救命啊～～～～～不定积分的问题

求助关于不定积分问题～~

方法:
换元法。
看过程体会


满意，请及时采纳。谢谢！

你好,经过我和conlui的讨论和努力,
题目终于有了结果,在此我感谢他!
还有侯宇诗的<三角恒等式>

解:
http://baike.baidu.com/view/1732167.htm
有:
sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx
证明:
左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)
=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)
=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边
等式得证

所以
有:

(cos(n+1)x+cosnx)/sinx
=-2(sinx+sin2x+...+(sinnx)+cosx/2sinx+1/2sinx

所以
∫(cos(n+1)x+cosnx)dx/sinx
=-2积分:[(sinx+sin2x+...+(sinnx)+cosx/2sinx+1/2sinx]dx
=2[cosx+1/2cos2x+...+1/n*cosnx]+ln|2sinx|+ln|tanx/2|+C

(E^(-I n x) (E^(I x)
n (2 + 3 n + n^2) Hypergeometric2F1[1/2 - n/2, 1, 3/2 - n/2,
E^(2 I x)] - (-1 +
n) (E^(2 I (1 + n) x)
n (1 + n) Hypergeometric2F1[1 + n/2, 1, 2 + n/2, E^(
2 I x)] - (2 +
n) ((1 + n) Hypergeometric2F1[-(n/2), 1, 1 - n/2, E^(
2 I x)] -
E^(I (x + 2 n x))
n Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, 1, (3 + n)/2, E^(
2 I x)]))))/(n (1 + n) (-2 + n + n^2))

我用mathematica算得如上结果,可见原题无初等表达

在线版本如下:http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%28cos%28%28n%2B1%29*x%29%2Bcos%28n*x%29%29%2Fsin%28x%29&random=false
你可以研究下此函数.另外我相信计算机一般是不会出错的......

先将cos(n+1)x+cosnx和差化积，有
cos(n+1)x+cosnx=2cos[(2n+1)x/2]cos(x/2)
而 sinx=2sin(x/2)cos(x/2)
则原式=∫cos[(2n+1)x/2]dx/sin(x/2)
换元，令a=x/2，则原式=2∫cos[(2n+1)a]da/sina
=2∫[cos(2na)cosa-sin(2na)sina]da/sina
=2[∫cos(2na)d(sina)/sina-∫sin(2na)da]
=2{∫cos(2na)d[ln(sina)]}-2∫sin(2na)da

上式后半部分很简单，前半部分可以用分部积分法解答

应该是 /sinx dx 吧。

不过这题却是变态。

当n=1 2ln sin (x/2)

当n=2 2ln ( sin (x/2) ) - 2 sin^2(x/2)

当n=3 2ln ( sin (x/2) ) - 6 sin^2(x/2) + 4 sin^4(x/2)

......

怎么帮你呀，写得不清楚/sinx，是d(x/sinx)还是/sinx dx

我虽然不大会做，帮楼主说两句话，

火星幻觉同志，mathematica有时确实不大好用

不信你可以 分别积一下1/(x^2+x) 1/(x^3+x^2) .... 明显它们的原函数是有规律的 而换成 1/(x^(n+1)+x^n) 之后 立刻弹出来一个超几何函数 所以 我根据 上面这个函数 猜测 原函数可能是一个 很多个函数的 和的形式 但是 具体 我还不是很清楚

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盐城市17010629021： 不定积分求解.救命啊……Sinx*sin3x的不定积分怎么解? - ？
圭待澳诺：[答案] Sinx*sin3x=1/2*(cos(x-3x)-cos(x+3x) =1/2(cos2x-cos4x) S Sinx*sin3xdx =1/2*S(cos2x-cos4x) =1/2*1/2*sin2x-1/2*1/4*sin4x+c =-1/8*sin4x+1/4*sin2x +c

盐城市17010629021： 救命啊~~~~~不定积分的问题 - ？
圭待澳诺： 你好,经过我和conlui的讨论和努力,题目终于有了结果,在此我感谢他!还有侯宇诗的 解:http://baike.baidu.com/view/1732167.htm 有:sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx 证明:左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)...

盐城市17010629021： 微积分,救命那求tan^(3)x*dx的不定积分, - ？
圭待澳诺：[答案] ∫tanx^3dx =∫(secx^2-1)tanxdx =∫secx^2tanxdx-∫tanxdx =∫tanxdtanx+∫dcosx/cosx =(1/2)(tanx)^2+ln|cosx|+C

盐城市17010629021： 不定积分求解!!!救命啊？
圭待澳诺： 是∫1/[x^4√(x²+1)]dx吗?? 用三角代换积分法 令x=tant, 则x²+1=tan²t+1=sec²x sint=x/√(x²+1) dx=sec²tdt ∫sec²t/[(tant)^4secx]dt =∫sect/(tan)^4dt =∫cos³t/(sint)^4dt =∫cos²t/(sint)^4d(sint) =∫(1-sin²t)/(sint)^4d(sint) =∫1/(sint)d(sint)-∫1/sin²td(sint) =ln|sint|+1/sint+C (C为任意常数) =ln|x/√(x²+1)|+√(x²+1)/x+C

盐城市17010629021： 不定积分的问题求sinx*e∧sinx的不定积分 - ？
圭待澳诺：[答案] sinx*e∧sinx的不定积分为1/2*e^x(sinx-cosx)+C

盐城市17010629021： 几道求不定积分的难题,有人会做么?过程详细些哦 - ？
圭待澳诺： 1、分子分母同除以(cosx)^2,换tanx为t,结果1/√2*arctan[tanx/√2]+C 2、题目不就是∫√(1+x^2)/x dx?换元t=√(1+x^2),结果√(1+x^2)+ln|x|-ln(1+√(1+x^2))+C 3、换x=2sect(讨论x的取值),结果√(x^2-4)-2arccos(2/|x|)+C 4、换e^x=tant,...

盐城市17010629021： 【高等数学】不定积分的小问题一个不定积分∫f(x)dx,如果f(x)是大于零的,那么∫f(x)dx的结果的那个原函数一个是递增函数吗? - ？
圭待澳诺：[答案] 是的. 设原函数为F(x),不妨设x10 x1 所以原函数为递增函数

盐城市17010629021： 定积分和不定积分存在的问题 - ？
圭待澳诺： 第三个问题跟第二个是一个问题 对于一元积分 只要函数在其积分区域上的所有间断点构成的集合为零测集,则该函数在该区域上可积 什么是零测集? 集合A包含于开区间的并集的,且这些开区间并集总长趋于零 集合A就是零测集. 1至多可数...

盐城市17010629021： 关于不定积分的问题不定积分lnxdx的原函数是什么? - ？
圭待澳诺：[答案] lnx*x-x

盐城市17010629021： 求助不定积分问题 - ？
圭待澳诺： ∫sin(√x)dx令(√x)= t , ∫sin(√x)dx= 2∫t sintdt.用分部积分