为什么二阶导数d2y/dx2一个2在d上,一个在x上?
这种表示方法来源于莱布尼兹的对二阶导数和高阶导数的表示。
莱布尼兹表示法中,在导数的定义中引入下列符号(其中⊿y/⊿x为一阶差商):
他把二阶导数看作下述“二阶差商”的极限:除了变量x以外,我们考虑x1=x+h和x2=x+2h。这时,我们取二阶差商——一阶差商的一阶差商(⊿y/⊿x为一阶差商),即表达式:
其中y=f(x), y1=f(x1)和y2=f(x2)。记h=⊿x, y2-y1=⊿y1, y1-y=⊿y, 我们便可适当地将后面一个括号中的表达式称为y的差分之差分,或y的二阶差分,并用符号记为(这里的⊿2y只是对二阶差分采用的一种符号):
因此,在这种符号表示法中,二阶差商写成⊿2y/(⊿x)2,其中分母真正是⊿x的平方,而分子中的上标“2”表示把该取差的过程再重复一次,于是二阶导数表示为:
这种差商的符号体系,使得莱布尼兹对于二阶导数采用下列表示法:
我们知道d代表的是微分的意思,上面是d^2y,表示的是微分运算进行了两次,被微分的目标是后面的y。下面的dx^2表示的是,用x对y求了两次微分,两次累积起来就是x的位置加个平方符号。大概就这么理解吧,符号诞生虽然有背后的原因,不过用久了大家就当是约定俗成了,明白背后的数学含义就可以了。
个人以为这是为了使导数与偏导数在形式上统一化。对于函数y=f(x)
d²y=d(dy),这个平方表示对y求几次导,或叫做几阶次导数
而dx²实际上等于(dx)²=dx·dx,表示上述的每一次或每一阶求导是对那个变量求导。
这样不同位置的标记既可以区分实际意义,也可以与偏导数的表示方法统一起来,比如对于二元函数z=f(x,y),
一阶偏导数为∂z/∂x,∂z/∂y
二阶偏导数∂²z/(∂x∂y),∂²z/∂x²,∂²z/∂y²
因此∂²z/∂x²和∂²z/∂y²就是两次都是对同一个变量求偏导,而∂²z/(∂x∂y)就表明两次求导中其中一次是对x,另一次是对y。
更多元的函数求偏导也是一样的,比如z=f(x,y,m,n)
二阶偏导数就有可能有几种情况了,比如
∂²z/∂x²,∂²z/∂y²,∂²z/(∂x∂y),∂²z/(∂x∂m),∂²z/(∂y∂n)
10阶偏导数
(∂^10)z/(∂x^2·∂m^5·∂m^3)
你从表达式就可以看出,求了几次偏导数,都是对那些变量进行求偏导的了。
在d上表示求导,在x上的时候要把dx看成一个整体,意思是对x的微分。
这样写让人能一眼看出是谁对谁求导,不容易混淆。可能你现在学得还不深,接触到微分方程就会发现,经常做等量变换,如果都标在x上或者d上就不能区分了。
而且d2y/dx2可以看成d/dx(dy/dx)。这样看可能你更容易理解
因为二阶导数相当于对一阶导数再求导
即二阶导数=d(dy/dx)/dx
=d(dy)/(dx)^2
=(d^2)y/dx^2
令y=f(x)
y'=dy/dx
y''=d/dx(dy/dx)=d2y/dx2
高等数学,二阶导数的符号d2y\/dx2怎么理解?求大学数学高手
一阶微分通常记作df(x)对于二阶微分通常记作d^2f(x)注意:因为接下来讨论的导数必须涉及所求点的函数值所以这里把中间点定为f(x)4.熟记一阶导数定义 5.熟记二阶导数的定义 6.推导二阶导数的微分形式 f''(x)=lim(△x->0) f'(x0+△x)-f'(x0)\/△x 先写定义式 =lim(△x->0)...
如何理解d² y\/ dx²
d²y\/dx²中,x作为自变量,y作为函数。那么就有dx=1,d(dx)=0,dy=y',d(dy)=y''。一阶导数为dy\/dx = y'\/1 = y'。二阶导数为d(dy\/dx)\/dx = {[d(dy)dx - d(dx)dy]\/(dx)^2}\/dx = d(dy)\/(dx)^2 = d^2y\/dx^2。最后一步(dx)^2 = dx^2是人为规定...
为什么二阶导数要这么记d^2y\/dx^2
y对于x求导记为dy\/dx dy\/dx对于x求导就是d(dy\/dx)\/dx (这里dy\/dx就相当于上面的y)把dy 看成分子,dx看成分母 对于分子:ddy就是d^2y 对于分母:dxdx就是(dx)^2,简记为dx^2 这就是二阶导数记为d^2y\/dx^2 后面的三阶导数记号一样理解 ...
为什么要用d^2y来表示d^2y\/ d^ x
这是规定。y对x二次求导,第一次是d^y\/d^x,第二次在求时,把第一次d^y\/d^x看做整体,然后就是d(d^y\/d^x)\/dx,而前面的d(d^y就可看做d^2y,而后面的d^x)\/dx就可看作dx^2。dx^2是(dx)^2的简写,也就是(dx)*(dx),d^2y是d(dy)的简写。任意阶导数的计算 对任意n阶...
二阶导数的表示
求出来的dy\/dx中,再对x求导。d^2y\/dx^2=d(dy\/dx)\/dx。代入求导得到就是导数y'即dy\/dx。再进行平方得到你的结果。如果是二次导数。就再进行一次求导。函数可导的条件:如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件:函数在该点的左右导数存在...
为什么一阶求导记作d\/ dx;二阶求导记作d^2\/ dx呢?
因为这个是约定俗成的记号。二阶导,求两次导。就记作这个,其实是d\/dx(dy\/dx)=d^2y\/dx^2。二阶导数是一阶导数的导数。从原理上看,它表示一阶导数的变化率;从图形上看,它反映的是函数图像的凹凸性。一阶导数与二阶导数 简单来说,一阶导数是自变量的变化率,二阶导数就是一阶导数的变化...
d^2y和dy^2的区别
d^2y:y的二阶微分 dy^2:y^2的一阶微分 我看到有人说是导数,表达错误 这是微分,不是导数
隐函数的二阶导数怎么求
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求函数导数dy\/dx和二阶d2y\/dx2
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二阶偏导的表示看不懂?
不明白可以追问了
丹咏利欧: 在d上表示求导,在x上的时候要把dx看成一个整体,意思是对x的微分. 这样写让人能一眼看出是谁对谁求导,不容易混淆.可能你现在学得还不深,接触到微分方程就会发现,经常做等量变换,如果都标在x上或者d上就不能区分了. 而且d2y/dx2可以看成d/dx(dy/dx).这样看可能你更容易理解
贡觉县18925798726: 为什么二阶导数的表达式是d2y/dx2,可以给我推一下吗, - ?
丹咏利欧:[答案] 是单纯的记号,记号是没有什么推导的 它有好几种表示法,都是一样的意思: y" d²y/dx² (d/dx)(dy/dx) dy'/dx d(dy/dx)/dx 是完全一样的意思. 以 y"、d²y/dx²为最常用.
贡觉县18925798726: 二阶导数表示式上下标2的位置为什么一个在左一个在右? - ?
丹咏利欧: 我们知道d代表的是微分的意思,上面是d^2y,表示的是微分运算进行了两次,被微分的目标是后面的y.下面的dx^2表示的是,用x对y求了两次微分,两次累积起来就是x的位置加个平方符号.大概就这么理解吧,符号诞生虽然有背后的原因,不过用久了大家就当是约定俗成了,明白背后的数学含义就可以了.
贡觉县18925798726: 参数方程二阶导数的符号怎么理解? - ?
丹咏利欧: 一阶导数:dy/dx,那么二阶导数是在此基础上继续对x求导得到的,因此可以写成d(dy/dx)/dx.我把它理解成,第一个d在分子上和dy合并,写成d2y,第一个dx下到分母处,和第二个dx合并,写成dx2.所以最终是d2y/dx2
贡觉县18925798726: 导数问题求解 - ?
丹咏利欧: 是单纯的记号,记号是没有什么推导的 它有好几种表示法,都是一样的意思:y" d²y/dx²(d/dx)(dy/dx) dy'/dx d(dy/dx)/dx 是完全一样的意思.以 y"、d²y/dx²为最常用.
贡觉县18925798726: 高数有关二阶导数问题,为什么有时候求二阶导数 d²y/dx² = d/dx()′*dy/dx ;而有时候确直接求有时候两者相等,有时候却不行,比如求二阶导数 s=wcoswt ... - ?
丹咏利欧:[答案] s(t)=cos wts'(t)=-wsin wts''(t)=[s'(t)]'=-w^2 cos wtd²y/dx² = d/dx()′*dy/dx 这是神马公式ya?好象应为:d²y/dx² = dy'(x)/dx 而 y'(x)=d y(x) / dx
贡觉县18925798726: 经济应用数学基础(一)中关于 复合函数 求导的疑问 - ?
丹咏利欧: dy/dx=dy/du·du/dx这个链式法则形式上好像是除以一个东西再乘回来的swa但是它有着深层的意义这里a=0是为了保证dy/du符合导数的定...
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贡觉县18925798726: 参数方程二阶导数如何理解参数方程的二阶求导公式:d2y/dx2=d(dy/dx)/dx=d[£'(t)/§'(t))]*dt/dx - ?
丹咏利欧:[答案] x = x(t),y = y(t) => dy/dx = y'(t) / x'(t) 记 y'(t)/x'(t) = z(t),考虑新的参量函数 x = x(t),z = z(t) 则 dz/dx = z'(t) / x'(t) 即 d²y/dx² = dz/dx = (dz/dt) * (dt/dx) 即证.
贡觉县18925798726: 高阶导数中d\dx中 d代表什么怎么求 比如2阶导数 d²y\dx²=d\dx*dy\dx那么这中间的d\dx怎么求 - ?
丹咏利欧:[答案] d\dx是一个整体记号,单独出现一个d没有意义,单独出现d\dx也没有意义,必须出现d(接一个东西)/dx,表示对括号中的函数求导,并且是对自变量x求导. 例如:y=2x,则dy/dx=2,就是对y对x求导的意思. 这样写有重要意义,不是简单的等价于y'...