三重积分计算I=∫∫∫(x+y+z)^2dv..设V:x^2+y^2+z^2<=4(x-2)^2+y^2+z^2<=4

计算三重积分I=∫∫∫Ω(x^2+y^2+z^2)dv,其中Ω:x^2+y^2+z^2=a^2~

解：原式=∫dθ∫dφ∫r²*r²sinφdr (作球面坐标变换)
=2π∫sinφdφ∫r^4dr
=2π[cos(0)-cos(π)]*a^5/5
=4πa^5/5。

解：原式=∫dθ∫sinφdφ∫r^4dr (作球面坐标变换)
=2π∫sinφ[(32/5)(cosφ)^5]dφ
=(64π/5)∫sinφ(cosφ)^5dφ
=(64π/5)(1/6)
=32π/15。

(x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz，由于积分区域关于xoy面、xoz面对称，而2xy、2xz、2yz关于y或z为奇函数，因此它们的积分为0，因此被积函数只剩下x²+y²+z²
再由轮换对称性，本题积分区域改为：x²+y²+z²≤4，x²+y²+(z-2)²≤4，积分结果不变。
x²+y²+(z-2)²=4可化为：x²+y²+z²=2z，球坐标方程为r²=2rcosφ，即r=2cosφ

∫∫∫ (x²+y²+z²) dxdydz
球坐标
=∫∫∫ r²*r²*sinφ drdφdθ
=∫[0→2π]dθ∫[0→π/2]dφ∫[2cosφ→2] r²*r²*sinφ dr
=(2π/5)∫[0→π/2] r^5sinφ |[2cosφ→2] dφ
=(64π/5)∫[0→π/2] (1-(cosφ)^5)sinφdφ
=-(64π/5)∫[0→π/2] (1-(cosφ)^5)d(cosφ)
=(64π/5)(1/6)(cosφ)^6-(64π/5)(cosφ) |[0→π/2]
=(64π/5)-(64π/5)(1/6)
=(64π/5)(5/6)
=32π/3

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五华区18218823367： 计算三重积分(x+y+z)dxdydz - ？
毛珊复安：[答案] ∫∫∫ (x+y+z)dxdydz=∫∫∫ (x+y+z)dxdydz //先对dx进行积分=∫∫ (0.5x^2+yx+zx+c)dydz //对dy进行积分=∫ (0.5x^2y+0.5y^2x+xyz+cy + c)dz=0.5x^2yz + 0.5y^2xz + 0.5z^2xy + cyz+cz+c后面的cyz+cz+c 可以随便换...

五华区18218823367： 三重积分计算I=∫∫∫(x+y+z)^2dv..设V:x^2+y^2+z^2 - ？
毛珊复安：[答案] (x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz,由于积分区域关于xoy面、xoz面对称,而2xy、2xz、2yz关于y或z为奇函数,因此它们的积分为0,因此被积函数只剩下x²+y²+z² 再由轮换对称性,本题积分区域改为:x²+y²+z²≤4,x²+y²+(z-2)²≤4,积分...

五华区18218823367： 计算三重积分∫∫∫(x+y+z)dv,其中Ω是由平面z=h及曲面x^2+y^2=z^2(h>0)所围成的区域 - ？
毛珊复安：[答案] 原式=∫dθ∫rdr∫(rcosθ+rsinθ+z)dz (作柱面坐标变换) =∫dθ∫r[h^2/2+h(cosθ+sinθ)r-(cosθ+sinθ+1/2)r^2]dr =∫dθ∫[h^2r/2+h(cosθ+sinθ)r^2-(cosθ+sinθ+1/2)r^3]dr =∫h^4[1/8+(cosθ+sinθ)/12]dθ =h^4(π/4) =πh^4/4.

五华区18218823367： 三重积分计算I=∫∫∫(x+y+z)^2dv..设V:x^2+y^2+z^2<=4(x - 2)^2+y^2+z^2<=4 - ？
毛珊复安： (x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz,由于积分区域关于xoy面、xoz面对称,而2xy、2xz、2yz关于y或z为奇函数,因此它们的积分为0,因此被积函数只剩下x²+y²+z² 再由轮换对称性,本题积分区域改为:x²+y²+z²≤4,x²+y²+(z-2)²≤4,...

五华区18218823367： 计算三重积分∫∫∫Ω(x²+y²+z²)dv,其中Ω是曲线{y²=2z,x=0}绕z轴旋转一周而成 - ？
毛珊复安： (x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz,由于积分区域关于xoy面、xoz面对称,而2xy、2xz、2yz关于y或z为奇函数,因此它们的积分为0,因此被积函数只剩下x²+y²+z²再由轮换对称性,本题积分区域改为:x²+y²+z²≤4,x²+y²+(z-2)²≤4,...

五华区18218823367： 三重积分在线等求助···谢谢I=∫∫∫|(x^2+y^2+z^2)^(1/2) - 1|dv,由z=(x^2+y^2)^(1/2)和z=1围成求I(如果不方便算就告诉我一个计算方向吧,详细些,如果能算... - ？
毛珊复安：[答案] I=∫dθ∫sinφdφ∫|r-1|r²dr (作球面坐标变换)=2π∫sinφdφ[∫(1-r)r²dr+∫(r-1)r²dr](∵0≤φ≤π/4==>1/√2≤cosφ≤1==>1≤1/cosφ≤√2∴当0≤r≤1时,|r-1|=1-r.当1≤r≤1/cosφ时,|r-1|=r-1...

五华区18218823367： 求I=∫∫∫(Ω)(x+y+z)dv的值,其中Ω={(x,y,z)|x^2+y^2≤25,0≤z≤ - ？
毛珊复安： :∫∫∫(Ω)(x+y+z)dv =∫∫∫(Ω)xdv+∫∫∫(Ω)ydv+∫∫∫(Ω)zdv 由于对称性,x,y,z都是奇函数, 则积分为零. 如果一定要化为三次积分,用球坐标计算如下: ∫∫∫(x+y+z)dv = ∫dφ∫dθ∫ρ(sinφcosθ+sinφsinθ+cosφ)ρdρ = (r^3/3)∫dφ∫(sinφcosθ+sinφsinθ+cosφ)dθ

五华区18218823367： 计算三重积分的值I= ∫ ∫ ∫zln(1+x^2+y^2+z^2)dv= ,0<=x<=1,0<=y<=1, - 1<=z<=1 - ？
毛珊复安： 这个积分值为0.直接化成三次积分,先对z积分、再对y积分、最后对x积分.对z积分时,x、y看成常数,这时,被积函数是z的奇函数,积分下、上限为-1、1,所以积分值为0.

五华区18218823367： 投影法和截面法求三重积分I=∫∫∫z^2dxdydz,Ω为三个坐标平面及平面x+y+z=1,及x+y+z=2所围成空间闭区域 - ？
毛珊复安：[答案]