
f(x1)=2-1/(x1-1) f(x2)=2-1/(x2-1)
f(x1)-f(x2)
=1/(x2-1)-1/(x1-1)
=(x1-x2)/[(x2-1)(x1-1)] ∵2<=x1<x2<=5 ∴ x2-1>0 x1-1>0 ∴ x1-x2<0
∴(x1-x2)/[(x2-1)(x1-1)] <0
所以f(x)在【2,5】上是增函数
2. x=2 ymin=1
x=5 ymax=7/4
1. 已知函数f(x)=2x-3/x-1
=(2x-2-1)/(x-1)
=2-1/(x-1)
设2<=x1<x2<=5
f(x1)=2-1/(x1-1) f(x2)=2-1/(x2-1)
f(x1)-f(x2)
=1/(x2-1)-1/(x1-1)
=(x1-x2)/(x2-1)(x1-1) 2<=x1<x2<=5 x2-1>0 x1-1>0 x1-x2<0
<0
所以f(x)在【2,5】上是增函数
2. x=2 ymin=1
x=5 ymax=7/4
1)f(x)=(2x-3)/(x-1)=(2x-2-1)/(x-1)=2-1/(x-1)
x>1时,函数单调增
所以在[2,5], 函数单调增
2)由单调性得:
fmax=f(5)=7/4
fmin=f(2)=1
第一问当然是求导。
f'(x)=2+3/x^2 >0,所以f(x)是增函数。
第二问,既然函数是单调递增的了,那么f(2)最小,f(5)最大。
做任务飘过~~
(1)定义法证明;
(2)结合单调性,区间端点取最值。
祝开心!希望能帮到你~~
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