如图，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点

如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD．求证：四边形EFGH是菱形~

证明：因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且2EH=BD．同理，FG∥BD，EF∥AC，且2FG=BD，2EF=AC．所以EH∥FG，且EH=FG．所以四边形EFGH为平行四边形．因为AC=BD，所以EF=EH．所以四边形EFGH为菱形．

证明：（1）连结AC，∵E，F，G，H为AB，BC，CD，DA的中点．∴EF∥AC且EF=12AC，HG∥AC，且HG=12AC，EF∥.HG，∴四边形EFGH是平行四边形．…（10分）（2）由（1）知EF∥AC，EF?平面EFGH，AC不包含于平面EFGH，∴AC∥平面EFGH．

1

∵AE：EB=AH：HD=CF：FB=GC：GD=k

∴EH//BD,GF//BD 

且EH:BD=AE:AB=k/(k+1)==>EH=kBD/(1+k)

   GF:BD=CF:CB=k/(k+1) ==>GF=kBD/(1+k)

∴EH=GF

∴EFGH是平行四边形

2

若EFGH是菱形，则

   EH=EF

∵AE：EB=CF：FB=k

∴EF:AC=1/(1+K)

∴EF=AC/(1+k)

  EH=kBD/(1+k)

  AC=BD

∴1/(1+k)=k/(1+k)

∴k=1

由AE/EB=AH/HD，EB/EB+AE/EB=HD/HD+AH/HD，即AB/EB=AD/HD，AE/AB=AH/AD,
∠BAD为公用角，所以三角形AEH和三角形ABC相似
∠AEH=∠ABD，∠AHE=∠ADB，所以EH//BD
同理可证GF//BD，所以EH//GF
同理可证EF//GH。
所以四边形EFGH为平行四边形。k=1

(1)因，AE：EB=AH：HD，∠A=∠A
所以，△AEH相似△ABD，即，∠AEH=∠ABD
所以，EH∥BD
同理，CF：FB=GC：GD，∠ABC=∠ADC，有EF∥HG
所以，四边形EFGH是平行四边形
（2）由（1）可知，EH:BD=EF:AC=k
又，AC=BD
EFGH是菱形，即EH=BD=EF=AC
所以，k=1

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南陵县19823537786： 如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,请判断向量EF与AD+BC是否共线 - ？
郴时通塞： 取AC中点为G,连接EG,FG,∴ GF =1 2AD , EG =1 2BC ,又∵ GF , EG , EF 共面,∴ EF = EG + GF =1 2AD +1 2BC =1 2 ( AD + BC ),∴ EF 与 AD + BC 共线.

南陵县19823537786： 如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.(1)求证:四边形EFGH是平行四边形.(2)求证:AC∥平面EFGH. - ？
郴时通塞：[答案] 证明:(1)连结AC, ∵E,F,G,H为AB,BC,CD,DA的中点. ∴EF∥AC且EF= 1 2AC,HG∥AC,且HG= 1 2AC,EF ∥ .HG, ∴四边形EFGH是平行四边形.…(10分) (2)由(1)知EF∥AC, EF⊂平面EFGH,AC不包含于平面EFGH, ∴AC∥平面EFGH.

南陵县19823537786： 如图,在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点.(1)若四边形EFGH为平行四边形,求证:EF∥AC;(2)若EF∩GH=0,求证:... - ？
郴时通塞：[答案] 证明:(1)如图所示,连接AC. ∵四边形EFGH为平行四边形, ∴EF∥GH, ∵EF⊄平面ACD,GH⊂平面ACD, ∴EF∥平面ACD. ∵平面ABC∩平面ACD=AC, ∴EF∥AC. (2)如图2所示, ∵EF∩GH=0,EF⊂平面ABC,GH⊂平面ACD, ∴O∈平面ABC...

南陵县19823537786： 在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形？
郴时通塞： 证明:如图,连接BD. 因为FG是△CBD的中位线,所以FG ∥ BD,FG=12 BD. 又因为EH是△ABD的中位线,所以EH ∥ BD,EH=12 BD. 根据公理4,FG ∥ EH,且FG=EH. 所以四边形EFGH是平行四边形.

南陵县19823537786： 如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点AB=5,DC=3,<向量DC,向量AB>=60度,求EF的长. - ？
郴时通塞：[答案] 证:在AC上找一点G,且G为AC中点 又因为E,F为AD,BC中点,所以EG=2.5 GF=1.5 (后面都是向量) 因为EF=EG+GF (EG+GF)²=2.5²+1.5²+2*2.5*1.5*cos60°=12.25 所以EG+GF=3.5 所以EF=3.5

南陵县19823537786： 如图,空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG:GC=DH:HC=1:2.下列说法不正确的是() - ？
郴时通塞：[选项] A. E、F、G、H四点共面 B. GE与HF的交点在直线AC上 C. EF∥面DBC D. GE∥面ADC

南陵县19823537786： 如图,已知在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且 = =2.求证:直线EG,FH,AC相交于一点. - ？
郴时通塞：[答案] 见解析 ∵E,F分别是AB,AD的中点, ∴EF∥BD,EF=BD. 又==2,∴GH∥BD,GH=BD, ∴EF∥GH,EF=GH, ∴四边形EFHG是梯形,设两腰EG,FH相交于一点T. ∵EG⊂平面ABC,FH⊂平面ACD,∴T∈平面ABC,且T∈平面ACD,又平面ABC∩平面ACD...

南陵县19823537786： 如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,EH∥FG,则EH与BD的位置关系是___. - ？
郴时通塞：[答案] ∵EH∥FG,EH⊄平面BCD,FG⊂平面BCD,∴EH∥平面BCD; 又∵EH⊂平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,∴EH∥BD; 故答案为:平行

南陵县19823537786： 如图,空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点,G、H分别在BC、CD上,且BG:GC=DH:HC=1:2(1)求证:E、F、G、H四点共面.(2)设EG与... - ？
郴时通塞：[答案] 证明:(1)∵,E、F分别是AB、AD的中点 ∴EF∥BD ∵BG:GC=DH:HC=1:2 ∴GH∥BD ∴EF∥GH E、F、G、H四点共面. (2)∵EG与HF交于点P ∵EG⊂面ABC ∴P在面ABC内, 同理P在面DAC 又∵面ABC∩面DAC=AC ∴P在直线AC上 ∴P...

南陵县19823537786： 如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若AC=BD=a,EF=√2/2helpEF=√2/2a,∠BDC是直角.求证BE⊥平面ACD - ？
郴时通塞：[答案] 在AB上取其中点, 设为P,连接PF,PE. 则PF‖AC,PE‖BD, 且PE=a/2,PF=a/2 所以PEx2+PFx2=EFx2 所以PF⊥PE 所以AC⊥BD 又因为∠BDC=90°即CD⊥BD 且AC∩ CD=C AC.CD在平面ACD内 所以BD⊥平面ACD