量子力学的数学基础(5)
当面对不相容的观测量[公式]和[公式]，它们的本征右矢分别为[公式]和[公式]。任何量子态都可以用这两个本征集展开。基向量集的转换被称为基变换或表象变换。
定理1指出，如果两个基满足完备性和正交性，存在一个幺正算符[公式]，使得：
[公式]
幺正算符的特点是满足[公式]和[公式]的关系。证明中，我们通过[公式]的性质，证明了[公式]是一个幺正算符，无论以何种基表示，其矩阵形式都是单位矩阵。
在一般情况下，当基向量改变时，非幺正算符的行为也会随之改变。例如，给定态矢[公式]，其在不同基下的展开系数可以通过矩阵运算来求得，如从[公式]变为[公式]时，系数变化为[公式]。
迹是一个算符的对角元素之和，定理2表明，无论表象如何变换，迹[公式]保持不变。证明过程中利用了矩阵的运算性质。
对角化是将算符以本征向量为新基的关键，其过程涉及寻找对应的幺正矩阵。本征值和本征向量的关系[公式]在不同基下保持不变，证明通过对比不同基下的矩阵形式得以实现。
通过[公式]的特征值方程，我们可以找到本征向量，从而对算符进行对角化。这与算符的厄米性密切相关，因为它影响了矩阵元素的计算。
最后，定理3强调了观测量[公式]和[公式]之间的关系，如果通过幺正变换[公式]连接，这两个观测量被认为是幺正等价的。通过算符[公式]的本征值方程，可以直观理解这种等价性。
参考资料：J·J·Sakurai的《现代量子力学》。
学量子力学需要什么样的数学基础?
数学基础：微积分、微分方程、数学场论、行列式、矩阵、线性代数、排列组合、概率论。《数学物理方法》中的偏微分方程的级数解法、泛函分析、复变函数等内容也会用到；对易代数似乎没有专门的数学书，就是在学量子力学时同步学习的；《群论》也很重要，但那是相当高程度时才需要，现在先不必学。
冯诺依曼的简历
其中明确区别集合与类;其后,他研究希尔伯特空间上线性自伴算子谱理论,从而为量子力学打下数学基础;1930年起,他证明平均遍历定理开拓了遍历理论的新领域;1933年,他运用紧致群解决了希尔伯特第五问题;此外,他还在测度论、格论和连续几何学方面也有开创性的贡献;从1936～1943年,他和默里合作,创造了算子环理论...
学习量子力学公式需要具备哪些前置知识?
3.数学基础：熟悉微积分、线性代数和微分方程等数学工具，这些是理解和推导量子力学公式的基础。4.波动光学：了解光的波动性质，包括干涉、衍射和偏振等现象，以及光的传播速度和波长等基本概念。5.原子物理学基础：了解原子结构的基本概念，包括电子轨道、能级和原子光谱等，并了解玻尔模型和索末菲模型等简...
力学专业都要学哪些数学课程?
基础的课程有：1.高等数学（整个大学课程的基础）2.线性代数（振动力学、结构力学、分析力学的数学基础）3.概率论与数理统计（这个……我也不知道有什么用，反正保研、考研都需要）4.矢量分析与场论（好像很多课都需要其中一些知识）5.张量分析（流体中用的最多，弹、塑性力学中也用到很多）6.数学物...
学习自学理论力学需要具备哪些前置知识或技能?
数学基础：理论力学是一门高度数学化的学科，因此具备扎实的数学基础是非常重要的。学习者需要熟悉微积分、线性代数、向量分析、微分方程等数学工具。这些数学知识将帮助学习者更好地理解力学中的各种概念和公式。物理基础：理论力学是物理学的一个分支，因此具备一定的物理基础知识是必要的。学习者需要了解...
学量子力学需要什么数学和物理基础?
数学：先要精熟函数，微积分，拓朴 物理：经典力学、电动力学、波动方程，可以了解凝聚态物理，相对论，对理论物理要有基础。大虾们都讲了，菜鸟不敢多言。阳兄，其实，说起来易，做起来难，这还得看你的身份和现实状况。
学习理论物理和量子力学需要掌握哪些基本知识?
1.数学基础：微积分、线性代数、微分方程等是理论物理和量子力学的基础，需要熟练掌握。2.经典物理学：了解经典力学、电磁学和热力学等基本概念和定律，为理解量子力学打下基础。3.量子力学基本原理：掌握波粒二象性、不确定性原理、波函数和薛定谔方程等基本概念和原理。4.量子力学的数学形式：熟悉量子...
天才中的高富帅,数学界的暖男——冯诺伊曼
他的工作大致可以分为两个时期:1940年以前,主要是纯粹数学的研究:在数理逻辑方面提出简单而明确的序数理论,并对集合论进行新的公理化,其中明确区别集合与类;其后他研究希尔伯特空间上线性自伴算子谱理论,从而为量子力学打下数学基础;1930年起,他证明平均遍历定理开拓了遍历理论的新领域;1933年他运用紧致群解决了...
量子力学的基本概念及其数学基础 ·下:基本概念篇
揭示了测量的本质和量子概率的奥秘。量子力学的三大基石——单粒子状态描述、测量原理以及动力学规律，共同构成了理论的基础。通过观察算符和量子态的演化，我们得以揭示微观世界的奇妙行为，而测量的影响，正是量子世界中令人着迷的不确定性原理的体现。深入理解这些概念，是揭开量子世界神秘面纱的关键一步。
学懂量子力学、相对论的数学基础要哪些?
请分别回答学懂量子力学、相对论的数学基础 要求仔细一点 解析:量子力学：微积分，微分方程，这是基础。矩阵，量子力学也是矩阵力学，海森堡发展出来的，和薛定谔的波动力学等价。泛函，量子力学中有很多地方要用变分法，如Hartree-Fock方法。复变函数，波函数在很多时候用复数表示。等等。实际上，只要有一些...
寿卖小儿： 微积分、微分方程、数学场论、行列式、矩阵、线性代数、排列组合、概率论; 《数学物理方法》中的偏微分方程的级数解法、泛函分析、复变函数等内容也会用到;对易代数似乎没有专门的数学书,就是在学量子力学时同步学习的; 《群论》也很重要,但那是相当高程度时才需要.
资阳区15956019599： 量子力学需要的数学知识有哪些? - ？
寿卖小儿： 量子力学大体分为两类,一种是以薛定鄂方程(波函数能量方程)为代表的微分解析类,另一种是以海森保为代表的矩阵力学,无论哪种,本质都是相同的.显然需要的数学知识有:数学分析(微积分),代数学(矩阵论),数学物理方程(微分方程),复变函数等.量子力学的学习数学是基础,也要融会哲学知识,初学重在深刻改变对微观世界的认识观和思想,这是前提条件,很重要.
资阳区15956019599： 量子力学的数学基础有哪些啊?谢谢 - ？
寿卖小儿： 本科生的话 量子力学的基础知识需要微积分,常微分方程,复变函数,积分变换,最好再看看数学物理方法里的偏微分方程和变分.
资阳区15956019599： 量子力学的数学基础 - ？
寿卖小儿： 微积分,线代.少量最基本的概率知识.最基本的一点矢量计算,连差乘还不会可不行.这些已经是压缩到极限了吧.最好稍微学一点数学物理方法,会解些数理方程,解谐振子,氢原子,都用的到,当然这个不是十分必要,直接记结论也不是不可以.看你考哪了.不同学校差别很大.能搞到真题最好.考试嘛,总有迹可寻.
资阳区15956019599： 学懂量子力学、相对论的数学基础要哪些?？
寿卖小儿： 量子力学:微积分,微分方程,这是基础.矩阵,量子力学也是矩阵力学,海森堡发展出来的,和薛定谔的波动力学等价.泛函,量子力学中有很多地方要用变分法,如Hartree-Fock方法.复变函数,波函数在很多时候用复数表示.等等. 实际上,只要有一些基础的微积分知识就可以开始学了,然后在学习的过程中,再补充自己的数学知识.很少人是在具备了所有需要的数学知识后,才开始学量子力学的. 狭义相对论:微积分,矩阵,基本的张量知识. 广义相对论:微分几何,包括张量,流形等,这些知识是描述弯曲时空的基础.
资阳区15956019599： 量子力学的基本概念 - ？
寿卖小儿： 量子力学是描写微观物质的一个物理学理论,与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱,许多物理学理论和科学如原子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学以及其它相关的学科都是以量子力学为基础. 量子力学是研究微观粒子...
资阳区15956019599： 请问要想深入学习研究量子力学都需要哪些数学基础?现已学完高数和线性代数,还需要什么?应该以什么顺序学? - ？
寿卖小儿：[答案] 微积分、微分方程、数学场论、行列式、矩阵、线性代数、排列组合、概率论; 《数学物理方法》中的偏微分方程的级数解法、泛函分析、复变函数等内容也会用到;对易代数似乎没有专门的数学书,就是在学量子力学时同步学习的; 《群论》也...
资阳区15956019599： 量子力学的数学基础？
寿卖小儿： 分子轨道从头计算法
资阳区15956019599： 量子力学的数学基础如题,要掌握量子力学(本科层次),需要哪些数学基础?全面点……谢谢!那如果是为了考研究生呢?我是一个工科大三的学生,明... - ？
寿卖小儿：[答案] 微积分,线代. 少量最基本的概率知识. 最基本的一点矢量计算,连差乘还不会可不行. 这些已经是压缩到极限了吧. 最好稍微学一点数学物理方法,会解些数理方程,解谐振子,氢原子,都用的到,当然这个不是十分必要,直接记结论也不是不可以. ...
资阳区15956019599： 量子力学的基本假设是物理假设还是数学假设,请详细讲 - ？
寿卖小儿： 量子力学的基本假设是物理假设还是数学假设,请 量子力学中最重要的理论基础就是量子力学五大基本假设了. 科学理论是从大量实践中总结出来的,再经过实践的检验,证明它符合客观的规律,这个理论才成立.从二十世纪初Planck提出量子概念,到随后的二十多年时间内,经过许多物理学家的共同努力,量子力学数学形式已基本完成.从理论体系上来讲,量子力学有两套不同的理论体系.
