一元二次方程怎么解

~ 一元二次方程的解法

一、知识要点：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基
础，应引起同学们的重视。

一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0,
(a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2
的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解
法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

二、方法、例题精讲：

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n
(n≥0)的
方程，其解为x=m±
.

例1．解方程（1）(3x+1)2=7
（2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以
此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解：
9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0
(a≠0)

先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

将二次项系数化为1：x2+x=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+(
)2=-
+(
)2

方程左边成为一个完全平方式：(x+
)2=

当b2-4ac≥0时，x+
=±

∴x=(这就是求根公式)

例2．用配方法解方程
3x2-4x-2=0

解：将常数项移到方程右边
3x2-4x=2

将二次项系数化为1：x2-x=

方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+(
)2=
+(
)2

配方：(x-)2=

直接开平方得：x-=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=
.

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项
系数a,
b,
c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程
2x2-8x=-5

解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0

∴a=2,
b=-8,
c=5

b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x=
=
=

∴原方程的解为x1=,x2=
.

4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

(1)
(x+3)(x-6)=-8
(2)
2x2+3x=0

(3)
6x2+5x-50=0
(选学）
(4)x2-2(
+
)x+4=0
（选学）

(1)解：(x+3)(x-6)=-8
化简整理得

x2-3x-10=0
(方程左边为二次三项式，右边为零)

(x-5)(x+2)=0
(方程左边分解因式)

∴x-5=0或x+2=0
(转化成两个一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解：2x2+3x=0

x(2x+3)=0
(用提公因式法将方程左边分解因式)

∴x=0或2x+3=0
(转化成两个一元一次方程)

∴x1=0，x2=-是原方程的解。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

(3)解：6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0
(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=,
x2=-
是原方程的解。

(4)解：x2-2(+
)x+4
=0
（∵4
可分解为2
·2
，∴此题可用因式分解法）

(x-2)(x-2
)=0

∴x1=2
,x2=2是原方程的解。

小结：

一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般
形式，同时应使二次项系数化为正数。

直接开平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式
法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程
是否有解。

配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。

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张家川回族自治县18557375490： 一元二次方程怎么解的谢谢 - ？
戈庞黄藤： 一般解法 1.配方法 (可解全部一元二次方程) 如:解方程:x^2+2x-3=0 解:把常数项移项得:x^2+2x=3 等式两边同时加1(构成完全平方式)得:x^2+2x+1=4 因式分解得:(x+1)^2=4 解得:x1=-3,x2=1 用配方法解一元二次方程小口...

张家川回族自治县18557375490： 一元二次方程解法,举几个例子要过程 - ？
戈庞黄藤：[答案] 一元二次方程有四种解法: 1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法. 1、直接开平方法: 例.解方程(3x+1)^2;=7 (3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3x+1=±√7(注意不要丢解符号) ∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3 2.配方法: 例.用配方法解方程 ...

张家川回族自治县18557375490： 求解一元二次方程有4种解法例题每种方法5个例题(解一元二次方程:简单的,详细过程) - ？
戈庞黄藤：[答案] 一元二次方程的解法有如下几种: 第一种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次项系数为1的和二次项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,平方差公式,).(3)提取公因式 例...

张家川回族自治县18557375490： 数学一元二次方程怎么解? 最好说详细点 - ？
戈庞黄藤： 1、直接开平方法2、配方法3、因式分解法4、求根公式法直接开平方时,要注意正负号.配方时,两边都要加上1次项系数一半 的平方.因式分解时,要注意使右边的数为0.求根公式法,要注意分母为2a,而分子为-b +\- 根号b^2-4ac . 先算b^2-4ac结果要大于等于0,才有实数根.给偶分具体过程 还要自己学习...

张家川回族自治县18557375490： 怎样求1元2次方程的解!最好通俗点! - ？
戈庞黄藤：[答案] .分析:依题意得:a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 3.分析:依题意:有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时, ax2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1 时,方程成立,则必有根为x=1. 4.分析:一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零, 则ax2+...

张家川回族自治县18557375490： 解一元二次方程的3种方法是什么? - ？
戈庞黄藤：[答案] 一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0,(a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的整式方程. 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解 法:1、直接开平方法;2、配方法;...

张家川回族自治县18557375490： 一元二次方程怎么解?要简便的方法,适合于中考. - ？
戈庞黄藤： 1.一元二次方程的定义 一元二次方程有三个特点:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为(a≠0)的形式,则这...

张家川回族自治县18557375490： 怎样解一元二次方程组 - ？
戈庞黄藤： 一元二次方程的一般式为aX^2+bX+c=0(a≠0),解一元二次方程的原则是先“降次”,将原方程转化为一元一次方程,再解一元一次方程即可.解一元二次方程的一般方法有四种:直接开平方法,因式分解法;配方法;公式法. 1.直接开平方...

张家川回族自治县18557375490： 怎样解一元2次方程~这个好难谁能通俗一点的把1元2次方程讲给我,我在自学,没学太懂.不需要太标准的官方语言,通俗易懂最好 - ？
戈庞黄藤：[答案] 一元二次方程是指:含有一个未知数,且未知数的次数是2的方程式 解可用公式:书上有吧,这里不太好打. 解出的答案往往有二个(即二个解).当然不一定要二个解 最后把答案代入方程进入验算,正确的才是真正的解

张家川回族自治县18557375490： 一元二次方程怎么解 - ？
戈庞黄藤： 楼主你好! 一般解法 1.配方法 (可解全部一元二次方程) 如:解方程:x^2+2x-3=0 解:把常数项移项得:x^2+2x=3 等式两边同时加1(构成完全平方式)得:x^2+2x+1=4 因式分解得:(x+1)^2=4 解得:x1=-3,x2=1 用配方法解一元二...