关于数学:三角形中的有关结论
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相关点。
三角形“四心”的向量形式:
一、三角形重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简单。(重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名) 重心的性质: 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理
三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心。 外心的性质: 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心。 2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A(∠A为锐角或直角)或∠BOC=360°-2∠A(∠A为钝角)。 3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合。 4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量:d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3。外心坐标:( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c )。 5、外心到三顶点的距离相等
三、三角形垂心定理
三角形的三条高(所在直线)交于一点,该点叫做三角形的垂心。 垂心的性质: 1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线,且OG︰GH=1︰2。(此直线称为三角形的欧拉线(Euler line)) 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 定理证明 已知:ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点O,连接CO并延长交AB于点F ,求证:CF⊥AB 证明: 连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 因此,垂心定理成立!
四、三角形内心定理
三角形内切圆的圆心,叫做三角形的内心。 内心的性质: 1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。 2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 3、P为ΔABC所在平面上任意一点,点0是ΔABC内心的充要条件是:向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c). 4、O为三角形的内心,A、B、C分别为三角形的三个顶点,延长AO交BC边于N,则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 5、点O是平面ABC上任意一点,点I是△ABC内心的充要条件是: a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0. 6、、(欧拉定理)⊿ABC中,R和r分别为外接圆为和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则OI^2=R^2-2Rr. 7、(内角平分线分三边长度关系) △ABC中,0为内心,∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R, 则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
五、三角形旁心定理
三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心,叫做三角形的旁心。 旁心的性质: 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。 2、每个三角形都有三个旁心。 3、旁心到三边的距离相等。 如图,点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外。 附:三角形的中心:只有正三角形才有中心,这时重心,内心,外心,垂心,四心合一。
有关三角形五心的诗歌
三角形五心歌(重外垂内旁) 三角形有五颗心,重外垂内和旁心, 五心性质很重要,认真掌握莫记混.
重心三条中线定相交,交点位置真奇巧, 交点命名为“重心”,重心性质要明了,重心分割中线段,数段之比听分晓; 长短之比二比一,灵活运用掌握好.
外心 三角形有六元素,三个内角有三边. 作三边的中垂线,三线相交共一点.此点定义为外心,用它可作外接圆. 内心外心莫记混,内切外接是关键.
垂心 三角形上作三高,三高必于垂心交. 高线分割三角形,出现直角三对整, 直角三角形有十二,构成六对相似形, 四点共圆图中有,细心分析可找清.
内 心 三角对应三顶点,角角都有平分线, 三线相交定共点,叫做“内心”有根源; 点至三边均等距,可作三角形内切圆, 此圆圆心称“内心”。五心性质别记混。
1.一个平行四边形的面积是36.8平方米,与它等底等高的三角形的面积是( )平方米。
2.一个三角形的面积是14.3平方分米,与它等底等高的长方形的面积是( )平方分米。
二、应用题。
1.一块等腰三角形的菜地,周长是160米,一条腰长是50米,底边上的高是30米,这块菜地的面积是多少平方米?
2.一个直角三角形的两条直角边分别长3米和4米,斜边长5米,谢边上的高是多少米?如图,在三角形ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,连接DE,试证明DE=BC/2,DE平行于BC 1.如图,△ABC和△DEF是全等三角形,若AB=DE,∠B=50°,∠C=70°,∠E=50°,则∠D的度数是_____
2.如图,△ABC≌△BAD,A和B,C和D是对应顶点,AB=6,BD=5,AD=4,则BC=____
3.已知△ABC中,∠C=90°,AD平分∠A交BC于点D,若BC=8,BD=5,则D到AB的距离是_____。
4.如图,∠1=∠2,要使△ABC≌△ADC,还需要添加一个条件是____
5.如图,直角三角形ABC内,点O到三角形三边的距离相等,则∠AOB=___。
二、选择题(每题6分,共30分)
6.△ABC中,D、E分别是AC,BC上的点,若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C的度数是( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
7.如图,AB=A1B1,∠A=∠A1,要使△ABC≌△A1B1C1,还需要( )
A.∠B=∠B1 B.∠C=∠C1 C.AC=A1C1 D.以上答案均可
8.如图,已知△ABC中,DF=FE,BD=CE,AF⊥BC,垂足为F,则此图中全等三角形共有( )对
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
9.两个三角形有两边和一角对应相等,则两个三角形( )
A.一定全等 B.一定不全等 C.可能全等,可能不全等 D.以上都不是
10.如图,已知AD‖BC,AD=BC,则下列结论正确的个数为( )
(1)AB=CD
(2)∠B=∠D
(3)∠1=∠2
(4)∠B+∠DCB=180 °
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
三、解答题(每题10分,共40分)
11.如图,已知BD=CD,BF⊥AC,CE⊥AB,求证:D在∠BAC的平分线上。
12.如图,已知点D、E在BC上,AB=AC,AH⊥BC于H,∠DAH=∠EAH,求证:BD=CE。
13.如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E、F为垂足,DE=BF,求证:AB‖CD
14.四边形ABCD中,AD‖BC,若∠DAB的平分线AE交CD于E,连接BE,且BE恰好平分∠ABC,找出AB的长与AD+BC的长的大小关系,并证明你的结论。
三角形稳定性 三角形面积=1/2*底*高 三角形全等定理SAS SSS ASA HL
俩全等三角形可拼成平行四边形(梯形 菱形长方形)
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (2R为三角型的外接圆直径)
大边对大角,小边对小角
三角形最结实了
初三数学的三角形重心问题:在一个直角三角形中,两条中线交于一点,可以...
2. 在直角三角形中,两条中线确实会交于一点,这个点就是三角形的重心。3. 然而,在讨论重心性质的问题时,我们不能简单地断言这个点是重心,而应该指出它是重心的位置。4. 在题目中,我们不能直接说“这点是三角形的重心”,因为需要明确指出这一点是基于中线的性质。5. 题目考查的是学生对三角...
数学的三角形角度等于多少?
三角形的内角和是 180°。具体三角形中每个角的度数取决于三角形的类型及已知条件。比如:- 等边三角形三个内角都相等,每个角都是 60°。- 直角三角形有一个角是 90°,另外两个锐角的和为 90°。如果已知三角形的边的长度等条件,可以通过正弦定理、余弦定理等方法来求解三角形的角度。
初三数学,相似中,坡比相当于三角形当中的那条边比那条边?顺便把sin c...
回答:sin=对边:斜边 cos=邻边:斜边 tan=对边:邻边=sin:cos sin30=1\/2 cos30=√3\/2 tan30=√3\/3
直角三角形相关公式
详情解释:在小学的数学中的三角形公式是底x高除以2。三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形,三角形面积公式=三角形底a,高h,则三角形的面积为S=ah除2。直角三角形定义有一个角为90°的三角形,叫作直角三角形。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,...
数学中关于三角形的所有的定理、定义、性质我都要
81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它 的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的 一半L=(a+b)÷2 S=L×h 83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果a\/b=c\/d,那么(a±b)\/b=(c±d...
余弦定理是什么还有cos怎么算请详细解答
学定理,是勾股定理在一般三角形情形下的推广,勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理表达式:已知△ABC的三边之比为5:4:3,求最大的内角。解:设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3。由三角形中大边对大角可知:∠A为最大的角。由余弦定理:cosA=0 所以∠A=90°。
证明三角形内心判定方法
10、三角形内角平分线定理:△ABC中,I为内心,∠BAC 、∠ABC、 ∠ACB的内角平分线分别交BC、AC、AB于A'、B'、C',则BA'\/CA'=AB\/AC,AB'\/CB'=BA\/BC,AC'\/BC'=CA\/CB 证明三角形内心判定方法相关 文章 :★ 八年级数学三角形的证明知识点复习 ★ 中考数学复习:圆的考点及三角形...
三角形三个内角和等于多少度
三角形的三个内角和等于180度。三角形内角和定理:三角形三个内角和等于180°,用数学符号表示为:在△ABC中,∠1+∠2+∠3=180°,也可以用全称命题表示为:?△ABC,∠1+∠2+∠3=180°。内角和是数学中的一个概念,指的是多边形所有内角度数的总和。在平面几何中,对于三角形来说,内角和是一...
勾股定理
我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种,为勾股定理作的图注也不少,其中较早的是赵爽(即赵君卿)在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法: 如图,将图中的四个直角三角形涂上朱色,把中间小正方形涂上黄色,叫做中黄实,以弦为边的正方形称为弦实,然后经过拼补搭配,“令...
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垂线定理的历史由来如下:1、垂线定理,又称等腰三角形中垂线定理,是几何学中的基本定理之一。这个定理可以表述为:在等腰三角形中,底边上的中垂线与两个基边保持相等的距离。2、这个定理的历史可以追溯到古希腊数学家欧几里得(Euclid)的《几何原本》。在《几何原本》中,欧几里得通过证明得出了这个定理...
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岭东区18214505295: 数学三角形内心外心结论? - ?
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岭东区18214505295: 关于高中三角形的常见结论 - ?
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岭东区18214505295: 初中关于三角形的所有定理 - ?
辕宗倍然: 勾股定理:直角三角形中:直角边的平方和等于斜边的平方和. 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,这就叫做正弦定理 余弦定理:余弦: cosα=(B^2+C^2-A^2)/2BC cosb=(A^2+C^2-B^2)/2AC cosc=(A^2+B^2-C^2)/2AB ...
岭东区18214505295: 初三数学三角形知识点总结归纳,要把初三所有关于三角形的知识点全部归纳总结出来,有图更好,不要例题,只要知识点~只关于三角形总结 - ?
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辕宗倍然: 三角函数公式:sin(A+B)=sinA*cosB+cosA*sinB sin(A-B)=sinA*cosB-cosA*sinB cos(A+B)=cosA*cosB-sinA*sinB cos(A-B)=cosA*cosB+sinA*sinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1-tanA*tanB)
岭东区18214505295: 初中数学的重要结论公式(填空选择可用) - ?
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