高等数学，已知y1,y2是一阶非齐次线性微分方程的特解，py1+qy2是与其对应的一阶齐次线性微分

设y1,y2是二阶非齐次线性微分方程的两个特解。证明:y1与y2之比不可能是常数~

证：反证法！
要证y1，y2之比不为常数，即证明y1，y2线性无关！
假设y1，y2线性相关，设y2＝ky1，
因为y1，y2是二阶非齐次线性方程的特解，故它们都不是常数0，且因为y1≠y2，所以k≠0，1.
这样，一方面有
y1''＋py2'＋qy2＝f(x)，
另一方面又有
y2''＋py2'＋qy2＝ky1''＋pky1＝k(y1''＋py1'＋qy1)＝kf(x).
于是有f(x)＝kf(x)(k≠0，1)，即f(x)≡0，
这与非齐次方程相矛盾，所以假设错误！
因此，
y1，y2线性无关，即y1，y2之比不可能为常数！

令P=y'，则P'=y"，原方程转化为P'+2/xP=1/x，这样就可利用一阶线性非齐次微分方程的求解公式进行求解了。

p+q=0齐次，p-2q=1非齐次。所以q=—1/3，p=1/3。

这是一类具有非齐次项的线性微分方程，其中一阶非齐次线性微分方程的表达式为y'+p(x)y=Q(x)；二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)。研究非齐次线性微分方程其实就是研究其解的问题，它的通解是由其对应的齐次方程的通解加上其一个特解组成。

学数学的小窍门

1、学数学要善于思考，自己想出来的答案远比别人讲出来的答案印象深刻。

2、课前要做好预习，这样上数学课时才能把不会的知识点更好的消化吸收掉。

3、数学公式一定要记熟，并且还要会推导，能举一反三。

4、学好数学最基础的就是把课本知识点及课后习题都掌握好。

5、数学80%的分数来源于基础知识，20%的分数属于难点，所以考120分并不难。

6、数学需要沉下心去做，浮躁的人很难学好数学，踏踏实实做题才是硬道理。

p+q=0齐次，p-2q=1非齐次。所以q=—1/3，p=1/3。

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清远市13114932909： 高等数学,已知y1,y2是一阶非齐次线性微分方程的特解,py1+qy2是与其对应的一阶齐次线性微分 - ？
无溥天晴： p+q=0齐次,p-2q=1非齐次.所以q=—1/3,p=1/3.

清远市13114932909： 设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程的特解,ay1+by2是不是一阶非齐次方程的解? - ？
无溥天晴： 不是,如图,

清远市13114932909： 设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y′+p(x)y=q(x)的两个特解,若常数λ,μ使λy1+μy2是该方程的解,λy1 - μy2是该方程对应的齐次方程的解,则() - ？
无溥天晴：[选项] A. λ= 1 2,μ= 1 2 B. λ=− 1 2,μ=− 1 2 C. λ= 2 3,μ= 1 3 D. λ= 2 3,μ= 2 3

清远市13114932909： 设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=Q(x)的两个特解,若常数λ,μ使λy1+μy2是该方程的解,λy1 - μy2是该方程对应的齐次方程的解,求常数λ,μ - ？
无溥天晴：[答案] y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=Q(x)的两个特解, 所以, y1'+p(x)y1=Q(x) y2'+p(x)y2=Q(x) λ,μ使λy1+μy2是该方程的解, 所以, (λy1+μy2)'+p(x)(λy1+μy2) =λ[y1'+p(x)y1]+μ[y1'+p(x)y1] =λQ(x)+μQ(x) =Q(x) ∴ λ+μ=1 λy1-μy2是该方程对应...

清远市13114932909： 设已知一阶非齐次微分方程的两个不同的解y1和y2,求该方程的通解. 不胜感激 - ？
无溥天晴：[答案] y1-y2是相应齐次方程的解,齐次方程通解就是k(y1-y2) 所以非齐次方程通解就是y2+k(y1-y2)=ky1+(1-k)y2

清远市13114932909： 设一阶线性非齐次微分方程y'+P(x)y=Q(x)有两个线性无关的解y1,y2,若αy1+βy2也是该方程的解,求α+β - ？
无溥天晴： 一阶线性非齐次微分方程y'+P(x)y=Q(x)有两个线性无关的解y1,y2, 所以αy1,βy2分别是αy1'+αP(x)y1=αQ(x),βy2'+βP(x)y2=βQ(x)的解. 而αy1+βy2也是方程y'+P(x)y=Q(x)的解,代入得 (αy1+βy2)'+P(x)(αy1+βy2)=Q(x),展开得 [αy1'+αP(x)y1]+[βy2'+βP(x)y2]=αQ(x)+βQ(x)=(α+β)Q(x)=Q(x) 故α+β=1.

清远市13114932909： 知道一阶非齐次微分齐次方程的解,怎么求 - ？
无溥天晴： 一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和 y1'+P(x)·y1=Q(x) y2'+P(x)·y2=Q(x) 两式相减,得到 y1-y2是y'+P(x)·y=0的解 所以,C(y1-y2)是y'+P(x)·y=0的通解 ……

清远市13114932909： y1, y2是非齐次方程的解吗? - ？
无溥天晴： 非齐次线性微分方程即y'+f(x)y=g(x)两个特解y1,y2即y1'+f(x)y1=g(x),y2'+f(x)y2=g(x)二者相减得到(y1-y2)'+f(x)*(y1-y2)=0所以y1-y2当然是齐次方程y'+f(x)*y=0的解...

清远市13114932909： 一阶线性微分方程中的P(x)可否为常数,另外y' - y=x是否为一阶方程? - ？
无溥天晴： 可以,y'-y=x是为一阶方程因为 方程阶数是导数的最高阶数

清远市13114932909： 求教 已知 y=1 ,y=x ,y=x^2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解 则该方程的通解为 - ？
无溥天晴： 首先这三个解都是非齐次方程的特解,其次因为它们是线性无关的,所以任意两个解之差是对应齐次方程的解.写通解的时候可以以其中任意一个为非齐次的特解,然后任意两个解之差作为对应齐次方程的通解.比如C1(1-x^2)+C2(x-x^2)+x^2或者C1(x^2-x)+C2(x^2-1)+x类似可以写出很多.这道题在同济高等数学上是一个习题,答案只给出了其中一种形式而以.