怎样用代换法求解∫不定积分？
要求解不定积分 ∫(3/(1-x^2))dx，我们可以使用代换法（或称为反正切代换法）来处理。
首先，观察到被积函数中的分母 1-x^2 可以写成 (1-(-x^2)) 的形式。
令 u = -x，那么 du/dx = -1，从而可以得到 dx = -du。
将 x 的替换和 dx 的替换应用到原积分中，得到新的积分 ∫(3/(1-(-u^2))) * (-du) = -∫(3/(1+u^2))du。
这样，我们的积分就变成了求函数 3/(1+u^2) 的不定积分。
使用反正切函数的导数公式，我们知道 d(arctan(u))/du = 1/(1+u^2)。
所以，我们的积分可以变为 -∫d(arctan(u))。
对反正切函数求不定积分，得到 -arctan(u) + C，其中 C 是常数。
将 u 替换回 x，得到最终结果为 -arctan(-x) + C。
因此，原不定积分 ∫(3/(1-x^2))dx 的结果为 -arctan(-x) + C，其中 C 是常数。
反正切代换法（或称为逆三角代换法）是一种常用的积分方法，适用于含有平方根、平方项或倒数项的积分。下面是使用反正切代换法求解不定积分的一般步骤：
首先，观察被积函数中的部分，确定是否可以使用反正切代换法。常见的形式包括 a^2 - x^2、a^2 + x^2 和 x^2 - a^2。
选择合适的代换变量，通常选择与根号内部的表达式相似的变量。
根据代换变量的选择，计算出对应的微分元素，并将原积分中的变量和微分元素都替换为代换变量。
将原积分转化为新的积分表达式，这样可以简化计算。
求解新的积分表达式，得到不定积分的结果。
最后，将代换变量重新换回原来的变量，得到最终的不定积分结果。
需要注意的是，在使用反正切代换法求解不定积分时，选择合适的代换变量非常重要。合理选择代换变量可以简化计算，并使得积分结果更易求解。
不定积分是求解函数原函数（或称为不定积分函数）的过程。它可以看作是导数的逆运算。不定积分的结果是一个包含常数项的函数。
表示不定积分的通常形式为 ∫f(x)dx，其中 f(x) 是被积函数，dx 表示对变量 x 进行积分。
求解不定积分的过程称为积分运算。在进行积分运算时，需要使用一系列积分技巧和公式，如常数法则、幂函数积分法、换元积分法等。对于一些特定的函数形式，还可以使用分部积分法、三角函数积分法、反正切代换法等特殊的积分方法。
不定积分的结果通常以原函数的形式表示，常用的符号是大写字母 C，表示积分常数。由于不定积分只给出了一个函数的无穷多个原函数，因此需要加上积分常数 C 来表示其它原函数的存在。
不定积分在数学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用，可以用于求解曲线的面积、求解速度、加速度等物理量，以及解决各种微积分相关的问题。
怎样用代换法求解∫不定积分?
首先，观察被积函数中的部分，确定是否可以使用反正切代换法。常见的形式包括 a^2 - x^2、a^2 + x^2 和 x^2 - a^2。选择合适的代换变量，通常选择与根号内部的表达式相似的变量。根据代换变量的选择，计算出对应的微分元素，并将原积分中的变量和微分元素都替换为代换变量。将原积分转化为新的...
求不定积分做题模板归纳(除不定积分外)。
第一，∫sin^m（x）cos^n（x）dx，其中m是奇数。代换u=cosx,即sinxdx=-d（cosx）第二，∫sin^m（x）cos^n（x）dx,其中n是奇数。代换u=sinx,即cosxdx=d（sinx）第三,∫sin^m（x）cos^n（x）dx，其中m和n都是偶数，就利用二倍角公式缩减正弦和余弦的次幂。第四,m和n都是奇数，则...
使用三角代换求不定积分时用x=asint跟x=acost算出来的结果不一样。
基本代换之一
考研高数 分式中无穷小在哪种情况下才可以代换啊
使用等价无穷小代换法求解极限问题需要注意一个问题：必须对分子或分母进行“整体”代换，亦即必须将整个分子或整个分母全部用另外一个无穷小量代替，楼主的这个例子中，犯了应用这个方法时的典型错误，绝对不能单单对x进行无穷小代换，应该对“x-tanx+x^3”这个整体进行代换。当然了，从题目来说应该先把...
同样类型的一道高数题,为什么解法不一样,很是疑惑
其实根本不一样，书上那个，代换之后分子变成0了，而下面x方也是趋向于0的，这种情况是没法得出答案的，只能用泰勒公式展开。但是笔记版那个不一样，代换之后分子跟分母同阶，两个极限分别存在，所以直接分开写了，不分开也行，这样计算极限结果是存在的，所以可以用等价无穷小代换的方法来做 ...
三角万能代换能够解决什么样的实际问题?
三角万能代换是一种数学方法，主要用于解决含有根号的复杂方程。它的基本思想是将复杂的根号表达式转化为简单的线性方程组，从而简化问题的求解过程。这种方法在实际问题中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1.工程计算：在建筑工程、机械设计等领域，经常会遇到含有根号的复杂方程。通过三角万能代换，...
请教大神这样利用倒代换做这个不定积分的题为什么和正确答案不一样?
两个答案没有本质区别，可以这么理解，π\/2可归入c
高数问题,为什么我两种做法答案不一样,可以告诉我哪里错了吗?谢谢...
第一种错了，等价无穷小代换滥用的典型错误。看我用万能泰勒 ln(1+x)=x-x^2\/2+o(x^2)(1+x)ln(1+x)=x+x^2-x^2\/2-x^3\/2+o(x^2)=x+x^2\/2+o(x^2)
公务员考试里面行测数量关系的题该怎么去做?
将多次操作问题和还原问题中的复杂过程一一呈现，也可以用表格理清数量关系，帮助列方程。分合法 利用分与合两种不同的思维解答数学运算的方法。①分类讨论 指当不能对问题所给的对象进行统一研究时，需要对研究对象按某个标准进行分类，逐类研究，最后将结论汇总得解的方法。需注意分类标准统一，分类情况...
谷刘养血：[答案] 解法一:万能代换! 令u=tanx/2,则sinx=2u/(1+u²),cosx=(1-u²)/(1+u²),dx=2du/(1+u²),于是得 ∫1/(sinx+cosx)=∫2/(1+2u-u²)du =√2/2∫[1/(u-(1-√2))-1/(u-(1+√2))]du =√2/2ln|(u-(1-√2))/(u-(1+√2))|+C =√2/2ln|(tanx/2-1+√2)/(tanx/2-1-√2)+C. 解法...
永新区17816544528： 变量替换法求不定积分 - ？
谷刘养血： 解:设x=atanθ,则dx=a(secθ)^2dθ,原式=(1/a^2)∫cosθdθ=(1/a^2)sinθ+C=(x/a^2)/√(x^2+a^2)+C.供参考.
永新区17816544528： 求不定积分,用三角代换法 - ？
谷刘养血： 记r=secx,则r²-1=sec²x-1=tan²x,dr=dsecx=tanx secx dx,所以分母r√(r²-1)=secx tanx ,最后整个积分就变成了∫dx=x+C 因为,r=secx=1/cosx,也就是cosx=1/r,所以x=arccos(1/r),所以最后结果就是arccos(1/r)+C,当然因为arccosx和arcsinx的和是2π,所以最后结果也可以写成是-arcsin(1/r)+C,这个里面的C和上面的那个C差一个2π. 千万不要写成是arcsecr ,数学上一般没有这种表述.
永新区17816544528： 用换元法求不定积分 ∫[e^(1/x)]/x^2dx - ？
谷刘养血：[答案] 用换元积分法: 方法一: ∫(1/x²)(e^1/x)dx 令t=1/x,dt=(-1/x²)dx,dx=(-x²)dt,代入dx,约掉x² =∫e^t*(-1)dt =-∫(e^t)dt =-e^t+C =-(e^1/x)+C 方法二: ∫(1/x²)(e^1/x)dx d(1/x)=(-1/x²)dx,∴dx=(-x²)d(1/x),代入dx =∫(1/x²)(e^1/x)*(-x²)d(1/x) =-∫(e^1/x)d(1/...
永新区17816544528： 用其他代换法求x+根号下2x分之一的不定积分 - ？
谷刘养血： ∫(x+0.5)/(2x+1)-0.5/(2x+1) dx=∫0.5- 0.5/(2x+1) dx=0.5x-0.5*0.5ln|2x+1|+C=x/2-ln|2x+1|/4 +C
永新区17816544528： 用第一换元法求不定积分 - ？
谷刘养血： 主要有换元法,分部积分法.用换元法求不定积分技巧性比较强,需要有一定的观察能力和感觉,一般来说,带根号的就想办法(用三角代换)去掉根号.
永新区17816544528： 换元积分法求不定积分∫1+lnx/(xlnx)^2dx - ？
谷刘养血： ∫1+lnx/(xlnx)^2dx 因为xlnx的导数是1+lnx,所以可以利用第一类换元积分法:=∫1/(xlnx)^2d(xlnx)=-1/(xlnx)+C 扩展资料:求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原抄函2113数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任...
永新区17816544528： 高数求救!求高数帝! 求不定积分∫(lnx)∧n dx的递推公式. - ？
谷刘养血： 用t=lnx做代换,原积分变为∫t∧n *e^tdt,应用分部积分公式,原式=t^n*e^t-∫n*t^(n-1)*e^tdt. 做将t换回x.得到递推公式:∫(lnx)∧n dx=(lnx)^n*x-∫n*(lnx)^(n-1)dx.
永新区17816544528： 用等量代换法求不定积分 ∫dx/√(a² - x²) ∫2tdt/2 - 5t² 简要过程.谢谢 - ？
谷刘养血： 是用第二换元法求不定积分 1. 令x = asint,则 dx = acostdt, ∫dx/√(a²-x²) = ∫(acost/acost) dt= ∫dt= t+C= arcsin(x/a)+C;2. ∫2tdt/(2-5t²) = (-1/5) ∫d(2-5t²)/(2-5t²)= (-1/5) ln|2-5t²|+C.
