利用收敛准则证明下列数列有极限，并求其极限值。

利用收敛准则证明数列有极限，并求其极限值~

　　解：∵x2=1+x1/(1+x1)=3/2>x1，x3=1+x2/(1+x2)=8/5>x2，……，∴xn+1>xn，即{xn}单调递增、且为正项数列。
　　又，x1=1<2、x2=3/2<2、x3=8/2<2，……，(xn+1)-2=xn/(1+xn)-1=-1/(1+xn)<0，∴{xn}有界。∴数列{xn}的极限存在。
　　设lim(n→∞)xn=a，∴lim(n→∞)(xn+1)=1+lim(n→∞)xn/(1+xn)，即a=1+a/(1+a)，解得a=1/2±√5/2(负值舍去)，
　　∴lim(n→∞)xn=(1+√5)/2。
　　供参考。

设f(x)=1+x/(1+x)=2-1/(x+1)
易证f(x)在(-1,+∞)上单增且有上界2
∵x2=f(x1)=3/2>x1

x3=f(x2)>f(x1),即x3>x2
以此类推,得xn+1>xn成立,即{xn}单增有上界

∴{xn}收敛,设极限为A,则
A=2-1/(A+1),A=(1±√5)/2
由极限的保号性可知lim(n→∞)xn=(1+√5)/2

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抚顺县15839216783： 利用收敛准则证明下列数列有极限,并求其极限值.X1=1 Xn+1=Xn/1+Xn +1 n=1.2.…… 注:Xn/Xn+1是一个整式 - ？
魏泼信达：[答案] X1=1,Xn+1=Xn/(1+Xn) +10 X(n+1)-Xn=Xn/(1+Xn) +1-X(n-1)/(1+X(n-1)) +1=(Xn-X(n-1))/((1+Xn)(1+X(n-1)) 由归纳法:X(n+1)-Xn>0.Xn单调增加 Xn极限存在,设为a 在X(n+1)=Xn/(1+Xn) +1两边取极限的:a=a/(1+a)+1 解得:a=(1±√5)/2,舍去负数 ...

抚顺县15839216783： 利用收敛法则证明下列数列有极限,和求出其极限值X(1)=1,X(n+1)=1+X(n)/1+X(n).n=1,2,…… - ？
魏泼信达：[答案] X(n+1)=1+Xn/(1+Xn)=1+1/[1+1/xn] X2>X1=1 1/Xn 减函数,x(n+1)=1+1/[1+1/xn] 增函数,x(n+1)>xn linxn=2

抚顺县15839216783： 利用收敛准则证明数列有极限,并求极限值x1=1,x(n+1)=1+xn/(1+xn),n=1,2…n+1,xn是下标 - ？
魏泼信达：[答案] 对任意n,用归纳法可得x(n)≥1. x(n+1)/x(n)=1/x(n)+1/(x(n+1)≤1,所以x(n)单调递减有下界,极限=(1+√5)/2

抚顺县15839216783： 利用收敛准则证明数列有极限,并求其极限值 - ？
魏泼信达： 解:∵x2=1+x1/(1+x1)=3/2>x1,x3=1+x2/(1+x2)=8/5>x2,……,∴xn+1>xn,即{xn}单调递增、且为正项数列. 又,x1=1<2、x2=3/2<2、x3=8/2<2,……,(xn+1)-2=xn/(1+xn)-1=-1/(1+xn)<0,∴{xn}有界.∴数列{xn}的极限存在. 设lim(n→∞)xn=a,∴lim(n→∞)(xn+1)=1+lim(n→∞)xn/(1+xn),即a=1+a/(1+a),解得a=1/2±√5/2(负值舍去), ∴lim(n→∞)xn=(1+√5)/2. 供参考.

抚顺县15839216783： 利用单调有界数列收敛准则证明下面数列极限存在x1=根号2,X(n+1)=根号2x,n=1,2,3. - ？
魏泼信达：[答案] 1.x1=√2

抚顺县15839216783： 利用收敛法则证明下列数列有极限,和求出其极限值 - ？
魏泼信达： X(n+1)=1+Xn/(1+Xn)=1+1/[1+1/xn] X2>X1=1 1/Xn 减函数, x(n+1)=1+1/[1+1/xn] 增函数,x(n+1)>xn linxn=2

抚顺县15839216783： 数学题 利用收敛准则证明数列有极限,并求极限值 - ？
魏泼信达： 对任意n,用归纳法可得x(n)≥1. x(n+1)/x(n)=1/x(n)+1/(x(n+1)≤1,所以x(n)单调递减有下界,极限=(1+√5)/2

抚顺县15839216783： 利用单调有界数列收敛准则证明下面数列极限存在 - ？
魏泼信达： 1.x1=√2<2,设xn<2, x(n+1)=√(2xn)<2,由数学归纳法,xn<2,数列有界. 2.x1=√2,x2=√(2√2)>√2=x1, x2-x1>0 x(n+1)-xn=√(2xn)-√(2x(n-1)=2(xn-x(n-1))/(√(2xn)+√(2x(n-1))>0 所以数列单增,极限存在. 设limxn=a,在x(n+1)=√(2xn)两边取极限得:a=√(2a),解得:a=2 limxn=2

抚顺县15839216783： 用单调有界数列收敛准则证明数列极限存在.(1)X1>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)(n=1,2...,a>0) (2)X1=√2,Xn+1用单调有界数列收敛准则证明数列极限存在.(1)X... - ？
魏泼信达：[答案] (1)X1>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)(n=1,2...,a>0)Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)=(Xn^2+a)/2Xn》2Xn√a/2Xn=√a 故Xn》√a n》2 数列有下界又:X3-X2=1/2(X2+a/X2)-X2=(1/2)(a/X2-X2)=(a-X2^2)/(2X2)《0 X3《X2而:Xn+1-Xn=1/2(Xn+a/X...

抚顺县15839216783： 利用单调有界收敛准则,证明:数列x1=2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5 (n=1,2, .)存在极限,并求出极限值 - ？
魏泼信达：[答案] 由归纳法x1=√2<2,设xn<2,则x(n+1)=√2+xn<√(2+2)=2,∴0√(2xn)=√2*√xn>√xn*√xn=xn,∴xn有界,∴xn有极限a,在x(n+1)=(2+xn)^0.5 两边取极限得:a∧2-a-2=0,a=2,(a=-1舍)....