数论:证明对每一个自然数n能唯一确定a>0,b>0,且b无平方因子,使得n=ba^2
答案是38,解答过程如下：
我们可以假设数为100a+10b+c,其中a≥0,b,c为小于10的自然数。则有A=100（2ac+b^2)+20bc+c^2模1000的余数为三位相同的数字。注意到如果c为奇数，则c^2的十位数一定为偶数。则A的十位数一定为偶数（2bc为偶数），则个位数与十位数奇偶不同，不满足。当c=4,6时，c^2的十位数为奇，则A的十位数一定为奇数，则个位数与十位数奇偶不同，不满足。所以c=2,8.当c=2时，三位数为444，考虑十位数有4b模10为4，则b=1或6，当b=1时，考虑百位数，有4a+1模10 为4，显然不可能。当b=6时，同上有4a+6模10为4及4a模10为2，得a≥3。当c=8时，带入同上讨论有6（b+1）模10 为4，有b=3。考虑百位数有16a+9+5模10为4，则a≥0，且a=0时得到的数为38，满足条件！
在解答的过程中用到了一些关于数论的知识，不过都比较基础。应该能看懂的吧。不是学数学竞赛的，这题应该很难解的。
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=n(n+3)*[(n+1)(n+3-1)]+1
=n(n+3)[n(n+3)+(n+3)-n-1]+1
=n(n+3)[n(n+3)+2]+1
=n(n+3)^2+2*n(n+3)+1
=[n(n+3)+1]^2
以后碰到类似的问题怎么办?
我的方法是,找规律,试图先知道答案,之后再证明!
比如,n=1,1*2*3*4+1=5^2=(4+1)^2
n=2,2*3*4*5+1=11^2=(10+1)^2
n=3,3*4*5*6+1=19^2=(18+1)^2
为什么要分解为+1,因为从式子里可以看到,唯一的常数项就是1,所以式子最后可以总结为(x+1)^2的形势,
那么现在就看,4,10,18和n有什么关系,观察发现,都是n和n+3的乘积.
于是就知道最后式子是[n(n+3)+1]^2
按照答案去证明就容易很多!
对任意一个数n,它可以被唯一分解，我们写为
n=p1^a1*p2^a2*...*.pn^an
p1,p2,...pn为素数，a1,a2...an为自然数
我们看，如果a1,a2,....an中不是奇数就是偶数，若a1为奇数，我们把它写为 a1=1+2b1,
若为偶数，把它写为a1=2b1
这样，可以把a1,...an写为这种形式。
然后，我们把含2bs的写在一起，把含单数的写在一起，就是ba^2这种形式啦。具体怎么写你自己来吧。。。
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召陵区17653542578： 证明:对于任何正实数b和自然数n>1,存在唯一的正实数a使得a^n=b. - ？
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