数学问题：三角形有五心（重心、外心、内心、垂心、旁心）问怎样做出这五心？

三角形的中心，重心，垂心，内心，外心。五心的定义和性质是什么？~

如果你知道了三角形的重心，垂心，内心，外心，那么对以等边三角形，这四心是合一的，也叫中心，中心具有所有四心的性质。
　 需要补充的是三角形还有一个旁心，通常把三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
一、三角形重心定理
　　三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 　　
重心的性质： 　　
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 　　
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 　　
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 　　
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，
即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。三、三角形垂心定理
　　三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 　　
垂心的性质： 　　
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 　　
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）） 　　
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
　4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 　　
定理证明 　　
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB 　　
证明： 　　
连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE 　　
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC　∴ΔAEO∽ΔADC 　　
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 　　
又∵∠ABE+∠BAC=90度　∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 　　
因此，垂心定理成立！四、三角形内心定理
　　三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。 　　
内心的性质： 　　
1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。 　　
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 　　
3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：
向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c). 　　
4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有
AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 　　
5、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是： 　　
a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0． 　　
6、、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr． 　　
7、（内角平分线分三边长度关系） 　　
△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，　
则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.二、三角形外心定理
　　三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 　　
外心的性质： 　　
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 　　
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 　　
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；
当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；
当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 　　
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 　　
5、外心到三顶点的距离相等五、三角形旁心定理
　　三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。 　　
旁心的性质： 　　
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。 　　
2、每个三角形都有三个旁心。 　　
3、旁心到三边的距离相等。 　　
三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。
一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。 　　

附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。 有关三角形五心的诗歌:　　三角形五心歌（重外垂内旁） 　　
三角形有五颗心，重外垂内和旁心，
五心性质很重要，认真掌握莫记混． 　　 重 心 　　
三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好． 　　
外 心 　　
三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为外心，用它可作外接圆．
内心外心莫记混，内切外接是关键． 　　
垂 心 　　
三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整， 　　
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清. 　　
内 心 　　
三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源； 　　
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”，如此定义理当然． 　　
五心性质别记混，做起题来真是好

三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称

、重心

　　三角形三条中线的交点叫做三角形重心。
　　定理：设三角形重心为O，BC边中点为D，则有AO = 2 OD。
　　重心坐标为三顶点坐标平均值。
编辑本段
2、外心

　　三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。
　　外心到三顶点距离相等。
　　过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
　　三角形有且只有一个外接圆。
　　外心公式：

编辑本段
3、内心

　　三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。
　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等。这个三角形叫做圆的外切三角形。
　　三角形有且只有一个内切圆。
　　内心坐标公式：

编辑本段
4、垂心

　　三角形三边上的三条高线交于一点，称为三角形垂心。
　　锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.。
　　三角形只有一个垂心
　　垂心坐标公式：

编辑本段
5、旁心

　　与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。
　　三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。
　　三角形有三个旁切圆，三个旁心。这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。
编辑本段
五心的性质

　　三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：
　　（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
　　（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；
　　（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；
　　（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；
　　（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
　　（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；
　　（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；
　　（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．
　　（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.
　　下面是更为详细的性质：
1、垂心
　　三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性质：设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足,垂心为H。
　　性质1 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
　　性质2 △ABC中,有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
　　性质3 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。
　　性质4 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆。
　　性质5 在非直角三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。
　　性质6 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
　　性质7 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
　　性质8 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
　　性质9 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
2、内心
　　三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，即三角形三个角平分线的交点。内心有下列优美的性质：
　　性质1 设I为△ABC的内心,则I为其内心的充要条件是：到△ABC三边的距离相等。
　　性质2 设I为△ABC的内心，则∠BIC=90°+1/2∠A，类似地还有两式；反之亦然。
　　性质3 设I为△ABC内一点，AI所在直线交△ABC的外接圆于D。I为△ABC内心的充要条件是ID=DB=DC。
　　性质4 设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB上的射影分别为D、E、F；内切圆半径为r，令p= (1/2)(a+b+c)，则(1)S△ABC=pr；(2)r=2S△ABC/a+b+c ；(3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c；(4)abcr=p·AI·BI·CI。
　　性质5 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若I为△ABC的∠A平分线AD(D在△ABC的外接圆上)上的点，且DI=DB，则I为△ABC的内心。
　　性质6 设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，∠A的平分线交BC于K,交△ABC的外接圆于D，则 AI/KI =AD/DI =DI/DK = (b+c)/a。
3、外心
　　三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心.即三角形三边中垂线的交点。外心有如下一系列优美性质：
　　性质1三角形的外心到三顶点的距离相等，反之亦然。
　　性质2 设O为△ABC的外心，则∠BOC=2∠A，或∠BOC=360°-2∠A(还有两式)。
　　性质3 设三角形的三条边长，外接圆的半径、面积分别为a、b、c,R、S△，则R=abc/4S△。
　　性质4 过△ABC的外心O任作一直线与边AB、AC(或延长线)分别相交于P、Q两点，则AB/AP ·sin2B+ AC/AQ·sin2C=sin2A+sin2B+sin2C。
　　性质5 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。
4、重心
　　性质1 设G为△ABC的重心，△ABC内的点Q在边BC、CA、AB边上的射影分别为D、E、F，则当Q与G重合时QD·QE·QF最大；反之亦然。
　　性质2 设G为△ABC的重心，AG、BG、CG的延长线交△ABC的三边于D、E、F,则S△AGF=S△BGD=S△CGE；反之亦然。
　　性质3 设G为△ABC的重心，则S△ABG=S△BCG=S△ACG= (1/3)S△ABC；反之亦然。
　　5、旁心
　　1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
　　2、每个三角形都有三个旁心。
　　3、旁心到三边的距离相等。

重心三条边的中线交点
外心三条边的垂直平分线交点
内心三个角的平分线交点
垂心三条边上的高的交点
旁心三角形旁切圆的圆心叫做三角形的旁心

重心是三条中线交点，外心是三条中垂线交点，内心是三条角平分线交点，垂心是三条高线交点，三个旁心分别是一条角平分线和两条外角平分线的交点。

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图们市19774733798： 数学问题:三角形有五心(重心、外心、内心、垂心、旁心)问怎样做出这五心? - ？
麻勉格华： 、重心三角形三条中线的交点叫做三角形重心.定理:设三角形重心为O,BC边中点为D,则有AO = 2 OD.重心坐标为三顶点坐标平均值.编辑本段2、外心三角形三边的垂直平分线的交点,称为三角形外心.外心到三顶点距离相等.过...

图们市19774733798： 三角形有五心(重心、外心、内心、垂心、旁心)问怎样做出这五心? - ？
麻勉格华：[答案] 重心三条边的中线交点 外心三条边的垂直平分线交点 内心三个角的平分线交点 垂心三条边上的高的交点 旁心三角形旁切圆的圆心叫做三角形的旁心

图们市19774733798： 数学问题关于三角形的心三角形有5心,分别是什么,是什么的交点. - ？
麻勉格华：[答案] 中心,是重心,外心,内心,垂心的交点,只有正三角形有 重心是中线的交点.外心是角平分线的交点,是外切圆的圆心.内心是到各边相等的线段的交点,是内接圆的圆心.垂心是高的交点

图们市19774733798： 数学的五心是什么 - ？
麻勉格华：[答案] 指的是三角形的五心三角形五心定律三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心..三角形五心定律指是三角形重心定律,外心定律,垂心定律,内心定律,旁心定律的总称,(一),三角重心重心定律:三角形的三条边...

图们市19774733798： 三角形的“五心”指的是?三角形的中心、内心、外心 、重心、垂心各是哪些线的交点? - ？
麻勉格华：[答案] 重心 三角形三条中线的交点 性质:分三条中线比为2:1内心 三角形三条角平分线的交点 性质:到三边距离相等垂心 三角形三条高的交点 性质:好像是没有吧……外心 三角形三边中垂线的交点 性质:到三顶点距离相等...

图们市19774733798： 三角形五心的定义及相关公式和规律.如重心坐标公式这类的. - ？
麻勉格华：[答案] 1定理 编辑 三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心.三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,内心定理,旁心定理的总称. 2重心定理 编辑 三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于...

图们市19774733798： 请问三角形有哪五心各是什么心怎样才能画出这五心 - ？
麻勉格华：[答案] 中心:正三角形的重心、内心、外心、垂心 重心:中线交点 内心:三个内角平分线交点 外心:垂直平分线交点 垂心:高的交点 旁心:一个内角平分线和另两个外角平分线交点(旁心有三个)以下a,b,c等表边AB,BC等表相应...

图们市19774733798： 三角形五心分别是什么 - ？
麻勉格华： 五心是指:内心、外心、旁心、重心、垂心 1.内心.指三条内角平分线相交的点,在三角形中只有一点,到三角形三边的距离相等,以这点为圆心,到一边的距离为半径,作的圆与三边相切. 2.外心.指三边中垂线(垂直平分线)相交的点,在...

图们市19774733798： 三角形里有很多什么心,如重心,垂心等等, - ？
麻勉格华：[答案] 重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.重心定理 三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍. 上述交点叫做三角形的重心.外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点. 这点叫做...

图们市19774733798： 三角形有哪五心？
麻勉格华： 中心:正三角形的重心、内心、外心、垂心 重心:中线交点 内心:三个内角平分线交点 外心:垂直平分线交点 垂心:高的交点 旁心:一个内角平分线和另两个外角平分线交点(旁心有三个) 以下a,b,c等表边AB,BC等表相应向量 重心O:OA+OB+OC=0 PO=(PA+PB+PC)/3 内心O:aOA+bOB+cOC=0 垂心O:OA.OB=OB.OC=OC.OA 外心O:|OA|=|OB|=|OC|