数学导函数求最大最小值

用导数是怎么来求最大最小值的？依据是什么？~

先令导函数等于零得出x的值（这是求驻点），驻点可以把函数的某个区间划分为几部分，然后你在判断导函数在这几个区间的符号，于是可以把函数的极值求出来（这个具体步骤我不详细说明了，一般书上都有，你仔细看一下书），得出的极值再与已知区间两个端点所对应的函数值进行比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值。 依据导数的几何意义。你最好结合图像来理解导数的几何意义。

本题根据x^2+1≥2x来求解。因为x>0,x^2+1>1,0<2x/(x^2+1)≤1.只有最大值1，没有最小值。
这根本不是极限问题，直接利用不等式的性质来解。不存在最小值，极限等于0而已。

导数的应用之一：函数问题
（3课时）
导数与微分是在极限的基础上发展起来的研究变量的一个数学分支，是解决实际问题的重要的数学工具。如求曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的最值以及不等式的证明等问题，均可以导数作为研究的工具，根据导数的意义进行求解和证明。关于导数的应用，我们将分两个讲座研究，分别是函数问题和切线与速度的问题。
一、利用导数研究函数的单调性
若函数 在某个区间内可导，则当 时， 在此区间上为单调增函数；而当 时， 在此区间上为单调减函数。利用上述性质，可以研究函数的单调性。
注意点：
（1）同一函数的两个单调区间不能并起来
（2）求函数的单调区间，求导的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法，但它是一种一般性的方法。
二、利用导数求函数的最值
求闭区间 上的可导函数的最大（小）值的方法是：首先求出此函数在开区间 内的驻点，然后计算函数在驻点与端点处的值，并将它们进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值，这里无须对各驻点讨论其是否为极大（小）值点。
如果函数不在闭区间 上可导，那么求函数的最大（小）值时，不仅要比较此函数在各驻点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值。
一般地，求在闭区间 上连续，在开区间 内可导的函数 在闭区间 上最值的步骤为：
⑴求 在区间 内的根，即导数为0的点（不必确定它是极大值点还是极小值点），求出这些导数为0的点的函数值；
⑵求 在闭区间 两端点处的函数值，即 与 ；
⑶将导数为0的函数值与两端点处的函数值进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值。
一、范例分析
例1．设函数 内为奇函数且可导，证明：
内的偶函数.
证明：对任意
由于 为奇函数， ，
于是 ，
因此 即 内的偶函数。

例2．已知函数 处取得极值，并且它
的图象与直线 在点（1，0）处相切，求a、b、c的值.
解：由曲线 过（1，0）得 ① 又 +b
则 ②
③
解①②③得 .

例3．已知 有极大值 和极小值 .
（1）求 + 的值；
（2）设曲线 的极值点为A、B，求证：线段AB的中点在 上.
解：（1） ，由于 有极大值和极小值， 、 的两根，
则

（2）设
知AB的中点在
上。

例4．设函数 的驻点是0和4.
（1）求常数k的值；
（2）确定函数 的单调区间；
（3）求 的极值。
解：（1） ，由于驻点是0和4，∴0和4是方程 的两根，
可求得
（2）由（1）可知 ，∴当 为增函
数， 为减函数； （3）由（2）可判断极大值为 极小值为

例5．求证： 。
证明：（1）当 时， =1， =1，命题成立；
（2）当 >0时，令 ，则 >0
在（0， ）上为增函数
>0， > 即 >0
> ；
（3）当 <0时，令 ，则 <0
在（ ）上为减函数
<0， > 即 >0
>
综合以上情况， 。

例6．已知函数 问是否存在实数a、b使f(x)在[－1，2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a、b的值.并指出函数的单调区间 . 若不存在，请说明理由 .
解： （舍）
（1）a>0时，如下表
x (－1,0) 0 （0，2）

+ 0 —

最大值3

∴当x=0时， 取得最大值， ∴b=3；
（2）a<0时，如下表
x (－1,0) 0 （0，2）

— 0 +

最小值－29

∴当x=0时， 取得最小值， ∴b=－29（9分） 又f(2)=－16a－29, f(－1)=－7a－29<f(2)
∴当x=2时, 取得最大值，∴－16a－29=3， a=－2，
综上：a=2, b=3 或a=－2, b=－29。

例7．(2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷、辽宁卷理19）)
设 ，求函数 的单调区间.
分析：本例主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。
解： .
当 时 .

（i）当 时，对所有 ，有 .
即 ，此时 在 内单调递增.
（ii）当 时，对 ，有 ，
即 ，此时 在（0，1）内单调递增，又知函数 在x=1处连续，因此，
函数 在（0，+ ）内单调递增
（iii）当 时，令 ，即 .
解得 .
因此，函数 在区间 内单调递增，在区间
内也单调递增.
令 ，
解得 .
因此，函数 在区间 内单调递减.
例8．⑴ 设 ≤1，求一个正常数a，使得x≤ .
⑵ 设 ≤1， ，求证： ≤ .
解：⑴ x≤ 可化为 ≥0，令 = ，
，由 得，
=3a-2≥0， =-3a+4≥0，∴ ≤ ≤ ， ①
∴ ∈[-1，1]， ≥0，即 ≥ ②
由①、②得， .
从而当 ≤1时， = ≥0，即x≤ .
⑵ 由⑴知，对 ≤1，有 ≤ ，（i=1，2，…，n）
将这n个式子求和，得 ≤ .

例9．从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边为x的正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方形铁盒，要求长方体的高度与底面边的比值不超过常数t（t>0）。试问当x取何值时，容量V有最大值。

解： =
函数V（ ）= 的定义域为
令 =0 得
(1)当 ，即 时， 时， ＞0 ．V（ ）为增函数；
时， ＜0 ．V（ ）为减函数； V（ ）在 上有极大值V（ ），
为唯一驻点， 当 时， 有最大值 。
（2）当 ，即 时， 时， ＞0 恒成立； V（ ）为增函数； 当 时， 有最大值 。

例10．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K(K>0)，贷款的利率为4.8％，又银行吸收的存款能全部放贷出去.(1)若存款的利率为x,x (0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益?
解：（1）由题意，存款量g(x)=Kx2,银行应支付的利息
h(x)=x•g(x)= Kx3
（2）设银行可获收益为y,则
y=0.048•Kx2–Kx3
y’=K•0.096x–3 Kx2 令y’ =0 即K×0.096x–3 Kx2=0
解得x=0 或x=0.032
又当x (0,0.032)时，y’>0, x (0.032,0.048)时, y’<0
y在(0,0.032)内单调递增，在(0.032,0.048) 单调递减
故当x=0.032时，y在(0,0.048)内取得极大值，亦即最大值
答：存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益

二、专题训练
1．下列函数中，在x=0处的导数不等于零的是 （ A ）
A． B．
C．y=ln（1－x2） D．
2.关于函数 ，下列说法正确的是（ B ）
（A） 当 -2时， 有极大值1 （B） 当 0时， 有极小值-63
（C） 当 2时， 有极大值1 （D） 函数的最大值为1
3.设y=8x2-lnx，则此函数在区间(0,1/4)和(1/2,1)内分别为（ ）C
A．单调递增，单调递减 B、单调递增，单调递增
C、单调递减，单调递增 D、单调递减，单调递减
4．函数 的极大值点是 （ D ）
A．x=2 B．x=1 C．x=－1 D．x=－2
5．函数 在 （ D ）
A．（－∞，+∞）内是增函数
B．（－∞，+∞）内是减函数
C．（－1，1）内是增函数，在其余区间内是减函数
D．（－1，1）内是减函数，在其余区间内是增函数
6．已知 ，且f′(x)展成关于x的多项式，其中 的系数为60，则n=（B）
A．7 B．6 C．5 D．4
7．已知函数 在（－∞，+∞）上是增函数，则m的取值范围是 （ C ）
A．m＜－4或m＞－2 B．－4＜m＜－2
C．2＜m＜4 D．m＜2或m＞4
8．已知函数 有极大值和极小值，则a的取值范围是（ C ）
A． B． C． D．
9．函数 的值域为 （ B ）
A．[－4，4] B．[－3，3] C． D．（－3，3）
10．若函数 当 、x=-1时有极值，则（A）
A．a=-18，b=-3 B．a=-18，b=3
C．a=18，b=-3 D．a=18，b=3
11．若不等式 对任何x∈ R都成立，则实数k的最小值为（D）
A．-4 B． C．2 D．3
12．已知函数 在（－∞，+∞）上是增函数，则m的取值范围是 （ C ）
A．m＜－4或m＞－2 B．－4＜m＜－2
C．2＜m＜4 D．m＜2或m＞4
13．函数y=x+2cosx在区间[0， ]上的最大值是 （ ）
14．设函数 的递减区间为 ，则a的取值范围是 （ ）
15．函数 上的最小值是 . （ ）
16．已知函数 在R上可导，则a= ，b= .
（a=2，b=2）
17. 已知函数f(x)=x2(x－1)，若 =x0，求x0的值.
解：f(x)=x3－x2， =3x2－2x， 令3x －2x0=x0知x0=0或1.

18．已知f(x)是R上的可导函数.
（1）f(－x)在x=a处的导数值与f(x)在x=－a处的导数值有什么关系？
（2）若f(x)为偶函数， 的奇偶性如何？
解：（1）互为相反数.
（2）f(－x)在x=－a处的导数值为：
= =－ =－ .
是奇函数,这是因为f(x)为偶函数,故可进而写为：
=－ =－ .

19．设x=-2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点。
（1） 求常数a、b的值;
（2） 判断函数在x=-2，x=4处的值是函数的极大值还是极小值，并说明理由。
答案：a=13 b=-24 f(-2)为极大值 f(4)极小值。

20．（本大题满分12分）
做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积价格为b元，问锅炉的直每径与高的比为多少时，造价最低？
答案：b/a。

21．设函数f(x)= (a∈R)，为使f(x)在区间（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围。
答案：a≤-1/2。

22．已知椭圆 + =1，(a>b>0)的长轴为AB，以AB为底边作椭圆的内接等腰梯形ABCD，求此等腰梯形面积的最大值。
答案： 。

23．用总长44.8m的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰长比底边长的一半长1m，那么底面的底边，腰及容器的高为多少时容器的容积最大？（参考数据2.662=7.0756，3.342=11.1556）
解：设容器底面等腰三角形的底边长为2xm，则腰长为 （1分）高为
（2分）设容器的容积为Vm3，底面等腰三角形底边
上的高

令
当 有最大值.
这时容器的底面等腰三角形的底边长为6m，腰长为4m，容器的高为5.6m。

主要关注导函数为0的点，以及不可导点的取值

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奈曼旗13028859103： 关于用导数求最大值和最小值 - ？
正裘美克： 没有 只能用这种方法了 极值点和边界点必须得这样比较的 而且这种方法比较准确的

奈曼旗13028859103： 导数是什么?如何对一个数求导.最好讲简单点.那要怎么用求导来求最大最小值啊. - ？
正裘美克：[答案] 导数就是函数图象的切线斜率的变化率,也是一个函数.某点的导数就是函数图象在某点的切线斜率,是个具体的数值. 求导数使用很少的一点公式就能求出. 导数的物理意义很丰富. 能懂吗?这已是最简单的了.

奈曼旗13028859103： 用导数怎么求最值 - ？
正裘美克： 最重要:求定义域 1对式子求导 2令求导的式子为0 3列表看函数的单调性判断最大最小值 一般最值在求导的式子为0的地方取 很多情况要看变量是否在定义域内

奈曼旗13028859103： 数学导函数求最大最小值 - ？
正裘美克： 导数的应用之一:函数问题 (3课时) 导数与微分是在极限的基础上发展起来的研究变量的一个数学分支,是解决实际问题的重要的数学工具.如求曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的最值以及不等式的证明等问题,均可以导数作为研究...

奈曼旗13028859103： 用导数是怎么来求最大最小值的?依据是什么? - ？
正裘美克： Aiolos/闪电2级2009-07-11一阶导数表示的几何意义是曲线的斜率,如果再某一点左侧其一阶导数是大于零的,在改点右侧是小于零的,那么在该点便有极大值,同样如果再某一点左侧其一阶导数是小于零的,在改点右侧是大于零的,那么在该...

奈曼旗13028859103： 大学数学,用导数求最小值,急,谢谢~ - ？
正裘美克： 设曲线上的点P(x,y)=(x,x^2/4),A(0,a),则P到A的距离u满足 s=u^2=x^2+(x^2/4-a)^2=x^4/16+[1-a/2]x^2+a^4 ∵s是连续函数,且x趋于±∞, ∴s有最小值,且最小点是极值怀疑点 s'=x^3/4+(2-a)x=x(x^2/4+2-a),令s'=0, (1)当a≥2时,得到x1=0,x2=±2√(a-2)...

奈曼旗13028859103： 用导数怎么求极值和最值?详细点 - ？
正裘美克： 先求导,然后让导数等于0,得出可能极值点,然后通过判断导数的正负来判断单调性,最后再得出极值,然后再计算端点值,比较大小,最大就是最大值,最小就是最小值

奈曼旗13028859103： 导函数的最值如何求?、 - ？
正裘美克： 先求出导函数,再利用 1令导函数==0,求出驻点; 2求出导函数没有定义的点,即不可导点; 3比较驻点函数值、不可导点函数值、讨论区间端点函数值,其中最大的即为最大值,最小的即为最小值.

奈曼旗13028859103： 求导数函数的最大值和最小值的应用 - ？
正裘美克： 1, 设 正方形的边长 为 x 那么 V = ( 8-2x )* (5-2x) * x . ( 0<x< 5/2 ) = (8-2x) * (5x-2x^2) V'= -2 * ( 5x-2x^2) + ( 8-2x) * (5-4x) = -10x + 4x^2 + 40 -42x + 8x^2 = 12x^2 - 52x + 40令 V'=0 , 解得 x=1, ( x=20/6 舍去) 容易判断 x=1 时 V有最大值, 最大值为 ...

奈曼旗13028859103： 导数求最值 - ？
正裘美克： y = f(x) = √(x+27) + √(13-x) + √x f'(x) = (1/2)[1/√(x+27)] - 1/√(13-x) + 1/√x] f''(x) = (1/4)[-1/x^(3/2) - 1/(x+27)^(3*2) - 1/(13-x)^(3/2)] 解f'(x) = 0 => x = 9 f''(9) = -1/24 < 0,∴f(9)是最大值,没有最小值 f(9) = 11