一道数学题：如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

如图，已知抛物线y=x^2-1与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C。~

1,令Y=0得X^2-1=0
∴X=±1
∴A(-1,0), B(1,0) C(0,-1)
2, 直线BC解折式为Y=X-1
故设AP解折式为Y=X+M
将X=-1, Y=0代入0=-1+M
∴M=1
∴AP解折式为Y=X+1
联立Y=X+1, Y=X^2-1得X1=2,Y1=3, X2=-1, Y2=0
∴P(2, 3)
∴S四边形ACBP=1/2*2(3+1)=4
3, 可知∠PAB=45°,∠BAC=45°
∴∠PAC=90°
又AC=√2, AP=3√2
若△AMG与△ACP相似则AG:MG=AP:AC=3,或AG:MG=AC:AP=1/3
设M(a,a^2-1)若a>0则a^2-1=3(a-1)或a^2-1=1/3(a-1)
得a=2∴M(2,3)
利用对称性,另一个M(-2,3)
∴M(2,,3)或(-2,3)

解：（1）令y=0，得x2-1=0，得x=±1         
        令x=0，y= -1 
       ∴A（-1，0）， B（1，0），C（0，-1）
（2）∵OA=OB=OC= 1  ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO= 45°  
    ∵AP∥CB，∴ ∠PAB= 45°  
    过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形
    令OE=a，则PE=a+1 ∴P（a，a+1）
   ∵点P在抛物线y=x2-1上  ∴a+1=a2-1
   解得a1=2，a2=-1（不合题意，舍）
   ∴PE=3   ∴四边形ACBP的面积S=AB·OC+AB·PE
                                                    =
（3）假设存在  ∵∠PAB=∠BAC =45°∴PA⊥AC
   ∵MG⊥x轴于点G，∴∠MGA=∠PAC = 90°
   在Rt△AOC中，OA=OC=1   ∴AC=
   在Rt△PAE中，AE=PE=3    ∴AP=
   设M点的横坐标为m，则M （m，m2-1）
  ①点M在y轴左侧时，则m<-1
 (ⅰ) 当△AMG∽△PCA时，有=
   ∵AG= -m-1，MG=m2-1
   即  解得m1= -1（舍），m2=（舍）
  (ⅱ) 当△MAG∽△PCA时有=
  即  解得m1= -1（舍），m2= -2  ∴M（-2，3）
② 点M在y轴右侧时，m>1
 (ⅰ) 当△AMG∽△PCA时有=
  ∵AG=m+1 ，MG=m2-1   ∴ 
解得m1= -1（舍），m2=   ∴M（，）
 (ⅱ) 当△MAG∽△PCA时有=
  即  解得：m1= - 1（舍），m2=4  ∴M（4,15）
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
 M点的坐标为，，







(1)令y=0，即x^2-1=0，得：x1=-1、x2=1
即A点的坐标为(-1，0)，
B点的坐标为(1，0)
令x=0，得y=-1，即C的坐标为(0，-1)
直线BC的方程为：
y=x-1
(2)因为AP平行BC，所以直线AP的方程为：y=x+1联立y=x^2-1得：
x1=-1，即A点的横坐标
x2=2，即P点的横坐标，P点的纵坐标为3，所以P点的坐标为(2，3)
直线CA的斜率为-1，AP的斜率为1，所以CA垂直AP，显然CA为√2，又由于CB平行AP，所以四边形是梯形。显然，上底CB长为√2，下底AP长为：
√(3^2+3^2)=3√2，所以四边形的面积为：
1/2(√2+3√2)√2=4
(3)CA⊥AP，所以△PAC为直角三角形，两直角边比为:AP:CA=3
设N点的坐标为(x，0)则M点的坐标为(x，x^2-1)
所以直角△ANM两直角边长分别为：
|x^2-1|和|x+1|，根据题意需要使
|x^2-1|/|x+1|=3或
|x^2-1|/|x+1|=1/3
解得：x1=-2，x2=4，x3=2/3，x4=4/3
所以：y1=3，y2=15，y3=-5/9，y4=7/9
所以这样的直角三角形有四个。即M点的坐标分别为：
(-2，3)，(4，15)，(2/3，-5/9)
(4/3，7/9)

(1)当x=0,y=-1
当y=0,x^2-1=0,x1=1,x2=-1
A点坐标（-1，0），B点坐标（1，0），C点坐标（0，-1）
(2)

解：（1）令y=0，得x2-1=0，
解得x=±1，
令x=0，得y=x-1，
∴A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∴
0=k+b-1=b
，得，
b=-1k=1
∴y=x-1；
（2）∵OA=OB=OC=1，
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°，
∵AP∥CB，
∴∠PAB=45°，
过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形，
令OE=a，则PE=a+1，
∴P（a，a+1），
∵点P在抛物线y=x2-1上，
∴a+1=a2-1
解得：a1=2，a2=-1（不合题意，舍去），
∴PE=3，
∴四边形ACBP的面积=1/2 xAB×OC+1/2xAB×PE=1+3=4；
（3）假设存在．
∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PA⊥AC，
∵MN⊥x轴于点N，
∴∠MNA=∠PAC=90°，
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
∴AC=2 ，
在Rt△PAE中，AE=PE=3，
∴AP=32 ，
设M点的横坐标m，则M（m，m2-1），
①点M在y轴右侧时，则m＞1，
（ⅰ） 当△AMN∽△PCA时，
∵AN=m+1，MN=m2-1，
AN/AP=MN/AC ，即m+1/32 =m2-1 /2 ，
解得：m=4/3 ，∴M(4/3,7/9 ）；
（ⅱ） 当△MAN∽△PCA时，
AN /AC =MN /AP 即
m+1 /2 =m2-1 /32 ，
解得：m=4，
∴M（4，15）；
②点M在y轴左侧时，则m＜-1，
（ⅰ） 当△AMN∽△PCA时，
∵AN=-m-1，MN=m2-1，
∴AN /AP =MN /AC ，
∴-m-1 /32 =m2-1/2 ，
解得m1=1（舍去），m2=2 /3 （舍去），
∴M不存在；
（ⅱ） 当△MAN∽△PCA时，
∵AN=-m-1，MN=m2-1，
∴MN /PA =AN /AC ，m2-1 /32 =-m-1 /2 ，
解得：m1=1（舍去），m2=-2，
∴M（-2，3），
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
M点的坐标为（-2，3），（4 /3 ,7 /9 ），（4，15）．

让我看看！

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