证明三角形内心判定方法

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三角形内心指三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。这个点也是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。下面我给大家带来证明三角形内心判定 方法 ，希望能帮助到大家!

证明三角形内心判定方法

在三角形中，三个内角的三条角平分线的相交于一点，这个点是这个三角形内切圆的圆心，也叫做三角形的内心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。

三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

作∠B、∠C的角平分线于AC、AB交于F、D

CD与BF交于I，连接AI交BC并延长至E

由塞瓦定理有：

BF、CD为角平分线

由角平分线定理有：

由角平分线定理的逆定理有AE为∠A的角分线 

证明三角形内心判定定义

角平分线的一个性质：角平分线分对边与该角的两边成比例。

在△ABC中，连接BO交AC于E，O是内心，所以BE是∠B的角平分线，而且AD过内心O(均为内心的定义所知)，所以在△ADB中BO是∠B的角平分线，           所以有AB/BD=AO/OD,

同理AO/OD=AC/CD

内心：三角形三条角平分线的交点，也是内接圆的圆心。

本题用到的定理的证明

△ABC中，AD是∠A的角平分线，D在BC上，abc是角的对边ABC，d=AD。由于正弦定理b/sinB=c/sinC d=R1sinB=R2sinC,R1是△ABD的外接圆半         径，R2是△ACD的外接圆半径，所以R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=R1sinBAD， CD=R2sinCAD,∠CAD=∠BAD，所以BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC

证明三角形内心判定性质

设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2

1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r

2、∠BIC=90°+∠BAC/2

3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD

4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c).

5、在△ABC中，内心的坐标是：

6、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，外心和内心的距离为d，则d?=R^2-2Rr

7、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则内切圆半径r=2S/(a+b+c)

内切圆

8、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

9、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，则AP=AR=(b+c-a)/2， BP =BQ =(a+c-b)/2, CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。

10、三角形内角平分线定理：△ABC中，I为内心，∠BAC 、∠ABC、 ∠ACB的内角平分线分别交BC、AC、AB于A'、B'、C',则BA'/CA'=AB/AC,AB'/CB'=BA/BC,AC'/BC'=CA/CB

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上虞市17157702873： 怎么证明一个点是否是三角形内心 - ？
侨巩蹄鞘： 证明这个点到三角形边的距离相等,在三个角的角平分线的交点上

上虞市17157702873： 三角形三心的定理如何去证明它? - ？
侨巩蹄鞘： 三角形的五心 一 定理 重心定理:三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的 离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心. 外心定理:三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心. 垂心定理:三角形的三条高交于一...

上虞市17157702873： 怎样证明三角形的内心 - ？
侨巩蹄鞘： 内心是三角形三条角平分线的交点.作出三角形两条角平分线,证明经过另一角顶点和交点的连线也是角平分线.因为角平分线上的一点到角两边的距离相等,即证.

上虞市17157702873： 三角形的几个'心'怎么证明 - ？
侨巩蹄鞘：[答案] 三角形的五心 一 定理 重心定理:三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的 离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心. 外心定理:三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心. 垂心定理:三角形的三条高交于一点.该点叫...

上虞市17157702873： 三角形ABC的内心,外心,重心,垂心分别是什么?如何证明? - ？
侨巩蹄鞘：[答案] 1、【内心】三角形三个内角平分线的交点;【特点:到三角形三边距离相等】 2、【外心】三角形三边的垂直平分线的交点;【特点:到三角形三个顶点的距离相等】 3、【重心】三角形三条中线的交点; 4、【垂心】三角形三条高的交点.

上虞市17157702873： 怎样证明等边三角形的内心是垂心,重心,中心,外心 - ？
侨巩蹄鞘： 由于等边三角形的高、中线、角平分线、各边垂直平分线都重合(利用三线合一不难得到),则四心亦重合.中心不是数学专用术语所以不采用.

上虞市17157702873： 三角形内心的性质求证!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! - ？
侨巩蹄鞘： 图在这里: 证明: ∵∠BAI=∠IAC=∠GBC 又∵∠ABI=∠CBI ∴∠BIG=∠BAI+∠ABI=∠GBC+∠CBI=∠GBI ∴△BGI是等腰三角形,BG=GI 根据相交弦定理,IF*IE=IA*IG R^2-OI^2=OF^2-OI^2=(OF-OI)*(OF+OI)=IF*(OE+OI)=IF*IE=IA*IG=IA*BG 又∵∠IAC=∠IAB=∠GHB,∠GBH=∠IDA=90° ∴△GBH∽△IDA ∴HG/IA=BG/ID即IA*BG=HG*ID=2R*r 再联合上面的等式 ∴R^2-OI^2=2R*r ∴OI^2=R^2-2R*r 证毕.

上虞市17157702873： 如何证明一个点是三角形的内心 - ？
侨巩蹄鞘： 该点到三角形任何一个顶点的直线距离相等

上虞市17157702873： 三角形内心证明 - ？
侨巩蹄鞘： 解: ∴∠APB=180°-1/2(∠BAC+∠ABC)=180°-1/2(180°-∠ACB)=90°+1/2∠ACB 用同一法证明 取△ABC内心P',连接,AP',BP'.CP' ∴∠BP'C=90°+1/2∠BAC∠AP'C=90°+1/2∠ABC∠AP'B=90°+1/2∠ACB ∴∠BP'C=∠BPC∠AP'C=∠APC∠AP'B=∠APB 又P'与P均在△ABC中 ∴P'与P点重合 ∴P为△ABC内心