请问 （1+x）^n的泰勒级数是什么? 请写出∑的级数式子。
一、分析与解答
1.1）分析：函数的泰勒展开式要以某点为中心展开，若以原点(x=0)为中心展开，则为泰勒级数的特殊形式——麦克劳林公式，若没有考虑以x=x0，x0可以为任意值的情况，则不算完整解答了该函数的泰勒展开式。
1.2）答：函数(1+x)^(-1)以x=x0为中心的泰勒展开式如下图所示：
二、泰勒级数的展开方法
泰勒级数是用一类无限项连加式来表达函数的级数。若表达式为x的幂级数，则称为麦克劳林级数，为泰勒级数的特殊形式。泰勒展开式公式如图所示：
三、推导过程
3.1）求(1+x)^(-1)的高阶导数表达式，用于求其泰勒展开式，如下图：
3.2）代入泰勒展开式公式①和该函数的高阶导数公式②，得：(如图)
四、泰勒级数的用途
4.1）求函数的数值
对于1/(1+x)而言，此函数本身就较为简单，直接计算即可。但对于一些定义复杂的函数，如三角函数，则其一般函数值的精确计算要依赖于泰勒级数。举例如图所示：
需要注意的是：sin1为无理数，就如同π一样，只能精确到有限位。利用泰勒公式，可以将很多复杂的函数(有些特殊的函数例外)转化为只有加减乘除的式子进行计算，而且计算精度可以确定。著名的圆周率π现代的数值算法，也应用了泰勒级数的原理。
4.2）数学理论分析和计算
泰勒级数展开式将简单的函数式子化为无穷多项幂函数，看似化简为繁。但事实上泰勒级数可以解决很多数学问题。
如：①求极限时可以用函数的麦克劳林公式(泰勒展开式的特殊形式)；
②一些难以积分的函数，将函数泰勒展开变为幂级数，使其容易积分；
③复杂离散函数的多项式拟合，用于统计学和预测算法；
④一些数学证明，有时需要将复杂函数化为格式高度统一的幂级数来证明。
此类例子数不胜数，不可能一一列举。
（插图用绿色背景展示，以证明其为本人编辑。）
一、分析与解答
1.1）分析：函数的泰勒展开式要以某点为中心展开，若以原点(x=0)为中心展开，则为泰勒级数的特殊形式——麦克劳林公式，若没有考虑以x=x0，x0可以为任意值的情况，则不算完整解答了该函数的泰勒展开式。
1.2）答：函数(1+x)^(-1)以x=x0为中心的泰勒展开式如下图所示：
二、泰勒级数的展开方法
泰勒级数是用一类无限项连加式来表达函数的级数。若表达式为x的幂级数，则称为麦克劳林级数，为泰勒级数的特殊形式。泰勒展开式公式如图所示：
三、推导过程
3.1）求(1+x)^(-1)的高阶导数表达式，用于求其泰勒展开式，如下图：
3.2）代入泰勒展开式公式①和该函数的高阶导数公式②，得：(如图)
四、泰勒级数的用途
4.1）求函数的数值
对于1/(1+x)而言，此函数本身就较为简单，直接计算即可。但对于一些定义复杂的函数，如三角函数，则其一般函数值的精确计算要依赖于泰勒级数。举例如图所示：
需要注意的是：sin1为无理数，就如同π一样，只能精确到有限位。利用泰勒公式，可以将很多复杂的函数(有些特殊的函数例外)转化为只有加减乘除的式子进行计算，而且计算精度可以确定。著名的圆周率π现代的数值算法，也应用了泰勒级数的原理。
4.2）数学理论分析和计算
泰勒级数展开式将简单的函数式子化为无穷多项幂函数，看似化简为繁。但事实上泰勒级数可以解决很多数学问题。
如：①求极限时可以用函数的麦克劳林公式(泰勒展开式的特殊形式)；
②一些难以积分的函数，将函数泰勒展开变为幂级数，使其容易积分；
③复杂离散函数的多项式拟合，用于统计学和预测算法；
④一些数学证明，有时需要将复杂函数化为格式高度统一的幂级数来证明。
此类例子数不胜数，不可能一一列举。
（插图用绿色背景展示，以证明其为本人编辑。）
令f(x)=ln(1+x)，则：
f(x)的k阶导数为fk(x)=（k-1)!(-1)^(k+1)/(1+x)^k; (k-1)的阶乘，乘以-1的k+1次方，除以（1+x)的k次方。
f(x)=f(x0)+∑fk(x0)(x-x0)^k/k!(k=1，2，3……）
x0可取f(x)定义域内的任意数，根据需要选择.如x0=0，则上式为f(x)在x=0处的泰勒展开式。
求极限基本方法有：
1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。
2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。
3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。
令f(x)=ln(1+x),则
f(x)的k阶导数为fk(x)=（k-1)!(-1)^(k+1)/(1+x)^k; (k-1)的阶乘,乘以-1的k+1次方,除以（1+x)的k次方
f(x)=f(x0)+∑fk(x0)(x-x0)^k/k!(k=1,2,3……）
x0可取f(x)定义域内的任意数,根据需要选择.如x0=0,则上式为f(x)在x=0处的泰勒展开式.
fk(x0)可由前面的式子求得.
门冰盐酸： 令f(x)=ln(1+x),则 f(x)的k阶导数为fk(x)=(k-1)!(-1)^(k+1)/(1+x)^k; (k-1)的阶乘,乘以-1的k+1次方,除以(1+x)的k次方 f(x)=f(x0)+∑fk(x0)(x-x0)^k/k!(k=1,2,3……)x0可取f(x)定义域内的任意数,根据需要选择.如x0=0,则上式为f(x)在x=0处的泰勒展开式.fk(x0)可由前面的式子求得.
阜阳市15097992948： 打横线处是什么意思? - ？
门冰盐酸： 利用泰勒级数得出(1+x)^n=1+nx+n(n-1)x^2+o(x^2) 所以lim{[(1+x)^n]-1-nx}/x=lim[n(n-1)x^2+o(x^2)]/x=limn(n-1)x=0 也就是x→0时 (1+x)^n-1等价于nx
阜阳市15097992948： 泰勒级数 如何用泰勒级数表示arctan(x - 1) - ？
门冰盐酸： 其实利用泰勒级数的唯一性求解更加方便 因为1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+……+(-1)^n*x^n+…… 所以1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+……+(-1)^n*x^(2n)+…… 故arctanx=∫(0→x)1/(1+x^2)dx=x-x^3/3+x^5/5+……+(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)+…… 故arctan(x-1)=(x-1)-(x-1)^3/3+(x-1)^5/5+……+(-1)^n*(x-1)^(2n+1)/(2n+1)+……
阜阳市15097992948： (1+x)^1/x的泰勒展开 - ？
门冰盐酸： 解题过程如下图: 泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值....
阜阳市15097992948： 1/(1+x)^2的幂级数展开式 - ？
门冰盐酸： 1/(1+x)^2的展开式 套用 下列(1+x)^-2 的展开公式,有 (1+x)^-2=1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-....+(-1)^(n-1) . n . x^(n-1)+....
阜阳市15097992948： 泰勒级数,麦克劳林级数,幂级数,三者有什么区别联系?(级数级数级数,不是展开式). - ？
门冰盐酸： 按照定义,幂级数是指形如“∑an(x-x0)^n=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)²+…+an(x-x0)^n+…”的级数.其中an是常系数,n=0,1,2,……,∞. 如果f(x),在x0的一个邻域内具有任意阶导数f^(n)(x),形如“∑an(x-x0)^n,其中an=f^(n)(x0)/(n!),n=0,1,2,……,∞”,称之为f(x)在x0处的泰勒级数. 当x0=0时,泰勒级数就叫做麦克劳林级数,即∑(an)x^n,其中an=f^(n)(0)/(n!),n=0,1,2,……,∞. 故,由上述的定义及其表达式来看,麦克劳林级数、泰勒级数均为幂级数,且麦克劳林级数是泰勒级数的特例,泰勒级数是幂级数的特例. 供参考.
阜阳市15097992948： 怎样可以很快地解出泰勒展开式的系数,(1+x)^1/n的完整展开式是什么?怎样将带平方的式子如In(1+x^2)用In(1+x)的公式带出, - ？
门冰盐酸：[答案] 注意将In(1+f(x))展开成泰勒级数时f(x)的范围只是能(-1,1]. 此处若x的取值满足条件x^2属于[0,1],则只需将ln(1+t)的展开式中的t换成x^2,就好了.
阜阳市15097992948： 有关泰勒级数 - ？
门冰盐酸： 泰勒级数的定义: 若函数f(x)在点的某一临域内具有直到(n+1)阶导数,则在该邻域内f(x)的n阶泰勒公式为: f(x)=f(x0)+f`( x0)(x- x0)+f``( x0)(x-x0)²/2!+f```( x0)(x- x0)³/3!+...fn(x0)(x- x0)n/n!+.... 其中:fn(x0)(x- x0)n/n!,称为拉格朗日余项. 以上函...
阜阳市15097992948： 1/1 - 2x和1/1 - x是怎样展示成幂级数: (1+2x+2^2x^2+2^3x^3+……)和(1+x+x^2+x^3+……)的,请写出过程. - ？
门冰盐酸： 先求出n阶导数(1/(1-x))^(n)=n!/(1-x)^n 然后根据泰勒公式就可以将1/(1-x)展开成泰勒级数1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+…… 再根据泰勒级数的唯一性,用2x代替上式中的x即可得1/(1-2x)=1+2x+2^2x^2+2^3x^3+……
阜阳市15097992948： (1+x)^1/x泰勒公式怎么展开 - ？
门冰盐酸： 您好,答案如图所示: 这个展开没有捷径,你只能逐个化简了,小心一点就是 很高兴能回答您的提问,您不用添加任何财富,只要及时采纳就是对我们最好的回报.若提问人还有任何不懂的地方可随时追问,我会尽量解答,祝您学业进步,谢谢.☆⌒_⌒☆ 如果问题解决后,请点击下面的“选为满意答案”
