求抛物线y=x²和直线x-y-2=0之间的最短距离，用拉格朗日乘数法解答

请问这题怎么做？ 利用拉格朗日乘数法求点P(0,-1,1)到直线y+2=0,x+2z=7的距离~

p(0,-1,1)到平面y+2=0
即y=-2的距2113离是(-1)-(-2)=1点p(0,-1,1)在平5261面y+2=0
即y=-2上投影是(0,-2,1)直线x+2z-7=0也在平面y+2=0即y=-2上(0,-2,1)到直线x+2z-7=0距离为1653d=|0+1*2-7|/(根号(1^2+2^2))=根号5点p(0,-1,1)到直线（y+2=0，x+2z-7=0）的距离d'=根号(d^2+1^2)=根号6
(0,-1,1)位于平面y+1=0内，当然已知直线也在此平面上，所以这实际上是一个平面解析几何问题，需要求y=-1平面上点(0,1)到直线x+2z-7=0的距离；d=|0+2*1-7|/√(1^2+2^2)=5/√5=√5。

扩展资料：
设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数，其中λ为参数。

令F(x,y,λ)对x和y和λ的一阶偏导数等于零，即
F'x=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0
F'y=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0
F'λ=φ(x,y)=0
由上述方程组解出x,y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。
若这样的点只有一个，由实际问题可直接确定此即所求的点。
参考资料来源：百度百科-拉格朗日乘数法

看到x^2+4y^2≤4首先想到的应该是三角换元啊，而不是用Lagrange乘值法
令x=2rcosθ，y=rsinθ，其中0≤r≤1，θ∈[0，2π）

z=4r^2(cosθ)^2-r^2(sinθ)^2=5r^2(cosθ)^2-r^2

所以当r=1，cosθ=±1时z取到最大值4，此时x=±2，y=0
当r=1，cosθ=0时z取到最小值-1，此时x=0，y=±1

简单分析一下，详情如图所示

供参考。

令L=[x－y－2]/√2－λ(y－x^2)，d(x,y)=[x－y－2]/√2
Lx=1/√2+2xλ=0
Ly=－1/√2－λ=0
Lλ=x^2－y=0
解得x=1/2,y=1/4
所以dmin=d(1/2,1/4)=7√2/8

知道问题过去很久了，今天做题碰到，仅供参考。

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蠡县18797822202： 求抛物线y=x²和直线y=x - 1间最短距离. - ？
荡唐法兹：[答案] 本题解法有很多种.可以用直线簇y=x+c来截抛物线y=x²,得x²-x-c=0,当恰好相切时判别式△=1+4c=0,解出c=-1/4,代入解得x=1/2,也即切点为(1/2,1/4).根据点到直线距离求出最短距离 dmin=|1/2-1/4-1|/√2=3√2/8 或者直接设抛物线上动点P(t,t^...

蠡县18797822202： 抛物线y=x² - 2与直线y=x所围的面积S等于多少? - ？
荡唐法兹：[答案] y=x²-2y=x先求交点x²-2=xx²-x-2=0(x-2)(x+1)=0得 x=2 或 x=-1∫x-(x²-2)dx=∫-x²+x+2 dx [-1,2]=-x³/3+x²/2+2x [-1,2]=(-8/3+2+4)-(1/3+1/2-2)=10/3+7/6=9/2

蠡县18797822202： 已知抛物线y=x²与直线y=2x+a有两个交点1)求a的取值范围 2)如果两个交点的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)且满足1/x1 + 1/x2 = - 2/3,求 a的值 - ？
荡唐法兹：[答案] y=x² y=2x+a x²-2x-a=0 △>0 4+4a>0 a>-1 韦达定理 x1+x2=2 x1x2=-a (1/x1)+(1/x2)=-2/3 (x1+x2)/x1x2=-2/3 2/x1x2=-2/3 x1x2=-3=-a a=3

蠡县18797822202： 已知抛物线y=x² - 4x+a的顶点在直线y= - 4x - 1上,求抛物线的顶点坐标 - ？
荡唐法兹：[答案] 抛物线方程y=x²-4x+a=(x-2)^2-4+a 可知顶点在x=2处,在直线y=-4x-1上 所以直线y=-4*2-1=-9 所以顶点为(2,-9) 解毕!~

蠡县18797822202： 求抛物线y=x²上到直线2x - y - 4=0 的距离最短的点的坐标及最短距离 - ？
荡唐法兹：[答案] 设改点坐标为(x,x^2) 根据点到直线距离公式,d=|kx-y+b|/√(k^2+1) 所以 d=|2x-x^2-4|/√5 =|(x-1)^2+3|/√5 当x=1时,d有最小值,d=3/√5 所以所求点坐标为(1,1) 如果满意请点击右上角评价点【满意】即可~

蠡县18797822202： 已知抛物线y=x²+4与直线y=x+10,求:(1)它们的交点;(2)抛物线在交点处的切线方程.用导数求解. - ？
荡唐法兹：[答案] (1) x^2+4=x+10 x^2-x-6=0 (x-3)(x+2)=0 x=3或-2 y=13或8 交点为(3,13)(-2,8) (2)f'(x)=2x f'(3)=6,f'(-2)=-4 两切线的截距分别为 13-6*3=-5 ; 8-(-2)*(-4)=0 两切线方程分别为 y=6x-5 y=-4x

蠡县18797822202： 求曲线y=x²与直线x=1,x=4,y=0所围成的图形的面积 - ？
荡唐法兹：[答案] S = (1到4上的积分)x²dx = 1/3 * x^3|(1到4) =1/3(64 - 1)= 63/3 = 21

蠡县18797822202： 计算由抛物线y=x²,直线y=x及y=2x轴所围成的平面图形的面积 - ？
荡唐法兹：[答案] 抛物线y=x²,直线y=x及y=2x有三个交点(0,0),(1,1) (2,4) 用x=1分积分两部分: S=∫(0,1)dx∫(x,2x)dy+∫(1,2)dx∫(x²,2x)dy =∫(0,1)xdx+∫(1,2)(2x-x²)dx =1/2+(4-1)-(8/3-1/3) =7/2-7/3 =7/6

蠡县18797822202： 高中数学,求抛物线y=x² - 1与y=x+1所围成的面积 - ？
荡唐法兹：[答案] 联立两方程:y = x²; y =-x+2 解得两曲线的两交点为(1,1),(-2,4) 由定积分的几何意义知: 两曲线围成的面积为在积分区间[-2,1]内直线y=-x+2与x轴围成的面积与抛物线y=x²与x轴围成的面积之差. ∴S = ∫ (2-x)dx - ∫ x² dx = 15/2 - 3 = 9/2 注:表示...

蠡县18797822202： 直线y=4x+1与抛物线y=x²+2x+k有唯一交点,则k= - ？
荡唐法兹：[答案] k=2 因为直线与抛物线只有唯一交点 所以联立方程式得:4x+1=x^2+2x+k 该方程有唯一解 即 x^2-2x+k-1=0 k-1=1 所以k=2,并且在x=1,y=5是相交