三维拟合法

matlab三维曲面进行平面拟合，利用最小二乘法~

可以直接使用matlab的曲面拟合工具箱，但是平面拟合的效果一般
1、在命令窗口输入待拟合的数据
>> x=[11.4,11.4,11.4,11.4;13.1,13.1,13.1,13.1;14.8,14.8,14.8,14.8;16.5,16.5,16.5,16.5;18.2,18.2,18.2,18.2];y=[0.84,0.72,0.61,0.45;0.68,0.49,0.44,0.41;0.57,0.43,0.40,0.38;0.42,0.37,0.33,0.17;0.39,0.30,0.24,0.16];z=[1.62,2.51,2.63,2.64;1.93,2.58,3.01,3.23;2.45,2.83,3.27,3.31;2.60,3.27,3.33,3.45;2.93,3.74,4.09,4.35];2、输入sftool命令打开曲面拟合工具箱，然后依次选择x，y，z数据
>> sftool
3、因为你要求平面拟合，所以选择一次多项式类型

4、左侧面板即为拟合结果

其中，R-square表示拟合度，越接近于1表示拟合效果越好，此时仅为0.8241，所以效果并不好。

如果你比较熟悉Matlab软件的话，可以用nlinfit函数（或lsqcurvefit函数）来拟合。其拟合方法为
x=[。。。]; %x、y、z为一组已知数据
y=[。。。];
z=[。。。];
X=[x y];
Y=z;
func=@(a,X)a(1)*X(:,1).^2+a(2)*X(:,1).*X(:,2) %假设方程为z=a1*x.^2+a2*x.*y
b=[0 0] %根据拟合结果可以调整
[a,r,J] = nlinfit(x,y,func,b);
z1=func(a,X);
[z1 z] %原值与拟合值比较
当z1与z比较接近，则可以认为拟合是成功的，也可以通过计算其相关系数来判断（R²≈1）。

二、数字高程模型(DEM)的生成
1、数字高程模型(DEM)的概念

数字高程模型(DEM)，也称数字地形模型(DTM)，是一种对空间起伏变化的连续表示方法。由于DTM隐含有地形景观的意思，所以，常用DEM，以单纯表示高程。

尽管DEM是为了模拟地面起伏而开始发展起来的，但也可以用于模拟其它二维表面的连续高度变化，如气温、降水量等。对于一些不具有三维空间连续分布特征的地理现象，如人口密度等，从宏观上讲，也可以用DEM来表示、分析和计算。

DEM有许多用途，例如：在民用和军用的工程项目(如道路设计)中计算挖填土石方量；为武器精确制导进行地形匹配；为军事目的显示地形景观；进行越野通视情况分析；道路设计的路线选择、地址选择；不同地形的比较和统计分析；计算坡度和坡向，绘制坡度图、晕渲图等；用于地貌分析，计算浸蚀和径流等；与专题数据，如土壤等，进行组合分析；当用其它特征(如气温等)代替高程后，还可进行人口、地下水位等的分析。

http://www.pwtal.com/terrain.htm
2、DEM的表示方法

(1)拟合法

拟合法是指用数学方法对表面进行拟合，主要利用连续的三维函数(如富立叶级数、高次多项式等)。但对于复杂的表面，进行整体的拟合是不可行的，所以，通常采用局部拟合法。

局部拟合法将复杂表面分成正方形的小块，或面积大致相等的不规则形状的小块，用三维数学函数对每一小块进行拟合，由于在小块的边缘，表面的坡度不一定都是连续变化的，所以应使用加权函数来保证小块接边处的匹配。

用拟合法表示DEM虽然在地形分析中用的不多，但在其它类型的机助设计系统(如飞机、汽车等的辅助设计)中应用广泛。

(2)等值线

等值线是地图上表示DEM的最常用方法，但并不适用于坡度计算等地形分析工作，也不适用于制作晕渲图、立体图等。

(3)格网DEM

格网DEM是DEM的最常用的形式，其数据的组织类似于图像栅格数据，只是每个像元的值是高程值。即格网DEM是一种高程矩阵(如图4—1)。其高程数据可直接由解析立体测图仪获取，也可由规则或不规则的离散数据内插产生。

格网DEM的优点是：数据结构简单，便于管理；有利于地形分析，以及制作立体图。其缺点是：格网点高程的内插会损失精度；格网过大会损失地形的关键特征，如山峰、洼坑、山脊等；如不改变格网的大小，不能适用于起伏程度不同的地区；地形简单地区存在大量冗余数据。

100 110 120 140 110 105 90

120 115 130 135 120 110 100

135 120 120 130 130 120 110

145 130 115 120 120 115 118

150 140 135 130 135 120 110

145 135 150 140 138 125 120

表4-6-1

(4)不规则三角网DEM(TIN)

不规则三角网DEM直接利用原始采样点进行地形表面的重建，由连续的相互联接的三角面组成(如图4—4)，三角面的形状和大小取决于不规则分布的观测点的密度和位置。不规则三角网DEM的优点是：能充分利用地貌的特征点、线，较好地表示复杂地形；可根据不同地形，选取合适的采样点数；进行地形分析和绘制立体图也很方便。其缺点是：由于数据结构复杂，因而不便于规范化管理，难以与矢量和栅格数据进行联合分析。

图4-6-4

通常所说的DEM即指格网DEM和不规则三角网DEM，地形分析也基于此。

Department of Defense, Groundwater Modeling System
三、格网DEM的建立

格网DEM的数据可直接从解析测图仪获取，下面介绍的是如何由离散点来构建格网DEM的方法。

离散点构格网DEM是在原始数据呈离散分布，或原有的格网DEM密度不够时需使用的方法。其基本思路是：选择一合理的数学模型，利用已知点上的信息求出函数的待定系数，然后求算规则格网点上的高程值。

离散点构格网DEM所采用的是内插算法，插值的方法很多，如按距离加权法、多项式内插法、样条函数内插法、多面函数法等等。大量的实验证明，由于实际地形的非平稳性，不同的内插方法对DEM的精度并无显著影响，主要取决于原始采样点的密度和分布。简单而常用的为线性内插法和双线性多项式内插法。

线性内插的数学模型为：

双线性多项式内插的数学模型为：

其中，x,y为平面坐标，Z为高程，a1、a2、a3、a4为待定系数。

只要将与插值点距离最近的三个点(对线性内插)或四个点(对双线性多项式内插)的坐标值和高程值代入方程，即可解出全部系数，然后用插值点的坐标带入方程，即可计算出该点的高程值。

距离加权法的数学模型为：

为了计算点(x,y)的高程Z，可取该点周围的n个点(I=1,…,n)，按上述公式计算。Zi为第I点的高程，Pi为第i点的权值，计算公式为：

其中u是一个大于0的正数，通常取1或2，是i点(xi,yi)到格网点(x,y)的距离，即：

在构建格网DEM的内插方法中，经常需要选取与插值点距离最近的若干个点。如图4-6-5左图，如果通过计算各离散点与待插值点的距离，然后选取距离最短的若干个点的方法来选取，尽管方法正确，但计算量大，影响插值的速度。因此，可以在插值点上建立一正方形的选取框，如图4-6-5右图，这样通过简单的坐标值比较就可找出落入框内的数据点。当落入框内的数据点较多时，可缩小框的尺寸；反之，增大框的尺寸。选取框尺寸的初始值可根据图幅中原始数据点的密度来确定。设图幅的面积为A，共有N个数据点，则每点的平均面积A0为：

A0＝A∕N

图4-6-5

若需要选取插值点附近的K个点，则选取框的面积应为：A1＝K·A0 。

A11/2就是该选取框的边长。在实际运算时，边长可再大一些，以尽量保证落入选取框中的数据点数大于或等于K，这样在缩小选取框时，只要对原框内数据点再判断即可。

四、不规则三角网(DEM)的建立

图4-6-6

所谓建立不规则三角网DEM，就是由离散数据点构建三角网，如图4-6-6，即确定哪三个数据点构成一个三角形，也称为自动联接三角网。即对于平面上n个离散点，其平面坐标为(xi，yi)i＝1，2，…，n，将其中相近的三点构成最佳三角形，使每个离散点都成为三角形的顶点。自动联接三角网的结果为所有三角形的三个顶点的标号，如：

1, 2， 8

2, 8， 3

3, 8， 7

┇

为了获得最佳三角形，在构三角网时，应尽可能使三角形的三内角均成锐角。其基本依据是三角形余弦定理(图4-6-7)：

cosC＝(a2＋b2－c2)／2ab

图4-6-7

在已知A、B点，即已知c边时，要选取另一个三角形顶点C时，若C角最大，则要扩展的三角形的顶点C离扩展边c的距离最短。这样可保证由相邻最近的三点构成三角形，并且保证不让某个离散点在组成三角网时被漏掉。在自动连接三角网的软件设计时，要设L和K两个变量，L记录已形成的三角形数，K记录已扩展的三角形数。为了记录结果可设三个数组t1[]、t2[]、t3[]，分别存放所构成的每个三角形的顶点编号。

构建三角网的第一步是形成第一个三角形。可选择离散点中最相近的两个点作为第一个三角形的两个顶点，并置L＝1，把这两点的编号记录在t1[L]和t2[L]中。三角形的第三个顶点可按余弦定理，分别检查各个离散点，取与t1[L]和t2[L]连线最近的点，并把编号记录到t3[L]中。

图4-6-8

第一个三角形形成后，置K＝1，并以该三角形的三边向外扩展三角形。所谓扩展三角形是指从三角形的每条边向外再形成三角形。

例如，如图4—45，对于t1[K]、t2[K]、t3[K]构成的三角形，需对每一边向外扩展形成新的三角形。当从t1[K]和t2[K]组成的边向外扩展时，显然位于t3[K]同侧的离散点应被排除在外。这可用直线判别正负区的原理来实现。直线方程的判别式为：

F(x,y)＝y－Ax－B

其中：A＝(y2－y1)／(x2－x1)
B＝(y1x2－y2x1)／(x2－x1) 2
F(x,y)＞0，点位于正区
F(x,y)＝0，点位于线上
F(x,y)＜0，点位于负区

把t3[K]的坐标代入判别式计算，记录下判别式的正负，则只有当离散点的判别式的值与t3[K]的判别式的值符号相反时，才有可能成为被扩展的点。

在这些可能被扩展的点中，找出对扩展边张角最大的点，就是要扩展的点。

为了避免重复与交叉，还要进行一次检查判断，即要判断新的三角形的三条边是否已被已形成的三角形用过两次。若有一条边被用过两次，则此次扩展无效；否则此次扩展有效，且L加1。

对三角形的第二条边和第三条边采用相同的方法扩展。三角形的三条边都扩展完后，令K加1，并继续扩展下一

应该是用MATLAB进行的三维拟合

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铜鼓县13181392650： 我做三维拟合但是不知道拟合后的公式应该是什么类型的,应该用什么编程啊 - ？
左丘劳去羟： 一般做三维(或二维)拟合问题,一般可以考虑用多项式方程去趋近于线性模型(或非线性模型),用matlab等数学软件的regress()回归分析函数;如果是已知模型的话,用matlab等数学软件的nlinfit()回归分析函数或 lsqcurvefit()最小二乘拟合函数.如需要帮助,可以问题贴出来分析.

铜鼓县13181392650： 知道同一个三维空间中某几点的坐标值,怎么能拟合得到这些点的数学关系式?或者需要用什么软件才能实现? - ？
左丘劳去羟： 拟合函数时,你得提供十组以上自变量与因变量对应的数值,通过描点法绘出散布图,列出你的拟合函数,然后运用Matlab软件,求出拟合系数,如拟合精度比较高的话,即相关系数R^2≈1.可以认为你的拟合函数是正确的.否则,还得重新确定拟合函数,直到满意为止.

铜鼓县13181392650： matlab三维图像拟合. 2011数模A题,求拟合方法 - ？
左丘劳去羟： 用matlab中的poly函数,你想用几次的拟合都行.这样吧,你把坐标发过来,我试试看

铜鼓县13181392650： 宇宙到底有多大?？
左丘劳去羟： 1.宇宙定义古代对宇宙的定义,《文子·自然》:“往古来今谓之宙,四方上下谓之宇.” 《尸子》:“上下四方曰宇,往古来今曰宙.” 《淮南子》:“往古来今谓之宙,四方上下谓之宇”.[9] 《庄子·庚桑楚》:“出无本,入无窍.有实...

铜鼓县13181392650： 用matlab咋三维坐标系内拟合椭球公式 - ？
左丘劳去羟： function my_fit()% 二维非线性拟合% 直接将该代码复制到 m文件运行就可以了% 请仔细看注释,注释写的很清楚 % step0:生成用于拟合的数据 %(以椭球为例,仅为测试,如果有现成数据,请替换此步中 x,y,z 值) a = 3; %% 方程:x^2/a...

铜鼓县13181392650： 给定一组数据,试用高斯拟合方法求得数据中的峰值的拟合函数? - ？
左丘劳去羟： 是“Gaussian” 吧(最流行的量化计算软件 ) 基本功能 Gaussian是做半经验计算和从头计算使用最广泛的量化软件,可用来预测气相和液相条件下,分子和化学反应的许多性质,包括:分子的能量和结构;过渡态的能量和结构;振动频率;...

铜鼓县13181392650： 求大侠提供一些3D放样中拟合工具的具体用法.放样总是不成功,十分痛苦,万分难受.？
左丘劳去羟： Loft Object(放样)是将一个二维形体对象作为沿某个路径的剖面,而形成复杂的三维对象.同一路径上可在不同的段给予不同的形体.我们可以利用放样来实现很多复杂模型的构建. 2.4.1 创建放样路径与截面 在制作放样物体前,首先要创建...

铜鼓县13181392650： 给定8个点用matlab求其形成三维图的体积 - ？
左丘劳去羟： 假设8个离散点是A=[x1,y1,z1;x2,y2,z2;........;x8,y8,z8]; x=A(:,1); y=A(:,2); z=A(:,3); N=100; %插值点数,自己确定,暂写100 x0=linspace(min(x),max(x),N); y0=linspace(min(y),max(y),N); [X,Y,Z]=griddata(x,y,z,x0',y0,'v4');%插值拟合曲面.当然,由...

铜鼓县13181392650： 已知一组三维散乱点,怎么用matlab拟合出曲面,并得到每个点的法线 - ？
左丘劳去羟： 嘿嘿,这是个数学问题,每点的法线的求取没那么麻烦,不求切平面,使用surfnorm可求取每一点法向在三维空间xyz三方向的分量,用这三个分量可以使用quiver3成图,也可直接使用surfnorm成图.在matlab的帮助文档中有很详细的例程,你查查吧.