如图所示，已知：PA为圆O的切线，A为切点，AB为圆O的直径，弦BC平行OP交圆O于点C，求证，PC为圆O的切线。

如图,pa,pb是圆o的切线,a,b为切点,弦bc平行于pa，连接ab，ac ①求证:∠pba=~

①、证明：如图

因为：PA,PB是元的切线，
所以：∠2=∠3
又因为：PA∥BC
所以：∠1=∠2
所以：∠1=∠3
即：∠PBA=∠ABC
②、解：
连接OP，如图。设元的半径为r，则：
因为：∠4=∠BAC，∠4=∠BPA
所以：∠BPA=∠BAC
而：∠3=∠1
所以：△BPA∽△BAC
所以：BA/BC=AP/AB
即：13/10=AP/13
求得：AP=16.9
在直角△ADP中，PA=16.9，AD=6.5，
所以：求得PD=√327.86
由于OB⊥PB,OA⊥PA
所以：PAOB四点共元
所以：AD²=PD*DO
即：DO=AD²/PD
代人数值求得DO=42.25/√327.86
所以：元的半径r²=DO²+AD²
代入数据求得r≈7
即：元的半径为7

证明：连结OC 因为OP//BC 所以∠AOP=∠OBC、∠COP=∠OCB 因为OB=OC 所以∠OBC=∠OCB 所以∠AOP=∠COP 在ΔAOP和ΔCOP中 所以 所以∠OAP=∠OCP 因为PA切⊙O于A 所以∠OAP=90° 所以∠OCP=90° 因为OC是⊙O半径 所以PC是⊙O的切线。

证明：
连接OC
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB
∵PO∥BC
∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB
∴∠AOP=∠COP
∵PO=PO，OC=OA
∴△OAP≌△OCP
∴∠OAP=∠OCP
∵是切线切线，AB是直径
∴∠PAO=90°
∴∠OCP=90°
∴PC是圆O的切线

设∠AOP为t，则∠OBC=∠OCB=t（同位角相等）,
则∠BOC=180-2t，则∠POC=180-∠AOP-∠BOC=t
所以∠POC=∠AOP,又因为OA=OC，三角形AOP全等于三角形COP
所以∠OCP=∠OAP=90°
所以就是切线

证明：连接OC，∵OP∥BC，∴∠AOP=∠B，∠COP=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，
∴∠AOP=∠COP，∵OA=OC，OP=OP，∴ΔOAP≌ΔOCP，∴∠OCP=∠OAP=90°，∴PC为圆O的切线

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盖州市13717111148： 如图,已知PA是圆O的切线,切点为A,AC是圆O的直径,PC与圆O交于点B,PA=4,圆O的半径是23,那么PB=______. - ？
良将妇科：[答案] ∵PA是圆O的切线,切点为A, ∴PA⊥AC,得PC= PA2+AC2= 42+(2*23)2=8 再根据切割线定理,得PA2=PB*PC ∴16=PB*8,解之得PB=2 故答案为:2

盖州市13717111148： 如图,PA为圆O的切线,A为切点,PBC为割线,∠APC的平分线交AB于点E,交AC于点F,点M为弧BC的中点. - ？
良将妇科： 证明:PA与圆相切于A,则:∠PAE=∠C;又∠APE=∠CPF.故∠PAE+∠APE=∠C+∠CPF,即∠AEF=∠AFE.(三角形外角的性质),得:AE=AF.又弧BM=弧CM,∠BAM=∠CAM.所以,AM⊥PF.(等腰三角形顶角的平分线也是底边的高) 注:第一步是弦切角的性质,若你没学过,不妨换个方法证明一下∠PAE=∠ACP:连接AO并延长,交圆O于N,连接CN.AN为直径,则∠ACN=90度,又∠BAN=∠BCN.则∠PAE=∠ACP(等角的余角相等)

盖州市13717111148： 如图,PA是圆O的切线,点A为切点,OP交圆O于点B,∠P=10°,点C在圆O上,OC∥AB,则∠BAC等于? - ？
良将妇科： 三角形OAP为直角三角形,所以∠AOB=80°,由于OA=OB所以三角形OAB为等腰三角形,所以∠ABO=∠BAO=50°,由于AB∥OC所以∠BAO=∠AOC=50°,由于OA=OC所以三角形AOC为等腰三角形,所以∠OAC=∠OCA=65°,所以∠BAC=∠BAO+∠OAC=50°+65°=115°

盖州市13717111148： 如图,PA是圆O的切线,切点为A,PO交圆O于B,C两点,且PA=2,PB=1,则AB的长为______. - ？
良将妇科：[答案] ∵PA是圆O的切线,切点为A,PO交圆O于B,C两点, ∴PA2=PB•PC, ∵PA=2,PB=1, ∴PC=4,BC=3, ∵△PAB∽△PCA, ∴ PA AB= PC CA, ∴ 2 AB= 4 9−AB2, ∴AB= 35 5. 故答案为: 35 5.

盖州市13717111148： 如图,PA是圆O的切线,切点为A,过PA的中点M作割线交圆O于点B和C.求证:∠MPB=∠MCP. - ？
良将妇科：[答案] 证明:∵PA为圆O的切线,MC为割线, ∴MA2=MB•MC, 又∵M为PA的中点,∴PM2=MB•MC, ∴ PM MC= MB PM, 又∵∠PMB=∠PMC, ∴△PMB~△PMC, ∴∠MPB=∠MCP.

盖州市13717111148： 已知PA为圆O的切线,A为切点,PO交圆O于点B,PA=4,OA=3,则PB=? - ？
良将妇科：[答案] 连接OB,则OB⊥PB, 在Rt△POB中, OB=OA=PO-AP=3,PO=5, ∴PB=PO2-OB2=52-32=4.

盖州市13717111148： 如图,PA是圆O的切线,A为切点,PBC是圆O的割线.若 = ,则 =________. - ？
良将妇科：[答案]根据切割线定理得PA2=PB·PC=PB(PB+BC),而=,即PA=BC,将其代入上式得PB2+PB·BC-BC2=0,即(2PB+3BC)(2PB-BC)=0,所以=-(舍去)或=.

盖州市13717111148： 如图,已知PA为圆O的切线,A为切点,PBC为割线,∠APC=45°,D为CB的中点,E为OP的中点,试判断:△AED为 - ？
良将妇科： 等腰直角三角形 连OA,OD ∵D为BC中点,∴OD⊥PC ∵PA为切线,∴OA⊥PA ∵E为OP中点,∴EA=EO=EP=ED ∴A.O.D.P共圆,E为圆心 ∴∠AED=2∠APC=90 ∴△AED为等腰直角三角形

盖州市13717111148： 如图,已知PA是圆O的切线,切点为A,PA=3, ∠APO=30°则op=多少? - ？
良将妇科： 连接op 那么因为a是切点 所以0a垂直ap又∠APO=30°那么令oa=x 那么op=2x根据勾股定理 op²=oa²+ap²3x²=9x=根号3所以op=2根号3

盖州市13717111148： 如图所示,PA为圆O的切线,A为切点.过A作AH⊥OP,交⊙O于点B.证:PB是⊙O的切线 - ？
良将妇科： 连结OA、OB ∵PA是圆O的切线,∴∠OAP=90° ∵AH⊥OP,∴OP平分AB(垂径定理) ∴PA=PB,又∵OA=OB,OP=OP,∴△OPA≌△OPB,∴∠OBP=∠OAP=90°,∴PB是圆O的切线.