【读书笔记】《数学欣赏与发现》

~ 【读书笔记】《数学欣赏与发现》
一、根号2的产生——第一次数学危机
根号2是无理数这一定理名列十大“美丽定理”第七，紧随其后的是“π为超越数”、四色定理、大数学家费马的一个结论。古希腊几何学家欧几里得证明了根号2是无理数。毕达哥拉斯学派的核心观点是“万物皆数”，即认为宇宙万物都是可以追溯到整数或整数之比。该学派发现了勾股定理，但也因此引发了第一次数学危机。
二、无穷小是否为零——第二次数学危机
牛顿和莱布尼茨创立的微积分都建立在“无穷小”的基础上，但无穷小到底有多小？牛顿推导的时候，会把无穷小当做分母，之后又会把无穷小的数约掉，那无穷小到底是不是零，是零就不能当分母，不是零就不能约掉。这是微积分中不严谨的地方。1734年，被主观唯心主义哲学的开创者乔治·贝克莱质疑，导致了第二次数学危机的产生。争论持续到19世纪，100年后法国著名数学家柯西及其后的魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔在实数理论上建立的极限理论为微积分理论奠定了严密的逻辑基础。
三、理发师悖论——第三次数学危机
19世纪下半叶，康托创立了著名的集合论，终于使数学科学大厦平稳起地。但，英国哲学家伯特兰·罗素提出了一个论断：集合论并非绝对严格，是有瑕疵的。例如理发师要给“不给自己理发的人”理发，那他自己要不要给自己理发？不给自己理发，那就满足条件，那就应该给自己理发。可给自己理发，就不满足条件，那就不该给自己理发。
四、欧几里得与《几何原本》
《几何原本》是公元前3世纪欧几里得的著作，被誉为“数学的圣经”。古希腊亚历山大学派前期的三大数学家：欧几里得、阿波罗尼斯、阿基米德。高斯（19世纪）被公认为牛顿以后的“数学家之王”。发现了非欧几何的存在（可证明平行公理），但没提出。
五、罗巴契夫斯基与非欧几何
非欧几何的创建者一般认为是罗巴切夫斯基与波尔约。罗氏几何与欧式几何的本质区别在于二者的平行公理不同。菲欧几何还包括黎曼几何。黎曼为高斯的关门弟子。德国科学家克莱因对非欧几何做出了统一的解释：把欧式几何称为“抛物几何”，罗氏几何称为“双曲几何”（三角形内角和小于180度），黎曼几何称为“椭圆几何”（三角形内角和大于180度）
六、勾股定理到费马猜想
勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，有人称其为“几何学明珠”，也有人称其为“千古第一定理”。毕达哥拉斯，证明了勾股定理。中国西周商高证明勾股定理，比西方早五百多年。
七、周易八卦到二进制数
莱布尼茨堪称是一位百科全书式学者，发明了微积分，还发明了二进制。《周易》有言：太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦。坤、艮（gen）、坎、巽（xun）、震、离、兑、乾。“断态”用0表示。
八、完全数与亲和数
1903年，柯西发表学术报告，2^67-1 = 193707721x761838257287，引起的巨大的轰动，因为他否定了“2^67-1为素数”，同时也否定了“2^66x(2^67-1)为完全数”。唤答否定了梅森猜想。2^p-1（p为素数）型素数在数论中称为梅森素数。素数也称质数。
九、梅森素数
梅森素数有无穷多个。在纸笔演算时代，仅找到12个梅森素数。因特网梅森素数大搜索（GIMPS）项目，于2018年公布第51个梅森素数（2^82589933-1），是迄今为止人类发现的最大的素数。
十、水仙花数与卡普列加数
水仙花数：传统名字为“3次回归数”或“自幂数”。若一个n位自然数等于各位数字的n次幂之和，则称其为n位n次幂回归数。卡普列加数：把数字劈成两半（如果是奇数位，则高位补0），加起来，再平方，正好是原来的数，这样的数称为“卡普列加数”或“雷劈数”，也叫“分和平方再现数”。
十一、角落里的奇珍异宝
最神秘的数字142857，1/7 = 0.142857...数字142857从1乘到6后出现了数字轮回象限。回文数：从左到右和从又到左读完全一样。自守数：平方的尾数等于该数自身，称这样的数为自守数。最倒霉的数13，在东方，13是大吉之数。但在西方国家，大家比较忌讳13这个数。
十二、最美数学公式：欧拉公式与巴塞尔级数
欧拉公式，精确计算所有非零自然数平方的倒数的和。由欧拉论证得到该结果的，以欧拉的家乡瑞士的城市巴塞尔命名。论证用到了麦克劳林级数。巴塞尔级数的推进产生了黎曼猜想：该函数的零点，除了s=-2，-4，-6...在复平面上全部分布在s的实部为1/2的直线上。
十三、宇宙演化密码：黄金分割与斐波那契数列
黄金分割来源于毕达哥拉斯，对于任意给定线段AB，要在其上找一点C，该线段被点C分成长短两条线段，并使较长线段长和全线段长的比值等于较短线段长与较长线段长的比值。该比值为(√5-1)/2，约为0.618。斐波那契数列与黄金分割存在内在联系，相邻两个斐波那契数列随着序号的增加逐渐接近黄金分割比例。
十四、东方数学神作：中国剩余定理
“中国剩余定理”（也称孙子定理）是数论的基础性定理，与威尔逊定理、欧拉定理、费马小定理齐名，并称数论四大定理。来源于孙子算经，即：一个整数除以3余数为2，除以5余数为3，除以7余数为2，求这个整数。（答案是105n+23）
十五、数学珠穆朗玛：哥德巴赫猜想
“自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论，哥德巴赫猜想则是皇冠上的明珠。”素数（也叫质数）：只能被1和它本身整除的数。“任何一个大于2的偶数都能表示成两个素数之和。”哥德巴赫，德国数学家。
十六、数学解题的内涵、意义与水平
数学解题贯穿于数学学习始终。等差数列求和公式：
十七、为发现而解题
追求解题方案的多样化，追求解题方案的最优化，追求问题的生成性思考。
十八、数林奇葩——金蝉脱壳
两组数，和相等，平方和相等。同时抹掉从左到右，或从右到左，性质不变。两组数的方幂和相等。
十九、冰雹游戏
角谷静夫系列，如果是偶数，变成m/2，如果是奇数，变成3m+1。重复这样的操作，最后一个数无一例外都是1。
二十、讨论：数学发现中的观察与实验
科学观察与科学实验，数学观察与数学实验。
二十一、幻方与等幂和问题
“洛书”洛书中每个小圆圈都可代表一个1，写成数字的形式如下：这就是三阶幻方，图中的每一行每一列及对角线上的三数之和都是15。
二十二、四面体体积公式的发现
三角形的公式为 S=(1/2)xaxh 或 S=(1/2)xaxbxsinθ，四面体的体积公式为 V=(1/3)xSxh。那么四面体有没有类似三角形面积公式的第二个表述方法呢？
二十三、讨论：数学发现中的归纳与类比
推理被认为数学核心素养的重要元素。推理一般分为合情推理与演绎推理。许多数学知识的自主构建过程往往是“先猜后证”的过程。“猜”即合情推理，具体表现为归纳、类比

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