给出一个数列｛An｝是收敛数列， ｜｛An｝｜的绝对值不是收敛的， 并证明这个数列存在
单调的不一定收敛
收敛也不一定单调
比如an=(-1)^n*1/n
函数在正数和负数之间晃动
但总的趋势是收敛与 0
但不是单调的。
单调有界定理
单调有界定理：若数列{an}递增（递减）有上界（下界），则数列{an}收敛，即单调有界数列必有极限。具体来说，如果一个数列单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则该数列收敛。
相关概念、单调性
对任一数列{xn}，如果从某一项xk开始，满足
则称数列（从第k项开始）是单调递增的。特别地，如果上式全部取小于号，则称数列是严格单调递增的。同样地，如果从某一项k开始，满足则称数列（从第k项开始）是单调递减的。特别地，如果上式全部取大于号，则称数列是严格单调递减的。
单调递增数列和单调递减数列统称单调数列。
有界性
对任一数列{xn}，如果存在某个实数A使不等式
根据数列有界的定义可知，如果一个数列有界，那么它一定有上界和下界。反过来，如果一个数列只有上界或只有下界，则不能得出数列有界的结论。
设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列（Convergent Sequences）。
数列收敛数列存在唯一极限。
证明数列收敛通常是落实到定义上或者证明数列的极限是固定值。比如数列an=a0+1/n，随着n增大，lim(an)=a0，因此可证明数列{an}是收敛的。
数列收敛的定义：如果数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，不等式|Xn-a|<q都成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。
具体证明各种数列收敛的方法是高数至少半个学期的课程，不可能在这给一一列出来。可参考微积分II的教材，非常详细。
有界性，定义：设有数列xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立，则称数列xn有界。定理1：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
保号性，如果数列{Xn}收敛于a，且a>0（或aN时，都有Xn>0（或Xn<0）。
例如(-1)(1/n)收敛，1/n发散
如何判断一个数列{ an}的收敛性?
过程见下图：对这类极限，有一个快速的判断方法：如果一个极限中，分子分母都是 n 的多项式，且 n 趋于无穷，则 (1) 分子最高次数 > 分母最高次数，极限不存在（ = 无穷）；(2) 分子最高次数 = 分母最高次数，极限 = (分子最高次项系数) 除以 (分母最高次项系数) ；(3) 分子最高次数 ...
数列的极限是什么
数列的极限是数学中的一个重要概念，描述了一个数列在无限增大时的收敛趋势。如果有一个数列从某一项开始，之后的每一项与某一实数无限接近，那么这个实数就被称为该数列的极限。数学上用符号表示数列的极限，记作lim，读作lim。例如，如果有一个数列{an}，当n增大时，an无限接近于一个定值A，则可以...
数列{an}满足a1=1,a(n+1)+2a(n+1)*an-an=0,写出数列的前五项;由①写出...
1、前五项是：1、1\/3、1\/5、1\/7、1\/9；2、an=1\/(2n－1)1\/99是这个数列中的第50项，即a50=1\/99
已知数列{an}前四项依次为1,1+2,1+2+2^2,1+2+2^2+2^3.(1)写出该数列的...
1,2,2^2,2^3,2^4...为等比数列，后一个数除以前一个数得数都相同就叫等比数列。所以该数列就是等比数列的和排成的数列。记等比数列前n项和为S(n),可以发现，S(n+1)=s(n)+1*a^（n+1）,同时S(n+1)\/a=s(n)+1\/a,联系二个方程，就可以得出S(n)=(a^(n+1)-1)\/(a-1) ...
一个递增的等差数列{an},前三项的和a1+a2+a3=12,且a2,a3,a4..._百度...
分析：由a2，a3，a4+1成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用等差数列的通项公式变形后，得到a1与d的关系式，再由前三项的和，利用等差数列的通项公式变形后，得到a1与d的另一个关系式，联立两关系式即可求出d的值．解答：解：∵a2，a3，a4+1成等比数列，∴a32=a2•（a4+1）...
数列{an}是等差数列的一个充要条件是Sn=an*2次方+bn 如何得出这充要条件...
首先证明充分性，若an为等差则Sn=na1+n(n-1)d\/2，即形如a*n^2+bn 其次必要性，an=Sn-S（n-1）=2an-a+1，即an为等差数列。综上，得证
等比数列{an}的首项是16公比是4分之1写出他的通向公式并求出第6项
解：a1=16，q=¼an=a1·qⁿ⁻¹=16·¼ⁿ⁻¹=¼ⁿ⁻⁵数列的通项公式为an=¼ⁿ⁻⁵a6=¼⁶⁻⁵=¼¹= ¼
...把这些偶数从小到大排列起来,得到一个数列{An}则A25=?
数字0,1,2,3,5组成没有重复数字的五位偶数，从小到大排成数列{an}，首位是1时，有2*3*2*1=12个没有重复数字的五位偶数 首位是2时，个位为0，有3*2*1=6个没有重复数字的五位偶数 首位为3o---时有2个：30152 30512 所首位为31---时有4个 31052，31250，31502，31520 第25个是：...
...我们给定以下法则来构造一个奇数数列{an},对于
：（1）根据题意可知an=n，n为奇数an2，n为偶数，（n∈N*）由此得：该数列的前6项分别为1，1，3，1，5，3．（2）这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…仔细观察发现a5=5，a10=5，a20=5，a40=5…即项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列．...
在数列{an}中,已知a1=1\/2,a(n-1)-an=1\/[(2n)2-1],试写出该数列的前四项...
1\/[(2n)2-1] = 1\/[(2n-1)(2n+1)] = 1\/2*[1\/(2n-1)-1\/(2n+1)]an = a(n-1)-1\/2*[1\/(2n-1)-1\/(2n+1)]a1 = 1\/2 = 1\/3 + 1\/6 a2 = 1\/3 + 1\/10 a3 = 1\/3 + 1\/14 a4 = 1\/3 + 1\/18 an = 1\/3 + 1\/[2*(2n+1)]...
路丹又欣： 利用单调有界数列必收敛 先证单调性a(n+1)-an=√1+an-√1+a(n-1)=[an-a(n-1)]/[√1+an+√1+a(n-1)] 这样就容易由数学归纳法证明数列是单调的a2=√2,所以a2-a1>0 若an-a(n-1)>0显然有a(n+1)-an>0,所以数列单调增 再证有界a1=1<2,若an<2,a(n+1)=√(1+an)<√3<2这样就证明了数列有界 所以它的极限存在设为a a=√(1+a) 解得a=(1+√5)/2 解题的关键就是利用数学归纳法证明数列单调且有界
和硕县13653879733： 收敛数列是什么意思 - ？
路丹又欣： 设数列{Xn},如果存在常数a,对于任意给定的正数q(无论多小),总存在正整数N,使得n>N时,恒有|Xn-a|<q成立,就称数列{Xn}收敛于a(极限为a),即数列{Xn}为收敛数列 简单的说 : 数列递减,变小,无线大时趋近于某个值如 an = 1/n 收敛于 0
和硕县13653879733： 怎么证明 数列an收敛 则an有上确界和下确界具体点 最好给出证明.. - ？
路丹又欣：[答案] 利用收敛数列必有界. 那么有界集合,必有上确界和下确界. 收敛数列必有界的证明 证明: 若an→a, 那么有对所有的e>0,存在自然数N, 当n>N,时 |an-a|N时 a-e
和硕县13653879733： 收敛、连续、有界的关系? - ？
路丹又欣： 收敛必然有界,反之不一定;连续是说函数在某范围是一条不间断的曲线.与收敛、有界,没有必然关系. 比如,数列是典型的不连续函数,但是,可以收敛、有界;y=sinx是典型的有界、处处收敛、连续的函数. 令{an}为一个数列,且A为一...
和硕县13653879733： 如何证明一个数列是收敛数列 - ？
路丹又欣： 数列收敛的定义:如果数列{Xn},如果存在常数a,对于任意给定的正数q(无论多小),总存在正整数N,使得n>N时,不等式|Xn-a|
和硕县13653879733： 为什么收敛数列重新排列后仍为收敛数列? - ？
路丹又欣： 反证法很容易的.假设{an}是一个收敛数列,an->a.常数.根据极限存在的定义,任意epsilon1>0,满足|an-a|>epsilon1的an只有有限个.------------------------------------------ 重排之后变为数列{bn},假设不收敛.自然也就有bn不收敛于a,根据极限的存在定...
和硕县13653879733： 什么是收敛数列 什么不是收敛数列 - ？
路丹又欣： 就是存在有限极限的数列.用数学语言来表述就是(注意,收敛数列建立在极限不是无穷大的基础上,如数列{bn|bn=n,n属于N}就不是收敛数列) 若某个数列{an}的极限为a,则它的描述就是: 对于任意E>0,存在N属于N(正整数),使得对任意n>N,有|an-a|<E.
和硕县13653879733： 高等数学中的“收敛”是什么意思? - ？
路丹又欣： 收敛是一个经济学、数学名词,是研究函数的一个重要工具,是指会聚于一点,向某一值靠近.收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛. 定义方式与数列收敛类似.柯西收敛准则:关于函数f(x)在点x0处的收敛定义.对于任意实...
和硕县13653879733： 什么是“收敛子数列”?我是数学系大一的,讲得复杂点都不怕. - ？
路丹又欣：[答案] 比如an=1-1/n(当n是奇数)an=2-1/n(当n是偶数) 显然数列{an}不收敛 但如果令bn=a(2n) 那么{bn}就是{an}的一个子列,且{bn}收敛于2 于是{bn}就是{an}的一个收敛子列 又比如an=sin(npi/4) 显然an不收敛 但bn=a(4n)收敛,于是bn就是an的一个收...
和硕县13653879733： 一个数列发散,一个数列收敛,那他们的平方和相加是收敛还是发散 - ？
路丹又欣：[答案] 可能收敛,也可能发散. 比如an=(-1)^n,bn=1,则数列{an}发散,数列{bn}收敛,而数列{an^2+bn^2}=数列{2}收敛. 再如an=n,bn=1,数列{an}发散,数列{bn}收敛,而数列{an^2+bn^2}=数列{1+n^2}发散.
