在凸n边形中，若周长一定，则当该n边形为正n边形时，面积最大，请证明

若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是__________~

6 根据凸n边形的内角和为1260°，求出凸n边形的边数，即可得出，从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．解：∵凸n边形的内角和为1260°，∴（n-2）×180°=1260°，得，n=9；∴9-3=6．故答案为：6．本题考查了多边形的内角和定理及多边形的对角线，熟记多边形的内角和计算公式是正确解答本题的基础．

设A0，A1，…,An-1依次是面积为整数的正n边形的n个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形,如四边形A3A4A5A6、七边形An-2An-1A0A1A2A3A4等，如果所有这样的凸多边形的面积之和是231，那么n的最大值是——，此时正n边形的面积是—— 求过程设A0，A1，…，An-1依次是面积为整数的正n边形的n个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形，如四边形A3A4A5A6、七边形An-2An-1A0A1A2A3A4等，如果所有这样的凸多边形的面积之和是231，那么n的最大值是 23此时正n边形的面积是1

先通过找规律找出P与n的关系式 P=
12
n2-
32
n+1，再化为P=
12
（n-
32
）2+
18
，由于n≥3，故P值越大，n取值越大． 在凸多边形面积之和为231时，由于正n边形的面积为整数，故其面积取最小值1时，P值最大，从而得出关于n的方程求解即可．

解：用找规律找出P与n的关系式
不难发现，P与n有下表所列的关系
n 3 4 5 6 P 1
（0+1）=（3-3）×3÷2+1 3
（2+1）=（4-3）×4÷2+1 6
（5+1）=（5-3）×5÷2+1 10
（6+3+1）=（6-3）×6÷2+1 因此，P=（n-3）•n÷2+1，即P=12n2-32n+1．
P=12n2-32n+1可以化为P=12（n-32）2+18，
由于n≥3，故P值越大，n取值越大．
在凸多边形面积之和为231时，由于正n边形的面积为整数，
故其面积取最小值1时，P值最大
代入各值，得：231÷1=12n2-32n+1，
整理得：n2-3n-460=0
解得n=23或n=-20（不合题意，舍去）
故n=23为最大值，此时正23边形的面积为1．
故答案为：23，1．【解析】 23；1． 设正n边形的面积为nS，则 ∵正n边形的对角线共有()112nn−条， ∴所有满足条件的凸边形共有()1nn−个，它们的面积之和为()112nnnS−⋅ ∴()146223711nnnS−==⋅⋅⋅ ∴711nnS==或231nnS==，于是n的最大值是23，此时正n边形的面积是1

貌似这个问题，用初等数学无法严格证明。
利用高等数学知识，可以给出一些思路：
1。任何n边形存在一凸n边形使之面积不小于原n边形。
2。有一个顶点在原点的凸n边形（包括退化的凸多边形)是由其他n-1个点的坐标决定。所以可以看成2n-2维空间中一点，周长一定的情况下，这些点组成的集合2n-2为空间中的一个紧集。
3。面积是这个空间中的连续函数，所以存在一点取最大值。则这个点决定的多边形面积最大。设为S。
4。若S有2相邻边不相等，则设为AB,BC。则在AC同侧有点B1有
AB1=B1C
且AB1+B1C=AB+BC，则三角形AB1C的面积>ABC的面积。则将B换为B1
得多边形S1有面积S1>面积S
则存在凸n边形S2>=S1>S与S面积最大矛盾。故S所有边相等。
5。S的每条边相等。存在S1为正n边形
与S边长相等。
则S1内接与一圆O1
每段边外有一弓形
在S的每边处向外作相同的弓形得以曲边n边形O
则O，O1周长相等。由等周定理
O1的面积>=O的面积
所以
S1面积+n弓形面积>=
S面积+n弓形面积，则S1面积>=S面积。故得证。

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端州区19394891870： 在凸n边形中,若周长一定,则当该n边形为正n边形时,面积最大,请证明 - ？
窦试樟脑： 貌似这个问题,用初等数学无法严格证明.利用高等数学知识,可以给出一些思路:1.任何n边形存在一凸n边形使之面积不小于原n边形.2.有一个顶点在原点的凸n边形(包括退化的凸多边形)是由其他n-1个点的坐标决定.所以可以看成2n...

端州区19394891870： 一道难题 - ？
窦试樟脑： (1)这个问题有很多种解法: 1归纳法:很容易得出,四边形有两条对角线,五边形有五条对角线,六边形九条对角线,七边形有14条对角线......可以归纳出一条规律,n边形比n-1边形多n-2条对角线,经过叠加后可得凸十边形的对角线条数:2+3...

端州区19394891870： 数列题,急用!在线等答案 - ？
窦试樟脑： 1.解:根据等差数列前n项和公式和凸n边形的内角和公式得:40n-1/2*n*(n-1...

端州区19394891870： 求初一到初三的数学几何公式? ？
窦试樟脑： 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同... p表示正n边形的周长 142、正三角形面积√3a/4 a表示边长 143、如果在一个顶点周...

端州区19394891870： 周长相等的n边形,正n边形面积最大 - ？
窦试樟脑： 1,2楼证明都不对1楼的问题是平分周长的2点连线两边的顶点数未必一样多 所以翻转后就不一定是n边形了.2楼的问题是 一般的多边形没有内切圆 若会高等数学 可以用如下方式证 1任何n边形存在一凸n边形使之面积不小于原n边形.2有一个顶...

端州区19394891870： 为什么周长一定的多边形,正多边形面积最大 - ？
窦试樟脑： 可用如下方式证 1、任何n边形存在一凸n边形使之面积不小于原n边形. 2、有一个顶点在原点的一个凸n边形(包括退化的凸多边形)是由其他n-1个点的坐标决定 所以可以看成2n-2维空间中一点 周长一定的情况下 这些点组成的集合石 2n-2为...

端州区19394891870： 在凸多边形中,(1)当n=3时,最多有一个直角或钝角;当n=4时,最多有四个直角或三个钝角;当n大于或等于5时,最多有三个直角或钝角.(2)锐角不能多于三个.你能说明(1)(2)这两上结论的道理吗?？
窦试樟脑： 凸n边形内角和公式:(n-2)•180° (1)a n=3时,即为三角形,其内角和为180° 假设有一个以上的直角或钝角,则其内角和>90°+90°=180°,矛盾! 故直角或钝角至多只有一个. b n=4时,即为四边形,内角和为360°.显然四个直角是可以满足的,比如长方形. 假设有三个以上的钝角,则其内角和>90°•4=360°,矛盾! 故至多只有三个钝角. c n≥5时,至多有三个直角或钝角,这是不正确的.比如正五边形,正六边形等,它们的全部内角均为钝角. (2) 假设有三个以上的锐角,则其内角和<90°•4+180°•(n-4)=180°•(n-2),与内角和公式矛盾! 故假设不成立,即知锐角不能多于三个.

端州区19394891870： 已知正n边形的周长为60,边长为a. (1)当n=3时,请直接写出a值; - ？
窦试樟脑： 已知正n边形的周长为60,边长为a. (1)当n=3时,请直接写出a值;a=60÷3=20(2)把正n边形的周长与边数同时增加7后,假设得到的仍是正多边形,它的边数为n+7,周长为67,边长为b.n=3时,b=67/(3+7)=6.7 n=20时,b=67/(20+7)=67/27 n=120时,b=67/(120+7)=67/120 假设 b=a=20,代入b=67/(n+7) 解:20=67 /(n+7) n+7=67/20 n=3.35-7 n=-3.65 显然,n不应该是负的小数,因此b不能等于a

端州区19394891870： 1° 在周长一定的n边形的集合中,正n边形的面积最大. - ？
窦试樟脑： 没有面积最大的正n边形(周长一定).n增加时,面积也增加(楼主能够证明 吗?),n→+∞时.面积以同一周长的圆面积为极限.

端州区19394891870： 一个凸n边形的每个内角的度数都是30°的倍数 且它至少有3个内角等于90° 求n的所有可能值 - ？
窦试樟脑： 由题意,凸n边形的的内角可能度数为30、60、90、120、150.n边形的内角和为180*(n-2) 考虑极端情况,若其余内角均为150度,则180*(n-2)=90*3+150(n-3) 得n=6.再假设其余内角平均值为x度,则180*(n-2)=90*3+ x(n-3),即x=180- 90/(n-3),所以当n>6时,x>150,因为内角最大值为150度,这显然是矛盾的.所以n只能为6,5,4.再验证,当n=4时,4个角均为90度 当n=5时,3个角均为90度,2个角为135度 当n=6时,3个角均为90度,3个角为150度.