一元三次方程的解法及求根公式

一元三次方程的判别式和求根公式是什么？~

一元三次方程不存在判别式。
首先一元三次方程至少有一个实数解，至多有三个实数解。
想要了解根的情况，这就涉及到函数的导数与极端值这块内容。（看样子问者未学）
关于三次函数的求根公式
三次函数的求根公式比较复杂
关于一般的一元三次方程，
ax^3+bx^2+cx+d=0（a不等于0）
首先是化为特殊的三次方程x^3+px+q=0求解的
因为对于这类方程我们有一般的求解方法。
具体化简方法如下：
（ax^3+bx^2+cx+d=0（a不等于0）
化成
x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)=0
可以写成
x^3+a1*x^2+a2*x+a3=0
其中a1=b/a,a2=c/a,a3=d/a
令y=x-a1/3
则y^3+px+q=0
其中p=-(a1^2/3)+a2
q=(2a1^3/27)-(a1*a2)/3+a3）
具体解法由于你所学知识不够看不懂，求解后得
x= （ － (q/2)-((q/2)^2 ＋ （ p/3 ） ^3 ） ^(1/2) ） ^(1/3)+ （ － (q/2)+((q/2)^2 ＋ （p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
如果很想了解可以去看百度文库。其实对你来说完全没有必要的，只做初略的了解。学习数学要脚踏实地，循序渐进。

卡尔丹公式法
特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)。
判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3。
卡尔丹公式
X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)；
X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2；
X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω，
其中ω=(－1+i3^(1/2))/2；
Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。
标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
令X=Y—b/(3a)代入上式。
可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。
卡尔丹判别法
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。
因式分解法
因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。
例如：解方程x^3-x=0
对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=-1。

一种换元法
对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。
令x=z-p/3z，代入并化简，得：z^3-p/27z+q=0。再令z^3=w，代入，得：w^2-p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程。解出w，再顺次解出z，x。

导数求解法
利用导数，求的函数的极大极小值，单调递增及递减区间，画出函数图像，有利于方程的大致解答，并且能快速得到方程解的个数，此法十分适用于高中数学题的解答。
如f(x）=x^3+x+1,移项得x^3+x=-1,设y1=x^3+x,y2=-1,
y1的导数y1'=3x^2+1,得y1'恒大于0，y1在R上单调递增，所以方程仅一个解，且当y1=-1时x在-1与-2之间，可根据f(x1)f(x2)<0的公式，无限逼近，求得较精确的解。

盛金公式法
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——盛金公式，并建立了新判别法——盛金判别法。
标准型的一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
扩展资料：
一元三次方程应用广泛，如电力工程、水利工程、建筑工程、机械工程、动力工程、数学教学及其他领域等。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但是使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
上世纪80年代，中国的一名中学数学教师范盛金对解一元三次方程问题进行了深入的研究和探索，发明了比卡尔丹公式更实用的新求根公式——盛金公式，并建立了简明的、直观的、盛金判别法，同时提出了盛金定理，盛金定理清晰地回答了解三次方程的疑惑问题，且很有趣味。
盛金公式的特点是由最简重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd和总判别式Δ=B^2－4AC来构成，体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美，简明易记、解题直观、准确高效。
特别是当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式3：X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)，其表达式非常漂亮，手算解题效率高。
盛金公式3被称为超级简便的公式。盛金公式与判别法及定理形成了一套完整的、简明的、实用的、具有数学美的解三次方程的理论体系，范盛金创造出的这套万能的系统方法，对研究解高次方程问题及提高解三次方程的效率作出了贡献。

参考资料：
百度百科-解一元三次方程

解：
原方程整理得：
5x^3-60x^2+384x-768=0
(此时，x不等于-4且x不等于4)
经过解方程可知：
5x^3-60x^2+384x-768=0 的三个根为：
实数根：
x1=-4/5*(25+20*10^(1/2))^(1/3)+12/(25+20*10^(1/2))^(1/3)+4
共轭复数根分别为：
x2=2/5*(25+20*10^(1/2))^(1/3)-6/(25+20*10^(1/2))^(1/3)+4+2*i*3^(1/2)*(-1/5*(25+20*10^(1/2))^(1/3)-3/(25+20*10^(1/2))^(1/3))

x3=2/5*(25+20*10^(1/2))^(1/3)-6/(25+20*10^(1/2))^(1/3)+4-2*i*3^(1/2)*(-1/5*(25+20*10^(1/2))^(1/3)-3/(25+20*10^(1/2))^(1/3))

精确到小数点后14位得：
X1=3.13368638035959
X2=4.43315680982021+5.41875211332654*i
X3=4.43315680982021-5.41875211332654*i

分别将x1,x2,x3带入y=(48-12*x+x^2)/(4+x)-x^2/(16-4*x)检验得：
x1带入y=-4.4409e-015 接近于0
x2带入y=4.4409e-016 +6.6613e-016i 接近于0+0i=0
x3带入y= 4.4409e-016 -6.6613e-016i 近于0+0i=0
所以误差小于10的-15次方
a*x^3+b*x^2+c*x+d=0（a不为0）
这个三次方程的求根公式为：
x1= 1/6/a*(36*c*b*a-108*d*a^2-8*b^3+12*3^(1/2)*(4*c^3*a-c^2*b^2-18*c*b*a*d+27*d^2*a^2+4*d*b^3)^(1/2)*a)^(1/3)-2/3*(3*c*a-b^2)/a/(36*c*b*a-108*d*a^2-8*b^3+12*3^(1/2)*(4*c^3*a-c^2*b^2-18*c*b*a*d+27*d^2*a^2+4*d*b^3)^(1/2)*a)^(1/3)-1/3*b/a

x2= -1/12/a*(36*c*b*a-108*d*a^2-8*b^3+12*3^(1/2)*(4*c^3*a-c^2*b^2-18*c*b*a*d+27*d^2*a^2+4*d*b^3)^(1/2)*a)^(1/3)+1/3*(3*c*a-b^2)/a/(36*c*b*a-108*d*a^2-8*b^3+12*3^(1/2)*(4*c^3*a-c^2*b^2-18*c*b*a*d+27*d^2*a^2+4*d*b^3)^(1/2)*a)^(1/3)-1/3*b/a+1/2*i*3^(1/2)*(1/6/a*(36*c*b*a-108*d*a^2-8*b^3+12*3^(1/2)*(4*c^3*a-c^2*b^2-18*c*b*a*d+27*d^2*a^2+4*d*b^3)^(1/2)*a)^(1/3)+2/3*(3*c*a-b^2)/a/(36*c*b*a-108*d*a^2-8*b^3+12*3^(1/2)*(4*c^3*a-c^2*b^2-18*c*b*a*d+27*d^2*a^2+4*d*b^3)^(1/2)*a)^(1/3))

x3=-1/12/a*(36*c*b*a-108*d*a^2-8*b^3+12*3^(1/2)*(4*c^3*a-c^2*b^2-18*c*b*a*d+27*d^2*a^2+4*d*b^3)^(1/2)*a)^(1/3)+1/3*(3*c*a-b^2)/a/(36*c*b*a-108*d*a^2-8*b^3+12*3^(1/2)*(4*c^3*a-c^2*b^2-18*c*b*a*d+27*d^2*a^2+4*d*b^3)^(1/2)*a)^(1/3)-1/3*b/a-1/2*i*3^(1/2)*(1/6/a*(36*c*b*a-108*d*a^2-8*b^3+12*3^(1/2)*(4*c^3*a-c^2*b^2-18*c*b*a*d+27*d^2*a^2+4*d*b^3)^(1/2)*a)^(1/3)+2/3*(3*c*a-b^2)/a/(36*c*b*a-108*d*a^2-8*b^3+12*3^(1/2)*(4*c^3*a-c^2*b^2-18*c*b*a*d+27*d^2*a^2+4*d*b^3)^(1/2)*a)^(1/3))
这个公式有点长，都不敢写了，怕你吓坏，想了想还是提出来吧。
回答完毕，希望你能采纳！

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