1.求证：函数级数∑（cosnx）/（2^n+x^2）在(-∞,+∞)一致收敛

如何证明级数∑sinnx/n对于一切x属于0到2π不一致收敛~

令f(x)=(pi-x)/2，0<x<2pi，那么 可以验证∑sinnx/n 是f(x)的在R上周期为2pi的延拓函数的傅里叶级数。

注意这里面的f(x)的延拓函数不是一个连续函数，特别的在0和2pi处不连续，所以∑sinnx/n在[0,2pi]上不可能是一致收敛的，否则矛盾。

S=[∞∑n=1] [(2n-1)*x^bai(2n-2)]/2^n
积分得： [∞∑n=1] [x^(2n-1)]/2^n
=(1/x) [∞∑n=1] [x^2/2]^n=(1/x)(x^2/2)/(1-x^2/2)=x/(2-x^2) |x^2/2|<1或|x|<√2
微分得：S=[x/(2-x^2)]'=(2+x^2)/(2-x^2)^2 |x|<√2
令x=1：[∞∑n=1] (2n-1)/2^n=3

扩展资料
幂级数的性质：
1、幂级数的和函数在其收敛域I上连续。
2、幂级数的和函数在其收敛域I上可积，逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
3、幂级数的和函数在其收敛区间内可导，并有逐项求导公式，逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
参考资料来源
百度百科-幂级数

用M判别法（或称为优级数判别法）
∑(n=1,∞) cos(nx)/(2^n+x^2)
因为| cos(nx)/(2^n+x^2) | ≤ 1/2^n ，任意x∈(-∞,+∞)
又有∑(n=1,∞) 1/2^n收敛
因此，由M判别法知，级数∑(n=1,∞) cos(nx)/(2^n+x^2)在R上一致收敛
有不懂欢迎追问

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江津区18996773758： 求级数∑cosnx/(n^p)的敛散性 (x为常数,且x∈(0,pi)) - ？
左宰参附：[答案] 收敛 因为∑cosnx 有界 1/n^p单调递减趋向零 根据Dirichlet判别法知收敛

江津区18996773758： 求级数的和∑(n=0到∞)cosnx/n! - ？
左宰参附：[答案] Let a = Σ(n = 0 to ∞) cos(nx)/n!and b = Σ(n = 0 to ∞) sin(nx)/n! a + bi = Σ(n = 0 to ∞) [cos(nx) + isin(nx)]/n! = Σ(n = 0 to ∞) [e^(inx)]/n! = Σ(n = 0 to ∞) [e^(ix)]^n/n! = e^[e^(ix)] = e^(cosx + isinx) = e^(cosx) * e^(isinx) = e^(cosx) * [cos(sinx) + isin(sinx)] a = Σ(n = 0 ...

江津区18996773758： 如何证明级数∑(n=0到∞)cosnx/n!绝对收敛?急!!! - ？
左宰参附： |cos(nx)|<1 |cos(nx)/n!|<1/n! 1/n!收敛于e |cos(nx)/n!|收敛 cos(nx)/n!绝对收敛

江津区18996773758： 证明Σ(sinnx)/n不可导 - ？
左宰参附： 级数的和函数求导就是每一项都求导,得出一个级数形式的导数∑cosnx,这个级数是发散的,也就是说明原函数不可导.

江津区18996773758： 正弦函数与余弦函数的傅里叶级数怎么证明 - ？
左宰参附： 当f(x)为奇函数时,f(x)cos nx 是奇函数,f(x)sin nx 是偶函数 an = 0(n=0,1,2...) bn = 2/π ∫f(x)sin nx dx (∫为积分号 范围是 0~π ) 即知奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数 ∑bnsin nx ∑ 范围是 n=1 ~ ∞ 当f(x)为偶函数,f(x)cos nx 是偶函数,f(x)sin nx 是奇函数,故 an= 2/π ∫f(x)sin nx dx (∫为积分号 范围是 0~π ) bn = 0(n=0,1,2...) 即知偶函数的傅里叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数 ao+ ∑ancos nx ∑ 范围是 n=1 ~ ∞

江津区18996773758： 证明级数∑1/n^x (1 - ？
左宰参附：[答案] 证明要用到一个定理:如果函数列un(x)在[a,b]上连续,且级数∑un(x)在(a,b)上一致收敛,则数项级数∑un(a)和∑un(b)都收敛.这个定理用一致收敛的定义和数项级数收敛的柯西准则很容易证明.现在用反证法证明本题,假设∑1/n^x在(1,+∞)上一致...

江津区18996773758： 谁能做出来就无敌了!!!求这个级数的和 - ？
左宰参附： 要是ln(1+x)/x的积分能够积出来的话就能够把和求出来. 令S(X)=∑(-1)^(n-1)*x^n/n^2 求导的话得到:【s(x)】'=∑(-1)^(n-1)*x^(n-1)/n 左边乘x得 x*【s(x)】'=∑(-1)^(n-1)*x^n/n 然后再求导 {x*【s(x)】'}'=∑(-1)^(n-1)*x^(n-1)=1/(1+x) 再对上式从0到x求积分有:x*【s(x)】'=ln(1+x) 即【s(x)】'=ln(1+x)/x 再积分一次即可得出S(x),然后令x=1即可得出要求的答案. 但是这个积分不容易求,我做了很久没做出来.LZ要是知道的话请指教一下.

江津区18996773758： 什么叫做FOURIER级数那么cosnx的展开式又是什么呢? - ？
左宰参附：[答案] 就是把一个函数用三角函数展开. 如果说泰勒级数中所取的完备系是{1,x,x^2,……} 傅立叶级数中所取的完备系就是{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,cos3x,sin3x,……} cosnx的傅立叶展开式就是cosnx呀,就像x^n的泰勒展开式就是它本身一样.

江津区18996773758： 数学三角函数题(数学归纳法)求证:cosnx(n是正整数)都可以表示为仅含cosx的整次幂的多项式.例如cos2x=2(cosx)^2 - 1,cos3x=4(cosx)^3 - 3cosx…… - ？
左宰参附：[答案] cos2x=2(cosx)^2-1,cos3x=cos(x+2x)=cosxcos2s-sinxsin2x=cosx[2(cosx)^2-1]-sinx(2sinxcosx)=cosx[2(cosx)^2-1]-2cosx(1-(cosx)^2)=4(cosx)^3-3cosx,cos4x=2(cos2x)^2-1=8(cosx)^4-8(cosx)^2+1,故n=1,2,3,4时求证成立 设cos(n-1),cosnx都可以表示为...

江津区18996773758： cos nx+cos (n - 1)x+…+cos x这个级数收敛吗? - ？
左宰参附： 令 f(x)=-1/2 ln[2-2cosx], 容易验证级数 ∑(cos(nx))/n 是函数 f(x) 在 (0,pi)上的Fourier级数,所以收敛.你也可以用 Mathematica 计算: