求实际问题与一元二次方程的解法 如果有视频讲解就更好了

一元二次方程的解法3种求详细步骤~

一般解法
1.配方法
　　（可解全部一元二次方程）
　　如：解方程：x^2+2x－3=0
　　解：把常数项移项得：x^2+2x=3
　　等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4
　　因式分解得：（x+1)^2=4
　　解得：x1=-3,x2=1
　　用配方法解一元二次方程小口诀
　　二次系数化为一
　　常数要往右边移
　　一次系数一半方
　　两边加上最相当
2.公式法
　　（可解全部一元二次方程）
　　首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根
　　1.当Δ=b^2-4ac<0时 x无实数根（初中）
　　2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即x1=x2
　　3.当Δ=b^2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根
　　当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a
　　来求得方程的根
3.因式分解法
　　（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。
　　如：解方程：x^2+2x+1=0
　　解：利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0
　　解得：x1=x2=-1
4.直接开平方法
　　（可解部分一元二次方程）
5.代数法
　　（可解全部一元二次方程）
　　ax^2+bx+c=0
　　同时除以a，可变为x^2+bx/a+c/a=0
　　设：x=y-b/2
　　方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为 (y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0
　　再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0
　　y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]

我来个详细的
一元二次方程的解法
一、知识要点：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基
础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax2（2为次数，即X的平方）+bx+c=d, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2
的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程，其解为x=m± .
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以
此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
（2）解： 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=
当b2-4ac≥0时，x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2
将二次项系数化为1：x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2
配方：(x-)2=
直接开平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项
系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2*a)
∴原方程的解为x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结：
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般
形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式
法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程
是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
例5．用适当的方法解下列方程。(选学）
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0
（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差
公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。
（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。
（3）化成一般形式后利用公式法解。
（4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。
（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
（2）解： x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3，x2=1
（3）解：x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学）
分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我
们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方
法）
解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0
解：x2+px+q=0可变形为
x2+px=-q (常数项移到方程右边)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
(x+)2= (配方)
当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论）
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
当p2-4q<0时，<0此时原方程无实根。
说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母
取值的要求，必要时进行分类讨论。
练习：
（一）用适当的方法解下列方程：
1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
（二）解下列关于x的方程
1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
练习参考答案：
（一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式）
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即 (2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
（二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是
原方程的解。 原方程的解。
测试
选择题
1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ）
A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（ ）。
A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个
根是（ ）。
A、0 B、1 C、-1 D、±1
4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）。
A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0
C、b=0且c=0 D、c=0
5． 方程x2-3x=10的两个根是（ ）。
A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5
6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。
A、 B、 C、 D、无实根
7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。
A、x= B、x=-
C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
8． 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）。
A、(x-)2= B、(x- )2=-
C、(x- )2= D、以上答案都不对
9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（ ）。
A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1
答案与解析
答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
解析：
1．分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5,
注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。
2．分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时， ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1
时，方程成立，则必有根为x=1。
4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零，
则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以 c=0.
另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！
5．分析：原方程变为 x2-3x-10=0,
则(x-5)(x+2)=0
x-5=0 或x+2=0
x1=5, x2=-2.
6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，则原方程无实根。
7．分析：2x2=0.15
x2=
x=±
注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。
8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2，
整理为：(x-)2=
方程可以利用等式性质变形，并且 x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。
9．分析：x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1
则(x-1)2=m+1.
中考解析
考题评析
1．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，那么k=__________。
评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。
2．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ）
（A）x=3+2 （B）x=3-2
（C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2
评析：用解方程的方法直接求解即可，也可不计算，利用一元二次方程有解，则必有两解及8的平方
根，即可选出答案。
课外拓展
一元二次方程
一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二
次的整式方程。 一般形式为
ax2+bx+c=0, (a≠0)
在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它
的倒数之和等于 一个已给数，即求出这样的x与，使
x=1, x+ =b,
x2-bx+1=0,
他们做出(2）；再做出 ，然后得出解答：+ 及 - 。可见巴比伦人已知道一元二次
方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax2=b。
在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公式。在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成 不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一 次
给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的 数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。来自caicaiaizhuzhu

• 一元二次方程实际问题有几种常见的分类：

1、增长率问题：较小的数×（1+增长率）^2=较大的数；较大的数×（1-增长率）^2=较小的数

2、面积问题：利用两种不同的算法求图形的面积，一种利用长×宽求，一种利用面积的加减求

3、销售问题：钱多了，卖的少了，可全化为1来解决问题，例如，每增加2元钱，少卖5件商品，可以看成每增加1元，少卖2.5件，这样设未知数是，每增加x元，少卖2.5x件

4、行程问题：记住几个常用公式，相遇问题，相距路程等于两人路程和；追及问题，相距距离等于两人路程差。

5、工程问题：甲乙两人工作总量等于"1".

• 实际问题与一元二次方程

1、列一元二次方程解应用题的特点

　　列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展

　　从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．

2、列一元二次方程解应用题的一般步骤

　　和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．

　　(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；

　　(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；

　　(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；

　　(4)“解”就是求出所列方程的解；

　　(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．

3、数与数字的关系

　　两位数=(十位数字)×10＋个位数字

　　三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字

4、翻一番

　　翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍．

5、增长率问题

　　(1)增长率问题的有关公式：

　　　　增长数=基数×增长率

　　　　实际数=基数＋增长数

　　(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：

　　　　原来的×(1＋增长率)增长期数=后来的

　　(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；

　　(2)如果是下降率，则上述关系式为：

　　　　原来的×(1－增长率)下降期数=后来的

6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤

　　(1)整体地、系统地审读题意；

　　(2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)；

　　(3)设未知数，并依据等量关系列出方程；

　　(4)正确地求解方程并检验解的合理性；

　　(5)写出答案．

7、列方程解应用题的关键

　　(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；

　　(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．

　　列方程解应用题应注意：

　　(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；

　　(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的根舍去．

二、重难点知识归纳

列一元二次方程解应用题．

三、典型例题剖析

例1、两个连续奇数的积为323，求这两个数．

思路：

　　(1)表示两个连续奇数的方法是：①2n＋1，2n－1；②2n－1，2n－3；③2n＋1，2n＋3；…(n表示整数)；(2)设元，①设较小的奇数为x，则另一个奇数为x＋2；②设较小的奇数为x－1，则另一个奇数为x＋1；③设较小的奇数为2n－1，则另一个奇数为2n＋1．

解法1：

　　设较小的奇数为x，另一个为x＋2．

　　根据题意将x(x＋2)=323 整理后得

　　x2＋2x－323=0，

　　解这个方程得：x1=17，x2=－19，

　　由x=17得x＋2=19，由x=－19得x＋2=－17

　　答：这两个数是17，19或者－19，－17．

解法2：

　　设这两个奇数为x－1和x＋1，

　　根据题意可得(x－1)(x＋1)=323，整理后

　　得x2=324，x=±18

　　当x=18时，18－1=17，18＋1=19

　　x=－18时，－18－1=－19，－18＋1=－17

　　答：两个奇数分别是17，19或者－19，－17．

解法3：

　　设较小的奇数为2x－1，较大的奇数为2x＋1

　　根据题意得(2x－1)(2x＋1)=323

　　整理后得x2=81

　　解得x1=9，x2=－9．

　　当x1=9时，这两个数是17，19．

　　当x2=－9时，这两个数是－19，－17．

　　答：两个奇数分别为17、19或－19、－17．

总结：

　　对于一些数学问题，若能根据题目的基本特征和特殊因素，进行多角度的观察，分析联想，便可发现多种思维通路，得到多种不同的解法，使之妙趣横生，令人大开眼界．巧设元就是如此，三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x的值，结果“殊途同归”．比较一下，哪种方法最优．

例2、一个两位数，个位数字与十位数字之和为5，把个位数字与十位数字对调后，所得的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数．

思路：

　　数与数字之间的关系是：两位数=(十位数字)×10＋(个位数字)

　　解题的关键是正确地写出原来的两位数与对调后的两位数，为了便于分析，可列出下表：

　   十位数字   个位数字   两位数   

原来的   x   5－x   10x＋(5－x)   

对调后的   5－x   x   10(5－x)＋x   

解：

　　设原两位数的十位数字为x，则个位数字为(5－x)，根据题意得

　　[10x＋(5－x)][10(5－x)＋x]=736

　　整理得x2－5x＋6=0

　　解这个方程得x1=2，x2=3

　　当x=2时，5－x=3，两位数为23；

　　当x=3时，5－x=2，两位数为32．

　　总结：(1)对于多位数问题要善于用各数位上的数字来表示该多位数；

　　(2)求出方程的解之后，要善于检验它们是否符合题意，不要漏解，更不能保留不合题意的解．

例3、在一次象棋比赛中，实行单循环赛制(即每个选手都与其他选手比赛一局)，每局赢者记2分，负者记0分，如果平局，两个选手各记1分，今有4个同学统计了比赛中全部选手的得分总和，结果分别为2005、2004、2070、2008，经核实确定只有一位同学统计无误，试计算这次比赛中共有多少名选手参赛．

思路：

　　(1)先分析比赛的总局数，假设此次比赛共有x名选手参赛，则共比赛局；

　　(2)再分析得分总和的特征，由于无论胜、负、平每一局比赛都记2分，则比赛局的得分总和就是全部参赛选手的得分总和．即x(x－1)分，又x必为正整数，因此x与x－1是两个连续自然数的积，必为偶数，因此2005分属统计错误，其次两个自然数的积的个位数只可能是0，2，6．因此得分总和不可能是2004，2008，由条件知得分总和只可能是2070．

解：

　　设共有x(x为正整数)名选手参赛，所以共计有局比赛．因为每局比赛共记2分，所以全部选手的得分总和为x(x－1)分，由于相邻两个自然数之积是偶数，且其个位数字只能是0，2，6，故总得分不能为2005，2004，2008，所以可得方程x(x－1)=2070．

　　解这个方程得x1=46，x2=－45(不合题意舍去)

　　答：这次比赛共有46名选手参赛．

总结：

　　(1)分析所有参赛选手的得分总和是解本题的关键；

　　(2)正确选取合适的数据是解决本题的难点，这就需要多了解整数的基本特征．

例4、某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于经营不善，销售额下降了10%，以后改进管理，大大激发了全体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？(精确到0.1%)

思路：

　　这是一个增长率问题，先求出二月份的销售额，再设三、四月份平均增长率为x，表示四月份的销售额．

解：

　　设三、四月份平均每月增长率为x，依题意得

　　60(1－10%)(1＋x)2=96．

　　解得．

　　由于增长的百分率不能为负数，故不合题意，舍去．

　　即．

　　答：商厦三、四月份平均每月销售额增长率为33.3%．

总结：

　　增长率的基本公式为：a(1±x)n，其中a为基数，x为增长率或降低率，n表示经过几个月的月数．

例5、截至目前，我国退耕还林工程试点扩大到20个省、市、区，具体情况如下表：(单位：万公顷)

基本情况   造林绿化面积   退耕还林面积   宜林荒山荒地造林面积   

2002年完成   88.50   38.89   48.61   

2003年新增   　   227   266   

(1)将上表补充完整；

(2)若2005年新增造林绿化面积比2003年新增造林绿化面积翻两番，2004、2005两年的平均增长率相同，求这个增长率．

思路：

　　由表可知：造林绿化面积＝退耕还林面积＋宜林荒山荒地造林面积．2005年新增造林绿化面积比2003年新增造林绿化面积翻两番即为4倍，可列方程求解．

解：

　　(1)表中数据为493；

　　(2)设这个增长率为x，依题意有

　　　　493(1＋x)2=493×4

　　　　解这个方程，得x1＝1，x2＝－3(不合题意舍去)．

　　　　∴x=1=100%．

　　答：这个增长率为100%．

总结：

　　正确理解翻两番的含义是解题的关键，应在日常生活中多接触类似术语，理解其含义．

例6、取一块长80cm的矩形白铁皮，在它的四个角上截四个大小相同的正方形后，把四边折起来，做成一个没有盖子的长方体盒子，如果做成底面积为1500cm2的长方体盒子，截下的小正方形的边长是多少厘米？

思路：

　　设截下的小正方形的边长为x cm，则折成的没有盖子的长方体盒子的底面的长为(80－2x)cm，宽为(60－2x)cm，则可得方程．

解：

　　设截下的小正方形的边长为x cm，依题意得

　　　　(80－2x)(60－2x)=1500

　　　　整理得x2－70x＋825=0

　　　　解得x1=15，x2=55

　　　　但当x=55时，80－2x=－30，不合题意，舍去．

　　　　∴x=15．

　　答：截下的小正方形的边长为15cm．

总结：

　　(1)解决有关面积问题时，要注意将不规则图形分割成或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再利用规则图形的面积公式列出方程；

　　(2)利用一元二次方程解决实际问题时要对解进行检验，有时一元二次方程的解不一定符合题意．

例7、如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．

问：(1)P，Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积是33cm2？

　　(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P点Q间的距离是10cm？

 

思路：

　　(1)由于四边形PBCQ为梯形，且高CB=6cm，于是只需表示出上、下底边长即可列出方程；

　　(2)由于PQ两点间的距离，不易用未知数的代数式表示，需通过作辅助线构造基本几何图形——直角三角形，利用勾股定理列方程求解．

解：

　　(1)设P，Q两点从出发开始x秒时，四边形PBCQ的面积是33cm2，则AP=3x，PB=16－3x，CQ=2x．由梯形的面积公式得，解得x=5．

　　答：P，Q两点从出发开始5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；

 

　　(2)设P，Q两点从出发开始到y秒时，点P，点Q间的距离为10cm．

　　如图，过点Q作QH⊥AB，交AB于H，则AP=3y，CQ=2y，PH=16－3y－2y，根据勾股定理，得(16－3y－2y)2=102－62，化简方程得25y2－160y＋192=0，解得．

　　答：P，Q两点从出发开始到时，点P点Q的距离是10cm．

例8、某商场销售一种名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

思路：

　　每降价1元，则每件盈利(40－1)元，每天可售出(20＋2)件．故若设每件衬衫应降价x元，则每件盈利(40－x)元，每天售出(20＋2x)件，再根据总盈利=每件的盈利×售出的件数．可列出方程求解．

解：

　　设每件应降价x元，则每件盈利(40－x)元，每天可售出(20＋2x)件，根据题意可列方程

　　(40－x)(20＋2x)=1200

　　整理得x2－30x＋200=0

　　解得x1=10，x2=20

　　因为要尽量减少库存，在获利相同的情况下，降价越多，销售越快，故每件应降价20元．

　　答：每件衬衫应降价20元．

总结：

　　尽量减少库存是本题方程的根必须适合的题意．两根比较不难得出适合题意的一个，但“尽快减少库存”这一要求在审题中很容易被漏掉，从而导致错误，请注意，另外本题中每件衬衫降价x元．即是每件盈利减少x元．因此在解应用题应认真审清题意，是正确解题的关键．

例9、汽车在行驶过程中由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住．我们称这段距离为刹车距离，在一个限速为35km/h以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车的刹车距离为12m，乙车的刹车距离为10m，已知甲车的刹车距离S甲(m)与车速x(km/h)之间的关系是：S甲=0.1x＋0.01x2，乙车的刹车距离S乙(m)与车速x(km/h)之间的关系是：S乙=0.05x＋0.005x2，请你从两车速度方面分析事故原因．

思路：

　　要求从两车速度方面分析事故原因，就必须从已知的两车的刹车距离计算出在经过这段弯道上时的速度是否超过警示速度，从而断定事故的主要责任者，而已知条件中两车的刹车距离分别为12m和10m，以及两个关系式，通过解方程求出车速，并作出判断．

解：

　　∵甲车的刹车距离为12m，∴0.01x2＋0.1x=12

　　即x2＋10x－1200=0

　　解得x1=30，x2=－40

　　由于速度不能为负数，∴x2=－40不合题意，舍去．

　　所以甲车的速度为30km/h，不超过限速．

　　对于乙车则有0.05x＋0.005x2=10

　　解这个方程得x1=40，x2=－50(不合题意，舍去)．

　　所以乙车的速度为40km/h超过了限速35km/h的规定．

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儋州市15720688128： 实际问题中一元二次方程的解法? - ？
辉夏欧迈： 一元二次方程实际问题有几种常见的分类: 1、增长率问题:较小的数*(1+增长率)^2=较大的数;较大的数*(1-增长率)^2=较小的数 2、面积问题:利用两种不同的算法求图形的面积,一种利用长*宽求,一种利用面积的加减求 3、销售问题:钱多了,卖的少了,可全化为1来解决问题,例如,每增加2元钱,少卖5件商品,可以看成每增加1元,少卖2.5件,这样设未知数是,每增加x元,少卖2.5x件 4、行程问题:记住几个常用公式,相遇问题,相距路程等于两人路程和;追及问题,相距距离等于两人路程差. 5、工程问题:甲乙两人工作总量等于＂1＂.

儋州市15720688128： 遇到实际问题与一元二次方程怎么做, - ？
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儋州市15720688128： 数学实际问题与一元二次方程怎么解?我只会列,不会解!怎么弄 - ？
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儋州市15720688128： 一元二次方程与实际问题的所有公式,还有一元二次函数的各种公式 - ？
辉夏欧迈：[答案] 一、直接开平方法.如:x^2-4=0x^2=4x=±2(因为x是4的平方根)∴x1=2,x2=-2二、配方法.如:x^2-4x+3=0x^2-4x=-3配方,得(配一次项系数一半的平方)x^2-2*2*x+2^2=-3+2^2(方程两边同时加上2^2,原式的值不变)(x-2)^2=1...