2.如何理解函数导数、连续的定义？

连续函数的定义 导数的定义 二阶导数的定义~

连续函数（continuous function），函数y＝f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的，对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，可用极限给出严格描述：如果函数y＝f（x）在x0处附近有定义，并且在x0的左右极限都等于f(x0)，那么我们称函数f(x)在点x0处连续。可导函数一定是连续函数。

导数亦名纪数、微商，由速度变化问题和曲线的切线问题而抽象出来的数学概念。又称变化率。
　　如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米／小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米／小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为s＝f（t），那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]，当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 ，自然就把极限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。一般地，假设一元函数 y＝f(x )在 x0点的附近(x0－a ，x0 ＋a)内有定义，当自变量的增量Δx＝ x－x0→0时函数增量 Δy＝f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率)。若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f′，称之为f的导函数，简称为导数。函数y＝f（x）在x0点的导数f′（x0）的几何意义：表示曲线l 在P0［x0，f（x0）］ 点的切线斜率。一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性的法则：设y＝f(x )在（a，b）内可导。如果在（a，b）内，f’（x）≥0,则f（x）在这个区间是单调增加的。。如果在（a，b）内，f’（x）≤0,则f（x）在这个区间是单调减小的。所以，当f’（x）=0时，y＝f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值。

所谓二阶导数，即原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。
　　例如：y=x^2的导数为y=2x,二阶导数即y=2x的导数为y=2。
　　二阶导数的几何意义
　　意义如下：
　　（1）切线斜率变化的速度
　　（2）函数的凹凸性。

1.函数连续性的定义:
设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若 lim(x→x0)f(x)=f(x0), 则称f(x)在点x0处连续。
若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。
2.函数连续必须同时满足三个条件：
（1）函数在x0 处有定义；
（2）x-> x0时，limf(x)存在；
（3）x-> x0时，limf(x)=f(x0)。
则初等函数在其定义域内是连续的。

扩展资料
间断点的定义：
间断点是指：在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。
间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。如果极限存在就是可去间断点，不存在就是跳跃间断点。
1.可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。
2.跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。
3.无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。
4.振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。
可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。
参考资料：百度百科-连续函数

导数是函数增量与自变量增量比的极限，它反映函数在一点增长率；几何上，它是函数图像（曲线）在一点处切线的斜率。
函数在一点连续的定义是函数在这一点的极限等于在这一点的函数值，表示函数在这个点附近的变换不大；几何上，它表示函数图像在这个点是连续的曲线。

---

新乡县18244534061： 2.如何理解函数导数、连续的定义? - ？
袁固氟他： 导数是函数增量与自变量增量比的极限,它反映函数在一点增长率;几何上,它是函数图像(曲线)在一点处切线的斜率.函数在一点连续的定义是函数在这一点的极限等于在这一点的函数值,表示函数在这个点附近的变换不大;几何上,它表示函数图像在这个点是连续的曲线.

新乡县18244534061： 连续导数的含义是什么? - ？
袁固氟他： 连续导数就是说这个函数的导函数是连续的. 函数在各点的导数值不同,因此存在一个该函数的导函数,也就是每一个x对应一个值,这个值就是原函数在该点的导数值,这就是导函数,简称导数. 要弄明白导函数连续的意义首先要搞清楚函数连续的意思,就是说函数的图像是连在一起的,中间没有断开(没有间断点).导数表示愿函数在该点的斜率大小,导函数连续说明原函数的斜率是连续变化的,而并没有在某点发生突变. 关于函数的导数和连续有常用的推论: 1、连续的函数不一定可导. 2、可导的函数是连续的函数. 3、越是高阶可导函数曲线越是光滑. 4、存在处处连续但处处不可导的函数.

新乡县18244534061： 什么是“导数”,什么又是“函数的连续性”? - ？
袁固氟他： 一 导数 1、导数的定义设函数y=f(x)在点x=x0及其附近有定义,当自变量x在x0处有改变量△x(△x可正可负),则函数y相应地有改变量△y=f(x0+△x)-f(x0),这两个改变量的比叫做函数y=f(x)在x0到x0+△x之间的平均变化率.如果当△x→0时,有极...

新乡县18244534061： 【高数基础求助】导函数连续是怎么定义的? - ？
袁固氟他： 求导函数 观察其连续性即可分段函数 求出那个分割点的左右导数

新乡县18244534061： 连续函数的定义 导数的定义 二阶导数的定义怎么搜也搜不到 急用! - ？
袁固氟他：[答案] 就说一元函数吧.函数在其定义域内处处连续,则该函数在其定义域内连续.而函数在某一处连续的充要条件是函数在该处的左极限=右极限=该点的函数值(该点处函数必须有定义).(一阶)导数的定义是:当自变量在某一x处有...

新乡县18244534061： 一个函数的导数连续,说明了什么 - ？
袁固氟他： 首先,有x→a,f′(x)→f′(a). 这样的函数的曲线称为光滑曲线,就是当一个点在曲线上移动时,该点所对应的切线是连续变化的.例如,铁轨就是导数连续的曲线,当你做火车时,假如你的座位是朝向火车前行的方向,你超前看的目光代表你这一点的切线,当火车行走的时候,你的目光的方向变化是连续的.这一点只有铁轨连续是做不到的,必须铁轨函数的导数是连续的.

新乡县18244534061： 什么叫做函数的连续性?什么又叫导数的连续性? - ？
袁固氟他： 函数在某一点处连续,表明函数在该点有定义,该点的左极限和右极限相等且等于原函数在该点的值,导数你把它写成导函数就行了,与函数连续性的定义是一样的

新乡县18244534061： 请问 一阶导数连续的意义是什么 - ？
袁固氟他： 1.＂有极限＂等价于左极限=右极限 2.＂连续＂等价于左极限=右极限=函数值 3.＂可导＂等价于左导数=右导数 (对于你关于求导公式的问题,这里说的左右导数是针对导数的定义式来说的,而定义式就是那个有极限符号lim的那个式子.对于初等函数,在其定义域里都可以直接套公式计算而不必根据导数定义式来计算.) 4.可导必定连续,但连续不一定可导 (对于＂连续不一定可导＂的理解如下:比如函数y=|x|,它在x=0处的图形是一个＂尖角＂,也就是不可导,但它在这一点是连续的.)

新乡县18244534061： 高中数学名词'导数'如何理解! - ？
袁固氟他： 导数表示函数一点切线的斜率,可以理解为,函数在此点以导数的方向延伸,所以导数是为函数前进引导的.

新乡县18244534061： 高中数学名词'导数'如何理解!？
袁固氟他： 首先假设已经知道极限的概念,知道函数的极限的概念,知道函数连续的概念. 函数在某点的导数的定义:首先要求函数在该点连续,简单点就是 如果函数值的变化量/自变量的变化量,在自变量趋于0的情况下有极限, 则称这个函数在这个点...