解析几何中的摆线旋转体体积问题，我用两种方法求解但结果不同，百思不得其解，快疯了

学习的概念~

　　●主动的态度

　　“主动学习”与“被动学习”的差别很大，主动学习并不是指学习的时间长、自觉地去学习、学习的时候不用家长和老师督促，而是指在学习知识的时候，主动地找出问题、主动地解决问题，或者想方法解决问题。学会主动的学习方法学习起来就会更轻松，花更少的时间。得更好的成绩。

　　●“批评”的态度

　　“他山有砺石，良璧逾晶莹”，抱着批评态度其实是一种严谨的态度，只是批评才有改正、进步。

　　批评要经过三段过程：感受、理解、表明。所以采用批评的学习态度，往往能更深刻地认识、理解问题，真正的批评者要谋求理性和感性的统一，不是漫无目的，更不是知其然而不知其所以然的盲目陶醉。

　　●两面的态度

　　我们在生活中随时可以吸取有益的东西，身边的每个人、每件事都可能对我们有所帮助和启发，任何事物自身的属性都有优劣，有相互对立的两重性，并会在一定的条件下向相反的方向、对立的方面转化，这就需要我们扬长避短、化短为长，“择其善者而从之，其不善者而改之。”我们可以从优秀的人和好的事件中学习经验；从恶劣的人和坏的事件中借鉴教训。学会两面的学习态度，对于我们来说是不是有“事半功倍”的效果呢？

　　●谦虚的态度

　　“三人行，必有我师。”谦虚对于每个人每件事都是至关重要的，学习更是如此。

　　“自谦则人愈服，自夸则人必疑。”真正想学本领的人越学习越觉得自己不明白的问题越多、需要学习的内容越多，懂得每个人都有其所知所能而自己不知不能，需要虚心向别人学习、向明白人请教，善于发现别人的所知所能、优点长处，善于从别人那里学到有利于自身发展的内容。

怎样才能学习好？离不开各位勤奋的练习，而且一定要打好音标和词汇基础。学英语没方向的话，可以考虑来阿卡索跟着外教一对一学习专业的英语知识，咱家外教必须具有专业的教学资格，发音必须是最标准地道的，一对一授课模式针对性强，外教能第一时间了解大家的学习情况，并随时进行课程调整，制定合理的学习计划，大家不妨去试课了解一下：【价值388元免费外教体验课】阿卡索线上英语有什么优势呢？1.外教均有tesol证书，外教信息公开透明，可以放心学习。2.25分钟一节课，每天1节课，高频次学习保证效果。3.价格便宜，课均不到20元，每天都能跟着外教一对一学英语。若对挑选英语培训班有任何其他疑惑，都可以百度咨询“vivi老师”。

第一种做法对，第二种做法不对。原因在于：第二种做法是用圆柱的体积减去阴影部分的体积。圆柱体积算的没有问题，但是阴影部分体积不能直接用πr²这种微分形式计算。因为阴影绕着x轴旋转一周，形成的是一个环形体，而不是实心体。可以类比于圆环的面积，不是π(R-r)²，而是πR²-πr²。不懂可追问。

为啥我看起来好难

第二种才是对的

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漾濞彝族自治县18229458172： 求下列旋转体的体积:摆线x=a(t - sint),y=a(1 - sint)与x轴围成的图形绕y=2a旋转.这是一道大一高数问题,恳请大侠出手相助,感激不尽! - ？
帛冠可利：[答案] 先纠正一下,摆线参数方程: x=a(t-sint) y=a(1-cost) 应该是摆线一个周期的旋转体吧,t∈[0,2π],要不然就无穷大了. 可以先算摆线与y=2a、x=0、x=2πa围成的柱体体积,再用外围圆柱体减掉就是了. 旋转体体积计算方法课本上有,V=π∫(y^2)dx【这里...

漾濞彝族自治县18229458172： 求摆线x=a(t - sint)y=a(1 - cost)的一拱与x轴围成的图形绕y轴旋转所成旋转体的体积 求过程 - ？
帛冠可利： 垂直于x轴的微面积ydx绕y轴旋转的微体积等于лx²(ydx); 则 V=∫лx²(ydx)=∫a³л (t-sint)²(1-cost) [(1-cost)dt];积分区间t[0,2л]; V=a³л∫[(t-sint)*(1-cost)]²dt=a³л∫(t-sint-tcost+sintcost)²dt =a³л∫[(t²+sin²t+t²cos²t+sin²tcos²t)-(tsint+t²...

漾濞彝族自治县18229458172： 求一个旋转体体积(定积分)摆线x=a(t - sint),y=a(1 - cost)的一拱,y=0,绕直线y=2a我是画不出图形...根本做不出来... - ？
帛冠可利：[答案] 旋转轴 y=2a 正好位于摆线顶端,旋转体体积:V=∫π[4a²-(2a-y)²]dx,x积分区间是一个拱圈[0,2πa]; 以参数方程表示,V=8π²a³-∫π(2a-a+acost)²*a(1-cost)dt,t=[0,2π]; V=8π²a³-πa³∫(1+cost)²(1-cost)dt=8π²a³-πa³∫(1+cost)sin²t dt =8π²a³...

漾濞彝族自治县18229458172： 高等数学利用定积分几何意义求旋转体体积,求摆线x=a(t - sint),y=a(1 - cost)的一拱(0≤t≤2π)与y=0绕y轴(其实等价于绕y=2a转的体积)所转成图形的体积.参... - ？
帛冠可利：[答案] 参数方程也是直接做的,没大区别. 关键还是画出图像,然后搞清楚积哪块区域 所以应该是按照右侧曲线积分算出的体积减去左侧曲线积分算出的体积

漾濞彝族自治县18229458172： 计算摆线绕y轴旋转而成的旋转体积时,积分区间(2π——π)是怎么来的,为什么不是π——2π呢 - ？
帛冠可利： 因为要保证,积分出来的体积是正数,积分有正有负,可是体积只能是正的..所以积分区间对调是为了调整正负...

漾濞彝族自治县18229458172： 求摆线x=a(t - sint)y=a(1 - cost)的一拱和x轴围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转体的体积 - ？
帛冠可利： 解:所求体积=∫<0,2π>π[a(1-cosθ)]²*a(1-cosθ)dθ =πa³∫<0,2π>(1-cosθ)³dθ =πa³∫<0,2π>(1-3cosθ+3cos²θ-cos³θ)dθ =πa³∫<0,2π>[5/2-3cosθ+(3/2)cos(2θ)-(1-sin²θ)cosθ]dθ =πa³[5θ/2-3sinθ+(3/4)sin(2θ)-sinθ+sin³θ/3]│<0,2π> =πa³[(5/2)(2π)] =5π²a³

漾濞彝族自治县18229458172： 紧急求助 帮忙 定积分在几何学上的应用 求旋转体的体积的问题 谢谢？
帛冠可利： 注意:旋转体的体积公式 V = π ∫ f ²(x) dx 是指平面图形:a≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) 绕x轴旋转而得. 现在题目中,所求体积应是两个体积之差: V = π ∫ f上 ²(x) dx - π ∫ f下 ²(x) dx 其中: f上 = 2 - x², f下 = x 即 V = π ∫[0,1] 【(2- x²) - x²】 dx

漾濞彝族自治县18229458172： 高等数学利用定积分几何意义求旋转体体积,等一天了 - ？
帛冠可利： 解:旋转体体积=2π∫<0,2π>a(t-sint)*a(1-cost)*a(1-cost)dt =2πa^3{∫<0,2π>t[3/2-2cost+cos(2t)/2]dt+∫<0,2π>[1-2cost+(cost)^2]d(cost)} =2πa^3[(3π^2)+0] =6(πa)^3.

漾濞彝族自治县18229458172： 【求助】极坐标下的旋转体体积的公式我在李永乐全书说啥都没找到……换句话说,我问一下400题数一第八套16题第一问求摆线绕x轴转一圈的体积怎么求…... - ？
帛冠可利：[答案] 乐哥题目 是求摆线r=1时(-π,π)范围内绕x轴转一周围城的立体体积x=t-sint 摆线; y=1-cost摆线方程如左,乐哥公式是(1/2)∫y(t)√(y'+x')dt,把x,y带入则他的答案上变成(1/2)∫(1-cost)√(1-cost)dt, 若按照你...

漾濞彝族自治县18229458172： 曲线旋转的体积问题 - ？
帛冠可利： 所围成的图形是按照 y=x 对称的图形 2交点为(0,0) 和(1,1) 所以它按照Y 或者X旋转V 都是一样的 积分结果也没差别 表达式符号写不出来 表达式不难