1的平方加2的平方一直加到n的平方等于多少

1的平方加2的平方．．．．一直加到n的平方和是多少？有公式吗？~

1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
推导过程：
1、N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1 。
2、N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5。
3、设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6。
则当N＝x＋1时，
1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6
也满足公式
4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。
扩展资料：
平方和公式作用
平方和公式用于求连续自然数的平方和（Sum of squares），可用来求很多关于平方数的数学题，其和又可称之为四角锥数，或金字塔数（square pyramidal number）也就是正方形数的级数。此公式是冯哈伯公式(Faulhaber's formula)的一个特例。
数学归纳法解题过程
第一步：验证n取第一个自然数时成立。
第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。
第三步：总结表述。

1^2=1*2-1
2^2=2*3-2
.....
.....
n^2=n(n+1)-n
由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
所以1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[前后消项]
=[n(n+1)(n+2)]/3

所以1^2+2^2+3^2+......+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]

或者数学归纳法..或者
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

(1^2+2^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6
当n=100时(1^2+2^2+...+100^2)=100(100+1)(2*100+1)/6
=100*101*201/6
=50*101*67
=338350

1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。

证明过程：

根据立方差公式(a+1)³-a³=3a²+3a+1，则有：

a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1

a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1

a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1

a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1
.
·
·

a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1

等式两边相加：

（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+······+n²）+3（1+2+3+······+n）+（1+1+1+······+1）

3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）

3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n

6（1²+2²+3²+······+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]

=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)

所以1²+2²+······+n²=n（n+1)（2n+1）/6。

扩展资料：

立方差公式与立方和公式统称为立方公式，两者基本描述如下:

1、立方和公式，即两数立方和等于这两数的和与这两数平方和与这两数积的差的积。也可以说两数立方和等于这两数积与这两数差的不完全平方的积。

2、立方差公式，即两数立方差等于这两数差与这两数平方和与这两数积的和的积。也可以说，两数立方差等于两数差与这两数和的不完全平方的积 。

参考资料：百度百科_立方差公式

1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。
证明过程：
根据立方差公式(a+1)³-a³=3a²+3a+1，则有：
a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1.··
a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式两边相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+······+n²）+3（1+2+3+······+n）+（1+1+1+······+1）
3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+······+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)
所以1²+2²+······+n²=n（n+1)（2n+1）/6。
扩展资料：
立方差公式与立方和公式统称为立方公式，两者基本描述如下:
1、立方和公式，即两数立方和等于这两数的和与这两数平方和与这两数积的差的积。也可以说两数立方和等于这两数积与这两数差的不完全平方的积。
2、立方差公式，即两数立方差等于这两数差与这两数平方和与这两数积的和的积。也可以说，两数立方差等于两数差与这两数和的不完全平方的积 。

我来一个不同的：Sn=1²+2²+3²+……+n²
Sn是一个递增函数，对Sn求导=2·1+2·2+.....+2·n=n（n-1），是一个二次函数型，所以大胆猜测Sn是一个三次函数型，于是假设Sn=an³+bn²+cn+d，把S1=1，S2=5，S3=14，S4=30代入Sn得出四个方程式，求出Sn=1/3n³+1/2n²+1/6n，把S5代入验证是正确的！但毕竟是猜的，所以要证明，证明方法如下：
当n=1时此等式成立，n=2时也成立。
假设当n=k时（n>1）也成立，即
Sk=1/3k³+1/2k²+1/6k，只需证明n=k+1时也成立即可，又Sk+1-Sk=（k+1）²，是成立的所以原等式成立。

1²+2²+3²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6

证明如下：

（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）
a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1
.
a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式两边相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+.+n²）+3（1+2+3+.+n）+（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+.+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6.

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阿勒泰市18930166398： 1的平方加上2的平方一直加到n的平方怎么算啊,还有证明过程 - ？
乜菲生理：[答案] 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 . n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加

阿勒泰市18930166398： 一的平方加二的平方一直加到n的平方,等于, - ？
乜菲生理：[答案] 可用裂项求和法: 2^3-1^3=3*1^2+3*1+1 3^3-2^3=3*2^2+3*2+1 4^3-3^3=3*3^2+3*3+1 … … (n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 以上n个式子相加,得 (n+1)^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+…+n^2)+3*(1+2+3+…+n)+n =3S+3(n+1)n/2+n 整理得: S=1^2+2^2+3^2...

阿勒泰市18930166398： 1的平方加2的平方一直加到n的平方等于多少 - ？
乜菲生理：[答案] 1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6 可以用数学归纳法证明

阿勒泰市18930166398： 1的平方加2的平方一直加到N的平方 公式:N(N+1)(2N+1)/6是怎么推出来的? - ？
乜菲生理：[答案] 你知道1+2+3+4+……+n=n(n+1)/2吧,那就好办了你看!1³-0=3*1²-3*1+12³-1³=3*2²-3*1+13³-2³=3*3²-3*2+1……n³-(n-1)³=3n²-3n+1等式叠加得n³=3...

阿勒泰市18930166398： 1的平方加2的平方一直加到N的平方 公式:N(N+1)(2N+1)/6是怎么推出来的?求详细过程· - ？
乜菲生理：[答案] 你知道1+2+3+4+……+n=n(n+1)/2吧,那就好办了你看!1³-0=3*1²-3*1+12³-1³=3*2²-3*1+13³-2³=3*3²-3*2+1……n³-(n-1)³=3n²-3n+1等式叠加得n³=3...

阿勒泰市18930166398： 1平方加2平方一直加到n平方的结果是多少 - ？
乜菲生理：[答案] 加到n?的话,这数就是个黑洞了,求不出、.很高兴为您解答,还有疑问请继续追问,

阿勒泰市18930166398： 1的平方加2的平方加到n的平方 - ？
乜菲生理：[答案] 1²+2±……+n²=n(n+1)(2n+1)/6

阿勒泰市18930166398： 1平方加2平方一直加到n平方的结果是多少 - ？
乜菲生理： n(n+1)(2n+1)/6

阿勒泰市18930166398： 1的平方加2的平方一直加到n的平方等于多少? - ？
乜菲生理： 平方和公式n(n+1)(2n+1)/6 即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注:N^2=N的平方) 证明1+4+9+…+n^2=N(N+1)(2N+1)/6 证法一(归纳猜想法): 1、N=1时,1=1(1+1)(2*1+1)/6=1 2、N=2时,1+4=2(2+1)(2*2+1)/6=5 3、设N=x时,公式...

阿勒泰市18930166398： 通项为n的平方的数列求和推导过程是怎样的就是1的平方加2的平方.....加到N的平方.我是要推导过程..不是要最后结果 - ？
乜菲生理：[答案] 如果使用算术方法可以推导出来:我们知道 (k + 1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1 (1 + 1)^3 - 1^2 = 3*1^2 + 3*1 + 1 (2 + 1)^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1 (3 + 1)^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1 .(n + 1)^3 - n^3 = 3*n^2 + ...