求出微分方程(2y-x^2)dx=xdy的通解等题目

常微分求下列方程的解(y-x^2)dx-xdy=0和(x+2y)dx+xdy=0~

解微分方程(xy²+y)dx-xdy=0
先求积分因子：P=xy²+y,Q=-x；∂P/∂y=2xy+1；∂Q/∂x=-1；
G(y)=(1/P)(∂P/∂y-∂Q/∂x)={1/[y(xy+1)]}(2xy+2)=2/y；
故得积分因子μ(y)=e^∫(-2/y)dy=1/e^(2lny)=1/e^(lny²)=1/y²；
把原方程的两边乘上这个积分因子,得一全微分方程：
(x+1/y)dx-(x/y²)dy=0,即有d(x²/2+x/y)=0
故得原方程的通解为：x²/2+x/y=C.

xdy+(x-2y)dx=0
xdy*1/dx+(x-2y)dx/dx=0
x*y'+(x-2y)=0
y'-y*2/x=-1
y=e^∫(2/x)dx[∫e^–∫2/x dx +c]
y=x^2[1/x+C ]
来源及发展
微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y'=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。
牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。

∵（2y－x^2）dx＝xdy，
∴2xydx－x^2dy＝x^3dx，
∴yd（x^2）－x^2dy＝x^3dx，
∴－［x^2dy－yd（x^2）］/x^4＝（1/x）dx，
∴－d（y/x^2）＝d（lnx），
∴－y/x^2＝C＋lnx，
∴－y＝Cx^2＋x^2lnx，
∴y＝Cx^2－x^2lnx。
∴原微分方程的通解是：y＝Cx^2－x^2lnx。

如图

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江北区13611823227： 3.求下列齐次微方程的通解(x^2+2y^2)dx - x^2dy=0 - ？
边放和畅： (x^2+2y^2)dx-x^2dy=0, 则 dy/dx=(2y^2+x^2)/x^2=2(y/x)^2+1, 是齐次微分方程. 令 y/x=p, 则 y=xp, dy/dx=p+xdp/dx, 原方程化为 p+xdp/dx=2P^2+1, dp/(2p^2-p+1)=dx/x, (1/2)d(p-1/4)/[(p-1/4)^2+7/16]=dx/x, (1/2)(4/√7)arctan[4(p-1/4)/√7]=lnx+lnC, Cx=e^{(2/√7)arctan[(4p-1)/√7]}, 通解为 Cx=e^{(2/√7)arctan[(4y/x-1)/√7]}.

江北区13611823227： 求微分方程x^2ydx=(1 - y^2+x^2 - x^2y^2)dy的通解 - ？
边放和畅： x^2ydx=(1+x^2)(1-y^2)dy(1-y^2)/y*dy=x^2/(1+x^2)*dx(1/y-y)dy=(1-1/(1+x^2))dx ln|y|-y^2/2=x-arctanx+C

江北区13611823227： (2x - y^2)y'=2y的通解 - ？
边放和畅： 求微分方程(2x-y²)y'=2y的通解 解:由原式得:(2x-y²)dy=2ydx,即有2ydx+(y²-2x)dy=0............(1) P=2y,Q=y²-2x;∂P/∂y=2;∂Q/∂x=-2;∂P/∂y≠∂Q/∂x,故不是全微分方程.下面找一个积分因子μ(x,y),使其变为全微分方程.由...

江北区13611823227： 求微分方程x^2y''+2xy' - 2y=0的通解 - ？
边放和畅： 这种方程称为欧拉方程,有固定的解法:x=e^t,t=lnx xy'=y'(t) x^2y''=y''(t)-y'(t),代入:y''(t)-y'(t)+2y'(t)-2y(t)=0 y''(t)+y'(t)-2y(t)=0 特征根为:1,-2 通解为:y=C1e^t+C2e^(-2t) 即:y=C1x+C2/x^2

江北区13611823227： 微分方程2yy' - xy^2=xe^x满足初始条件y(0)=1的特解 - ？
边放和畅： 令z=y^2 dz/dx=2y(dy/dx)=2yy' 所以原方程变为 z'-xz=xe^x z(0)=y(0)^2=1 然后利用积分因子 e^(∫-xdx)=e^(-x^2/2) 两边同乘,左边是一全微分(ze^(-x^2/2))'=xe^(x-x^2/2) 两边积分 ze^(-x^2/2)=∫<0,x> te^(t-t^2/2) dt +C z=e^(x^2/2)[∫<0,x> te^(t-t^2/2) dt +C] 代入x=0,z=11=C 所以 z=e^(x^2/2)[∫<0,x> te^(t-t^2/2) dt +1] y=e^(x^2/4)[∫<0,x> te^(t-t^2/2) dt +1]^(1/2)

江北区13611823227： dx/(x^2 - xy+y^2)=dy/(2y^2 - xy)的微分方程 - ？
边放和畅： 结果当然可以写成:|(y-2x)^3=C(y-x)^2,C为待定常数,解曲线为 下面是具体求解过程:

江北区13611823227： 求微分方程(x - 2y)y'=2x - y的通解 - ？
边放和畅： ∵(x-2y)y′=2x-y,∴(x-2y)dy=(2x-y)dx,∴xdy+ydx=2xdx+2ydy,∴d(xy)=d(x^2+y^2),∴xy=x^2+y^2+C.∴原微分方程的通解是:xy=x^2+y^2+C.

江北区13611823227： 求微分方程的特解 y' - 2y/(1 - x^2)=x+1 x=0,y=0 要过程.....？
边放和畅： 积分因子为exp(∫-2/(1-x^2 ) dx)=(x-1)/(x+1) 微分方程两边同时乘(x-1)/(x+1),得(x-1)/(x+1)*y'+2*y/(x+1)^2=x-1 即((x-1)/(x+1)*y)'=x-1 两边积分并结合初始条件得(x-1)/(x+1)*y=1/2*x^2-x 则 y=1/2*x*(x-2)*(x+1)/(x-1)

江北区13611823227： 求微分方程2y'^2=y''(y - 1),y(x=1)=2,y'(x=1)= - 1的特解.用微分方程降 - ？
边放和畅： 2y'^2=y''(y-1),dy/dx=u y''=du/dx=du/dy*dy/dx=udu/dy 2u^2=udu/dy *(y-1) 2u=du/dy (y-1) 2/(y-1)dy=du/u 两笾积分: 2ln(y-1)=lnu+c (y-1)^2=uC=y'C 代入y=2 y'=-1 1^2=-C C=-1 (y-1)^2=-y' -dy/(y-1)^2=dx 积分: 1/(y-1)=x+C1 代入x=1 y=2 1/1=1+C1 c1=0 x=1/(y-1) y-1=1/x y=1/x+1

江北区13611823227： 求微分方程的解 y*dx+(x^2 - 2x)dy=0 - ？
边放和畅： y*dx+(x^2-2x)dy=01/ydy=1/(2x-x²)dx 积分,得 ∫1/ydy=∫1/[1-(x-1)²]dx ln|y|=-∫1/[(x-1)²-1]d(x-1) ln|y|=1/2ln|(x-2)/x|+ln|c| y=c√[(x-2)/x]