二次函数图像抛物线开口大小和顶点坐标位置跟什么有关?
"定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量,y是x的函数
二次函数的三种表达式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)^2+k
[抛物线的顶点P(h,k)]
对于二次函数y=ax^2+bx+c
其顶点坐标为
(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
交点式:y=a(x-x₁)(x-x
₂)
[仅限于与x轴有交点A(x₁
,0)和
B(x₂,0)的抛物线]
其中x1,2=
-b±√b^2-4ac
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
______
h=-b/2a
k=(4ac-b^2)/4a
x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x
=
-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有1个顶点P,坐标为P
(
-b/2a
,(4ac-b^2)/4a
)
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=
b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=
b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ=
b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
_______
Δ=
b^2-4ac<0时,抛物线与x轴木有交点。X的取值是虚数(x=
-b±√b^2-4ac
的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
当a>0时,函数在x=
-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a;在{x|x-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
即ax^2+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2
+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不一样,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
解析式
y=ax^2
y=a(x-h)^2
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
顶点坐标
(0,0)
(h,0)
(h,k)
(-b/2a,sqrt[4ac-b^2]/4a)
对
称
轴
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,
当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2
+k的图象;
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
因此,研究抛物线
y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).
3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x
≤
-b/2a时,y随x的增大而减小;当x
≥
-b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x
≤
-b/2a时,y随x的增大而增大;当x
≥
-b/2a时,y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
(2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|
另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×(-b/2a)-A
|(A为其中一点)
当△=0.图象与x轴仅有1个交点;
当△0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.
5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:假如a>0(a<0),则当x=
-b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)当题给条件为已知图象与x轴的2个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.
中考典例
1.(北京西城区)抛物线y=x2-2x+1的对称轴是(
)
(A)直线x=1
(B)直线x=-1
(C)直线x=2
(D)直线x=-2
考点:二次函数y=ax2+bx+c的对称轴.
评析:由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴方程是:y=-,将已知抛物线中的a=1,b=-2代入,求得x=1,故选项A正确.
另一种方法:可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式,对称轴为x=h,已知抛物线可配方为y=(x-1)2,因此对称轴x=1,应选A.
2.(
北京东城区)有1个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的有些特点:
甲:对称轴是直线x=4;
乙:与x轴2个交点的横坐标都是整数;
丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.
请你写出满足上述全部特点的1个二次函数解析式:
.
考点:二次函数y=ax2+bx+c的求法
评析:设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2),且设x1<x2,则其图象与x轴两交点分别是A(x1,0),B(x2,0),与y轴交点坐标是(0,ax1x2).
∵抛物线对称轴是直线x=4,
∴x2-4=4
-
x1即:x1+
x2=8
①
∵S△ABC=3,∴(x2-
x1)·|a
x1
x2|=
3,
即:x2-
x1=
②
①②两式相加减,可得:x2=4+,x1=4-
∵x1,x2是整数,ax1x2也是整数,∴ax1x2是3的约数,共可取值为:±1,±3。
当ax1x2=±1时,x2=7,x1=1,a=±
当ax1x2=±3时,x2=5,x1=3,a=±
因此,所求解析式为:y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)
即:y=x2-x+1
或y=-x2+x-1
或y=x2-x+3
或y=-x2+x-3
说明:本题中,只需要填出1个解析式即可,也可用猜测验证法。例如:猜测与x轴交点为A(5,0),B(3,0)。再由题设条件求出a,看C是不是整数。若是,则猜测得以验证,填上即可。
5.(
河北省)如图13-28所示,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,则△ABC的面积为(
)
A、6
B、4
C、3
D、1
考点:二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质的运用。
评析:由函数图象可知C点坐标为(0,3),再由x2-4x+3=0可得x1=1,x2=3因此A、B两点之间的距离为2。那么△ABC的面积为3,故应选C。
图13-28
6.(
安徽省)心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分)之间满足函数关系:y=-0.1x2+2.6x+43(0<x<30)。y值越大,表示接受能力越强。
(1)x在啥范围内,学生的接受能力逐步增强?x在啥范围内,学生的接受能力逐步降低?
(2)第10分时,学生的接受能力是啥?
(3)第几分时,学生的接受能力最强?
考点:二次函数y=ax2+bx+c的性质。
评析:将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为:y=-0.1(x-13)2+59.9,根据抛物线的性质可知开口向下,当x≤13时,y随x的增大而增大,当x>13时,y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为:0≤x≤30,因此2个范围应为0≤x≤13;13≤x≤30。将x=10代入,求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下:
解:(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9
因此,当0≤x≤13时,学生的接受能力逐步增强。
当13<x≤30时,学生的接受能力逐步下降。
(2)当x=10时,y=-0.1(10-13)2+59.9=59。
第10分时,学生的接受能力为59。
(3)x=13时,y取得最大值,
因此,在第13分时,学生的接受能力最强。
9.(
河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.据市场分析,若按每千克50元销售,1个月能售出500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情形,请解答以下问题:
(1)当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润;
(2)设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围);
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情形下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
解:(1)当销售单价定为每千克55元时,月销售量为:500–(55–50)×10=450(千克),因此月销售利润为
:(55–40)×450=6750(元).
(2)当销售单价定为每千克x元时,月销售量为:[500–(x–50)×10]千克而每千克的销售利润是:(x–40)元,因此月销售利润为:
y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x2+1400x–40000(元),
∴y与x的函数解析式为:y
=–10x2+1400x–40000.
(3)要使月销售利润达到8000元,即y=8000,∴–10x2+1400x–40000=8000,
即:x2–140x+4800=0,
解得:x1=60,x2=80.
当销售单价定为每千克60元时,月销售量为:500–(60–50)×10=400(千克),月销售成本为:
40×400=16000(元);
当销售单价定为每千克80元时,月销售量为:500–(80–50)×10=200(千克),月销售单价成本为:
40×200=8000(元);
由于8000<10000<16000,而月销售成本不能超过10000元,因此销售单价应定为每千克80元."
判断二次函数的开口方向,与b、c无关,只用看a即可(可以理解成二次项的系数),二次函数的一般形式就是y = ax²+bx+c,若二次项系数a>0,开口向上,反之,开口向下。下面分析你给的四个式子,(a>0是前提条件),第一个式子中,二次项系数a大于0,所以开口向上。第二个式子中,二次项系数-a<0,所以开口向下。后两个的分析方法类似。若其大于0,那么反应到函数图像上面,就是表示x轴上面的图像部分对应的x的取值范围。若其小于0,表示x轴下面的图像部分对应的x的取值范围,数形结合思想,画个图,显而易见。
二次函数y=ax^2+bx+c, (a≠0)开口大小与a的绝对值有关,a的绝对值越大,开口越小, a的绝对值小,开口越大
记住顶点坐标公式(-b/2a, (4ac-b^2)/4a),所以顶点的位置由此计算得出,当然与a,b,c有关
如何判断二次函数的开口方向?
-2a分之b是二次函数抛物线的对称轴。二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a〉0时,抛物线开口向上;当a〈0时,抛物线开口向下。|a|越大,则抛物线的开口越小;|a|越小,则抛物线的开口越大。二次函数 二次函二次函数图像是轴对称图形,对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点...
抛物线的二次函数图象
a,b同号,对称轴在y轴左侧a,b异号,对称轴在y轴右侧二次函数图像有一个顶点P,坐标为P(h,k)。当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0),。二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a>0时,二次函数图象向上开口;当a<0时,抛物...
二次函数的概念及图像和性质
函数性质 1.二次函数的图像是抛物线,但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线。[3]对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)。2.抛物线有一个顶点P,坐标为P。当时,P在y轴上;...
二次函数的图像是什么
其中,常数a、b、c决定了图像的形状、位置...你搜索一下,各种关于二次函数的图像、知识点 的小结可以说铺天盖地、眼花缭乱。但对于想真正了解、学习二次函数的学生来说,不如从简单入手,看几个实际例子,认真领会。一、顶点在原点,即顶点为O(0,0):此例中,a=1>0,抛物线开口向上,对称轴...
二次函数一般式的图像关系
c>0时,抛物线与y轴交点在x轴上方;c<0时,抛物线与y轴交点在x轴下方。a=0时,此图像为一次函数。b=0时,抛物线顶点在y轴上。c=0时,抛物线在x轴上。当抛物线对称轴在y轴左侧时a,b同号,当抛物线对称轴在y轴右侧时a,b异号。二次函数的顶点坐标公式 二次函数的一般式为:y=ax^2+bx+...
次函数为什么是抛物线
次函数为什么是抛物线的原因如下:抛物线有一种形式为x^2=2py,即y=1\/2px^2,而二次函数y=ax^2+bx+c=a(x-b\/2a)^2+(b^2-4ac)\/4a。故二次函数可以通过平移变换最终变成y=1\/2px^2。即抛物线的形式,而平移是不改变图像的形状的。故二次函数是抛物线。
在数学上,如何描述抛物线开口大小的变化?
对于二次函数的图像,抛物线开口大小的变化是用二次项系数a的大小来描述的,当a的绝对值变大时,开口缩小,当a的绝对值变小时,开口变大,与a的符号并没有什么关系,a的符号只影响开口方向,与一次项系数b和常数项c也没有什么关系。
二次函数系数与图像的关系
2.系数b:系数b决定了抛物线的对称轴位置。对称轴的x坐标为-\/2a。3.系数c:系数c是函数在y轴上的截距,即当x=0时,y=c。次函数的图像还有一个重要的特点就是顶点。顶点的坐标为(-b\/2a,f(-b\/2a))。如果a>0,那么顶点是函数的最小值点;如果as0,那么顶点是函数的最大值点。此外,二次...
二次函数的图像如何表示?
(1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b\/2a,(4ac-b^2)\/4a)(2)顶点式:y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数,a≠0).(3)交点式(与x轴):y=a(x-x1)(x-x2)(又叫两点式,两根式等)...
二次函数的图像特点什么
1. 开口方向:二次函数的图像可能向上开口也可能向下开口。向上开口的二次函数在$x$轴上有最小值点,向下开口的二次函数在$x$轴上有最大值点。2. 对称轴:对于一般式的二次函数$y=ax^2+bx+c$,其对称轴为$x=-\\\\frac{b}{2a}$。该对称轴垂直于$x$轴,并且二次函数在其上下对称。3. ...
劳陶盐酸:[答案] 二次函数y=ax^2+bx+c,(a≠0) 开口大小与a的绝对值有关,a的绝对值越大,开口越小,a的绝对值小,开口越大 记住顶点坐标公式(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),所以顶点的位置由此计算得出,当然与a,b,c有关
昂仁县19145209515: 谁给我总结一下二次函数与图像之间的关系? - ?
劳陶盐酸:[答案] 关于二次函数y=ax2+bx+c的图像与系数之间的关系 一、二次项系数a (a≠0) a 的符号决定抛物线的开口方向, a>0 ,开口向上, aa 的绝对值的大小决定开口的大小 |a|越大,开口越小. 也就是说二次项系数a决定了二次函数y=ax2+bx+c的图像的形状. ...
昂仁县19145209515: 有关二次函数的知识点 - ?
劳陶盐酸:[答案] 二次函数知识点 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如 ( 是常数, )的函数,叫做二次函数. 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数 ,而 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数 的结构特征: ⑴ 等号左边是...
昂仁县19145209515: 二次函数当a<0时 抛物线开口向下 顶点是抛物线的最____点 a越大抛物线的开口越___ - ?
劳陶盐酸:[答案] 二次函数当a<0时 抛物线开口向下 顶点是抛物线的最___高_点 a越大抛物线的开口越__小_ 原因a的绝对值越大,开口越大,而此题a是负值.
昂仁县19145209515: 怎么画二次函数图像中抛物线的开口大小比如说y=2/1x^+5x+1 怎么确定开口大小 - ?
劳陶盐酸:[答案] 图像上来说,只能描点或者用函数计算机等绘图 数值上来说,这不是个定值. 抛物线是无限延伸的(实数范围内),其开口也是无限延伸的,换言之,是无限扩大的. 如果是希望知道大概的一个开口大小,也就是大概一个图形的样子,可以由x^的系数...
昂仁县19145209515: 二次函数的图像主要特征 - ?
劳陶盐酸: 1、轴对称 二次函数图像是轴对称图形.对称轴为直线 ,对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P.特别地,当b=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0).是顶点的横坐标(即x=?).a,b同号,对称轴在y轴左侧;a,b...
昂仁县19145209515: 二次函数的图像和性质是什么??
劳陶盐酸: 二次函数图象是抛物线,是轴对称性图形.y=ax的图象是最简单的二次图像,学习也较容易.顶点坐标为(0,0),即原点;对称轴为y轴,开口由a的正负决定.一般式:...
昂仁县19145209515: 二次函数图象及性质, - ?
劳陶盐酸: 二次函数的图像是一条抛物线 性质可以从以下几个方面入手:①开口方向 ②对称轴 ③顶点坐标 ④最值 ⑤增减性 希望我的回答能帮助你,如果你认可我的回答,敬请及时采纳,在我回答的右上角点击【采纳答案】
昂仁县19145209515: 二次函数y=x2+2x - 4的图象的开口方向是______.对称轴是______.顶点坐标是______. - ?
劳陶盐酸:[答案] 因为a=1>0,图象开口向上; 顶点横坐标为x=− b 2a=-1,纵坐标为y= 4ac−b2 4a=-5, 故对称轴是x=-1,顶点坐标是(-1,-5).
昂仁县19145209515: 二次函数图像的对称轴、开口、顶点坐标怎么确定?
劳陶盐酸: 对于y=ax^2+bx+c 对称轴为直线x = -b/2a. a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下. 抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )