e^(iwt)从负无穷到正无穷的积分是什么呢?i是虚数单位。
e^(iwt)=i*sin(wt)
积分为cos(wt)*i/w,没有定积分结果
t=0,积分为i/w;t=无穷大,coswt没有取值
虚数单位i是-1的平方根,如果实数对应平面上的x轴,纯虚数对应平面上的y轴,那么任意一个虚数可以用平面上一个点表示.
是不是一切实数都可以用i来表示且在计算是有意义?
这个问题可以用一元三次方程来解答.我们知道,一元三次方程要么有1个实数根,和2个复数根,要么有3个实数根(可能有重根),我们看一元三次方程的求根公式,特别是有3个实根的情况,其中的表达式都包含虚数单位,而运算结果是一个实数,这个可以看出虚数单位有着非常重要的地位,实际上任何一个实数,可以通过构造三次方程,然后用求根公式即可得到一个虚数的表示,所以说一切实数可以用i的运算来表示.
在历史上,最有名的实数与虚数的关系是e^(iπ) = -1,他将两个重要e和π与实数1和虚数单位i联系在了一起.
根据欧拉公式,可以将e^(iwt)表示成cos(wt) + i*sin(wt)的形式。因此我们需要求解以下两个广义积分:
∫ cos(wt) dt (-∞到∞)
∫ sin(wt) dt (-∞到∞)
通过计算,可以得到:
∫ cos(wt) dt (-∞到∞) = 0
∫ sin(wt) dt (-∞到∞) = π,如果w>0;
∫ sin(wt) dt (-∞到∞) = -π,如果w<0。
综合起来,e^(iwt)从负无穷到正无穷的积分是:
当w>0时,积分为π。
当w<0时,积分为-π。
因此,e^(iwt)从负无穷到正无穷的积分并没有一个确定的值,它的值取决于参数w的正负。
积分 ∫e^(iwt) dt 从负无穷到正无穷可以通过复变函数理论进行计算。
我们知道,e^(iwt) 是复平面上的一个周期函数,周期为 2π/w。积分范围从负无穷到正无穷相当于在一个周期上进行积分。
根据复变函数的留数定理,对于一个周期函数的积分,只有在原点处的留数对积分结果有贡献。
对于函数 e^(iwt),它在原点处有一个极点,即 w = 0。留数的计算可以通过考虑函数在该点的洛朗级数展开来进行。
由于 e^(iwt) 是一个解析函数,它的洛朗级数展开只有常数项,即 e^(iwt) = 1 + O(t)。
因此,在原点处的留数为 1。
根据留数定理,积分 ∫e^(iwt) dt 从负无穷到正无穷的结果等于 2πi 乘以原点处的留数,即 2πi * 1 = 2πi。
所以,积分 ∫e^(iwt) dt 从负无穷到正无穷的结果是 2πi。
需要注意的是,这个结果是在复数域中得出的,表示一个复数。
t是自变量的话 2πδ(w) 同学学的是信号吧
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