∠AOB=30度，∠AOB内部有一定点P，OP=10，在OA上找一点Q，在OB上找一点R，使三角形PQR周长最小，则是多少

~ 设∠POA=θ,则∠POB=30°-θ. 作PM⊥OA与OA相交于M,并将PM延长一倍到E,即ME=PM.
作PN⊥OB与OB相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN.
联接EF与OA相交于Q,与OB相交于R,再联接PQ, PR,则△PQR即为周长最短的三角形.
这是因为按作图法,OA是PE的垂直平分线,故EQ=QP;同理,OB是PF的垂直平分线,故FR=RP,∴△PQR的周长=EF.
如果Q,R偏离现在的位置到Q1,R1,则新△PQ1R1的周长=折线EQ1R1F
的长>直线段EF的长.
下面确定△PQR的周长.也就是确定EF的长度.
由于OE=OF=OP=10cm,且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2(30°-θ)
=60°,∴△EOF是正三角形,∴EF=10cm.即在保持OP=10cm的条件下,△PQR的最小周长为10cm,而与P的具体位置无关.

作点E 与P关于OA对称；作点F 与P关于OB对称。
连接EF交OA、OB于Q、R两点，则△PQR的周长最短。
∠EOF=60°，OE=OP
∴△PQR的周长=EF=10cm。
证明：∵点E 与P关于OA对称，∴QE=QP，同理RF=RP。
∴EF=△PQR的周长。
若OA 上另有一点M，OB上另有一点N，则△PMN的周长=EM+MN+MF≥EF。

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贵州省19328797305： ∠AOB=30度,∠AOB内部有一定点P,OP=10,在OA上找一点Q,在OB上找一点R,使三角形PQR周长最小,则是多少 - ？
高水全威： 设∠POA=θ,则∠POB=30°-θ. 作PM⊥OA与OA相交于M,并将PM延长一倍到E,即ME=PM.作PN⊥OB与OB相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN.联接EF与OA相交于Q,与OB相交于R,再联接PQ, PR,则△PQR即为周长最短...

贵州省19328797305： 已知∠AOB=30° 且∠AOB内有一点P,点P关于OA、OB的对称点分别为E、F,则△EOF一定是______三角形. - ？
高水全威：[答案] 如图.连接OP,OE,OF. ∵点P关于OA的对称点为E, ∴OA是PE的垂直平分线, ∴OP=OE; 同理OF=OP, ∴OE=OF. ∴△EOF是等腰三角形. ∵∠AOB=30°, ∴∠EOF=60°, ∴等腰△EOF是等边三角形.

贵州省19328797305： ∠AOB=30°,∠AOB内有一点P,且OP=10,在OA上有一点Q,在OB上有一点R,使△PQR的周长最小 - ？
高水全威：[答案] ∠AOB=30°,在∠AOB内有一点P且OP=10,在OA、OB上分别有点Q、R,若△PQR的周长最小,则最周长是多少? [解] 分别作点P关于OA、OB的对称点C、D.连CD,则CD与OA、OB的交点就是Q、R. 下面证明这一结论: ∵P、C关于OA对称,...

贵州省19328797305： 如图,∠AOB=30°,∠AOB内有一定点P,且OP=10,OA上有一点Q,OB上有一定点R.若△PQR周长最小,求它的最小值. - ？
高水全威：[答案] 设∠POA=θ,则∠POB=30°-θ,作PM⊥OA与OA相交于M,并将PM延长一倍到E,即ME=PM. 作PN⊥OB与OB相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN. 连接EF与OA相交于Q,与OB相交于R,再连接PQ,PR,则△PQR即为周长最短的三角形. ∵...

贵州省19328797305： ∠AOB=30°,∠AOB内部有一点P,PO=10cm,两边上各有一点Q、R,则△PQR的周长的最小值 - ？
高水全威： 做P点关于OA、OB的对称点C、D.连接CD,与OA、OB交于Q、R.△PQR的周长的最小值就是CD线段的长度. OC=OD=OP=10,角COD=30*2=60度.三角形OCD为等边三角形,CD=10 △PQR的周长的最小值为10cm

贵州省19328797305： 已知:∠AOB=30°,点P是∠AOB内部任一点,且OP=10,点C、D分别在OA、OB上,试求△PCD周长的最小值,并证明你的结论. - ？
高水全威：[答案] 过P点分别作OA、OB的对称点M、N, 则OA⊥PM,且OA平分PM, 同理OB⊥PN,且OB平分PN, MN分别交OA、OB于C... ﹙两点之间,线段最短﹚. 连接OM、ON,易证∠MON==30*2=60°, 而OP=OM,OP=ON, ∴OM=ON, ∴△MON是等边△, ∴...

贵州省19328797305： 已知∠AOB=30°,在∠AOB的内部有一个定点P,OP=10,在∠AOB的两边OA、OB上分别有动点Q、R(不与点O重合),则△PQR周长的最小值是___. - ？
高水全威：[答案] 分别作P关于OA、OB的对称点M、N.连接MN交OA、OB交于Q、R,则△PQR符合条件.连接OM、ON,由轴对称的性质可知,OM=ON=OP=10,∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=2*30°=60°,则△MON为等边三角形,∴MN=10,∵QP=QM,RN=RP...

贵州省19328797305： 已知∠AOB=30°,P为∠AOB内部一点,点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2,则△OP1P2是连接OP,∵P1与P关于OA对称,∴OP=OP1,同理∴OP=OP... - ？
高水全威：[答案] p1p交OA于M,P1M=PM,OM为公共线,则直角三角形OP1M与OPM全等,则两角相等.

贵州省19328797305： 如图,∠AOB=30°,∠AOB内有一定点P,且OP=10.在OA上有一点Q,OB上有一点R.若△PQR周长最小,则最小周长是() - ？
高水全威：[选项] A. 10 B. 15 C. 20 D. 30

贵州省19328797305： 如图,∠AOB=30°,P是∠AOB内的一点,M与P关于直线OA对称,N与P关于直线OB对称,试说明 - ？
高水全威： 连接OP 因为P,M关于OA对称,则OA是PM的垂直平分线,所以,OM=OP 同理,P,N关于OB对称,则OB是PN的垂直平分线,所以,ON=OP 在三角形OPM中,OA垂直于PM,而OP=OM 所以,同理,由于所以,因此,于是,三角形MON是等边三角形