已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半经为根号3的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直
因为在正三棱锥
ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分,(如图所示),此正方体内接于球,正方体的体对角线为球的直径,球心为正方体对角线的中点。
球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥
ABC在面ABC上的
高。已知球的半径为√3
,所以正方体的棱长为2,可求得正三棱锥
ABC在面ABC上的高为
(2√3)/3,所以球心到截面ABC的距离为
√3-(2√3)/3=√3/3
【点评】
本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想,该题灵活性较强,难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手,注意到条件中的垂直关系,把三棱锥转化为正方体来考虑就容易多了。
复制的,这是最标准的答案。2012年辽宁高考题的第16题。
本小题主要考查球的概念与性质.解题的突破口为解决好点P到截面ABC的距离.
由已知条件可知,以PA,PB,PC为棱可以补充成球的内接正方体,故而PA2+PB2+PC2=2, 由已知PA=PB=PC, 得到PA=PB=PC=2, 因为VP-ABC=VA-PBC⇒3(1)h·S△ABC=3(1)PA·S△PBC, 得到h=3(2),故而球心到截面ABC的距离为R-h=3(3).
设PA=a,由于是正三棱锥,那么PA=PB=PC,PA,PB,PC两两互相垂直,可知此三棱锥是一个边长为a的正方体的一角,
那么球心O到P的距离,也就是球半径为r=(根号3)/2
×a,可知a=2根号3
此三棱锥的体积是1/6a^3=4根号3
三角形ABC的为正三角形,边长为2根号6.,那么三角形ABC面积是12根号3
考虑三棱锥体积是4根号3
那么P到地面三角形ABC的距离是1
那么求新到假面ABC的距离就是3-1=2
在正三棱锥P-ABC中,AB=4,AP=8,过A点作与PB,PC分别交与点D,E,的截面...
先做图,以侧面为例,要想得到周长最小的截面,AD,AE必垂直于PC,PB。所以在三角形PAC和PAB中,设EC,DB为X,根据勾股定理得:8的平方-(8-X)的平方=4的平方-X的平方 解X=1 因为AC=AB=4 EC=DB=1 所以AE=AD=根号15 再在三角形PCB中,根据三角形定理,设DE为Y,得 PE\/PC=DE\/CB...
正三棱锥P—ABC的底面边长为a,D为侧棱PA上一点,且AD=2PD,若PA垂直平面...
设PA=PB=PC=b,PD=b\/3,AD=2b\/3,根据勾股定理,BD=2√2b\/3,AD^2+BD^2=AB^2,b=√3a\/2,PA=√3a\/2,BD=√6a\/3,在三角形BDC中作DE⊥BC,垂足E,很明显,BD=CD,DE=√15a\/6,S△BCD=BC*DE\/2=√15a^2\/12 AP⊥平面BCD,VP-ABC=VP-BCD+VA-BCD=S△BCD*PA\/3=√5a^3\/24,...
在正三棱锥P-ABC中,AB=4,PA=8,过A作与PB,PC分别交与D和E的截面,则截面...
如果将该三棱锥沿着PA剪开,然后展平,你会发现什么问题?A点分成了两个点M和N,而原先要求的△ADE的周长也变成了MD+DE+EN的长度了,那么这个题就变成了求从M点到N点的最小距离,显然就是MN直线的长度。展开后就是我画的这个样子,剩下的问题就是求出角MBC或者是NCB(两个相等)的度数了,...
在正三棱锥P-ABC中,E F分别是侧棱PB,BC中点 。且AE⊥EF,PA=根号2 求...
解:作AB中点D,连结PD、CD 因为PA=PB,AC=BC 所以AB⊥PD,AB⊥CD 则AB⊥平面PCD 由PC在平面PCD内得AB⊥PC 因为E F分别是侧棱PB,BC中点,所以EF\/\/PC 又AE⊥EF,所以AE⊥PC 因为AE和AB是平面PAB内的两条相交直线 所以PC⊥平面PAB 则PC⊥PB,PC⊥PA 这就是说正三棱锥P-ABC的每一个侧面都...
在正三棱锥P-ABC中,有一半球,其底面与正三棱锥的底面重合,
而三棱锥P-ABC的体积等于 (1\/3)×底面△ABC的面积×高PO,即 V=(1\/3)×[(1\/2)×AB×CD]×PO =(1\/3)×[(1\/2)×2√3y×3y]×x =√3y²x =√3x³\/(x²-1)对体积函数求导,得 V'=√3x²(x²-3)\/(x²-1)²令V'=0,解得唯一正...
正三棱锥P-ABC的四个顶点在同一球面上,已知AB=23,PA=4,则此球的表面积...
解答:解:设P-ABC的外接球球心为O,则O在高PH上,延长AH交BC于D点,则D为BC中点,连接OA,∵等边三角形ABC中,H为中心∴AH=23AD=23?32AB=33?23=2∴Rt△PAH中,PH=PA2-AH2=23设外接球半径OA=R,则OH=23-R在Rt△AOH中,根据勾股定理得:OH2+AH2=OA2,即(23-R)2+22=R2,解...
在正三棱锥P—ABC中,M,N分别是侧棱PB、PC上的点,若PM : MB = CN...
如图(1)易知角ADP即为所求角,设其为@ 设PA=3a AB=2x 因为 面PAD垂直于面PBC, 面AMN垂直于面PBC,所以其交线AE垂直于面PBC,AE垂直于PD P在面ABC上投影为O,则cos@=(sqrt3x\/3)\/PD=(sqrt3x\/3)\/sqrt(9a^2-x^2) (sqrt 为根号)DE=ADcos@=sqrt3 xcos@ (如图二)由相...
正三棱锥P-ABC的底面边长为AB=6cm,体积为v=18根号3cm立方求高po的chang...
正三棱锥 顶点P在底面的投影即O,O是正△ABC的中心(重心,垂心,内心,外心,此时四心合一)PO⊥面ABCD 体积为V=18√3 AB=6 正△ABC面积=1\/2*6*6*sin60°=9√3 V=1\/3*PO*正△ABC面积 PO=18√3*3\/9√3=6cm 如果您认可我的回答,请点击“采纳为满意答案”,谢谢!
已知正三棱锥P-ABC中,E、F分别是AC,PC的中点,若EF⊥BF,AB=2,则三棱 ...
解:∵E、F分别是AC,PC的中点,∴EF∥PA,∵P-ABC是正三棱锥,∴PA⊥BC(对棱垂直),∴EF⊥BC,又EF⊥BF,而BF∩BC=B,∴EF⊥平面PBC,∴PA⊥平面PBC,∴∠APB=∠APC=∠BPC=90°,以PA、PB、PC为从同一点P出发的正方体三条棱,将此三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球,正方...
正三棱锥p-abcd中,de为ab,bc中点
证明:(1)∵在正三棱锥P-ABC中,D,E分别是AB,BC的中点. ∴DE∥AC, ∵DE⊄平面PAC,AC⊂平面PAC, ∴DE∥平面PAC. (2)连结PD,CD, ∵正三棱锥P-ABC中,D是AB的中点, ∴PD⊥AB,CD⊥AB, ∵PD∩CD=D,∴AB⊥平面PDC, ∵PC⊂平面PDC,∴...
木茂茴香:[答案] 你为啥光提问, 看你的信息,提问了188个,
合江县18493843863: 已知正三棱锥P - ABC中,点P,A,B,C都在半径为3的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直,则三棱锥P - ABC的体 - ?
木茂茴香: ∵空间四个点P、A、B、C在同一球面上,PA、PB、PC两两垂直, 则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱, 所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为的正方体的外接球,球的直径即是正方体的对角线, 设PA=PB=PC=a, ∴ 3 a=2 3 ,∴a=2, 则三棱锥P-ABC的体积为 1 6 a3= 4 3 故选C.
合江县18493843863: 已知正三棱锥P - ABC,点P,A,B,C都在半径为3的球面上,若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距离为 - ?
木茂茴香: 已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为3的球面上,若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距离为 解析:设球心到底面距离为h 则正三棱锥的高为3+h,底面半径=√(3^2-h^2),底面边长=√[3(3^2-h^2)] ∵PA,PB,PC两两相互垂直 PA=√[2*3(3^2-h^2)]2*3(3^2-h^2)=9-h^2+(3+h)^2==>5(9-h^2)=(3+h)^2==>h^2+h-6=0==>h=2, h=-3(舍) ∴球心到底面距离为2
合江县18493843863: 已知正三棱锥P - ABC,点P,A,B,C都在半经为根号3的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直 - ?
木茂茴香: 解:本题关键是求三棱锥3条棱长,可将图形放到正方体,则正方体的外接球半径就是正三棱锥P-ABC外接球半径,设PA=PAB=PC=X 则:根号3X/2=根号3 所以X=2 所以AB=AC=BC=2根号2 发沪篡疚诂狡磋挟单锚球心到截面ABC的距离即为三棱锥高 过点P作底边高线,垂足为D(则D为△ABC的重心)并且 ,连接BD. 由重心与△ABC高的关系得出:BD=2/3H=2根号6/3 由勾股定理得出:PD^2=4-8/3 所以PD=2根号3/3 球心到截面ABC的距离为2根号3/3
合江县18493843863: 已知正三棱锥P—ABC,点P,A,B,C都在半径为根号3的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为 - ?
木茂茴香: 设PA=a,由于是正三棱锥,那么PA=PB=PC,PA,PB,PC两两互相垂直,可知此三棱锥是一个边长为a的正方体的一角,那么球心O到P的距离,也就是球半径为r=(根号3)/2 *a,可知a=2根号3 此三棱锥的体积是1/6a^3=4根号3 三角形ABC的为正三角形,边长为2根号6.,那么三角形ABC面积是12根号3 考虑三棱锥体积是4根号3 那么P到地面三角形ABC的距离是1 那么求新到假面ABC的距离就是3-1=2
合江县18493843863: 已知正三棱锥P - ABC,点P,A,B,C都在半径为根号3的球面上,若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距离为 - ?
木茂茴香: 用解析几何方法,如果P(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1) ABC的方程为x+y+z =1 P点到ABC的距离=1/根号(3)=根号(3)/3 O到P的距离=根号(3)
合江县18493843863: 已知正三棱锥P - ABC,点P,A,B,C都在半经为根号3的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直?
木茂茴香:本小题主要考查球的概念与性质.解题的突破口为解决好点P到截面ABC的距离.由已知条件可知,以PA,PB,PC为棱可以补充成球的内接正方体,故而PA2+PB2+PC2=2, 由已知PA=PB=PC, 得到PA=PB=PC=2, 因为VP-ABC=VA-PBC⇒3(1)h·S△ABC=3(1)PA·S△PBC, 得到h=3(2),故而球心到截面ABC的距离为R-h=3(3).
合江县18493843863: 如图,已知正三棱锥P - ABC的侧棱长为,底面边长为,Q是侧棱PA的中点,一条折线从A点出 - ?
木茂茴香: 如图为三棱锥侧面展开图,AQ为直线时距离最短!PQ=(√3+1)/2 AC=(√3+1) ∠APQ=3∠APB cos∠APB=(AP^2+BP^2-AB^2)/(2AP*BP)=(6+4√3)/(4*(2+√3))=(2-√3)(3+2√3)/2=√3/2, 角度为30° cos∠APQ=4cos^3α-3cosα =0 角度为90° AQ=√(AP^2+PQ^2-2AP*PQ*cos∠APQ)=2√3+2 图" class="ikqb_img_alink">
合江县18493843863: 已知正三棱锥P - ABC,点P,A,B,C都在半经为根号3的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直 则球心到截面ABC的距离为?
木茂茴香: 将三棱锥补成正方体,PA,PB,PC分别是三条棱,设长度为X,因为球的直径为正方体对角线长,所以x^2 (√2*x)^2=(2√3)^2,解的x=2,再利用等体积法,设p到面ABC的距离为h,则1/3*2*2*1/2*2=1/3*√3/4*(2√2)^2*h.解得h=2√3/3,所以所求距离为√3-h=√3/3
合江县18493843863: 在三棱锥P - ABC中,PA垂直平面ABC,BC垂直AB,点D在棱PC上,且CD=1╱3CP.(1)求证:点P、A、B、C在同...在三棱锥P - ABC中,PA垂直平面ABC,... - ?
木茂茴香:[答案] 因为PA垂直平面ABC,所以BC垂直PA;又因为BC垂直AB,所以BC垂直面APB,BC垂直BP;三角形CBP、PAC为直角三角形,取PC中点Q,连接阿AQ、BQ,可得AQ=BQ=CQ=PQ,故PABC在圆心为Q的球面上.