方程ax+by=c恰好有且只有一个整数解。它的充要条件是什么？

二元一次方程 ax+by=c一定有整数解吗？这里a,b,c都是整数，a,b互质~

一定有。利用bezout定理证明。
裴蜀定理（或贝祖定理）得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若a,b是整数,且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。
它的一个重要推论是：a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.
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如果a,b互质，那么存在整数x,y.使得ax+by=1.两边同乘以c.一定可以得到解.
满意请采纳.

证明：设(a,b)=d
1)充分性：因为d=(a,b),所以存在x0,y0∈Z使ax0+by0=d,又d│c,所以c=dk
=k(ax0+by0)=a(kx0)+b(ky0),所以方程ax+by=c有整数解(kx0,ky0)
2)必要性：因为ax0+by0=c，x0,y0∈Z
d是a,b的最大公约数，所以d│a,d│b,故d│ax0+by0,即d│c

只需讨论a、b、c为整数且三者互素的情况，若为非整数则可以化为互素的整数形式的方程，或者直接判断无整数解。

此时，若ax+by=c恰好有且只有一个整数解，则（a，b）=c，即a、b的最大公约数为c，反之，也成立。

关于此结论的证明参见高等数学中的辗转相除法。

二元一次方程一般解法：

消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种：

1、代入消元

例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89②

解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89，解得y=59/7

把y=59/7带入③，得x=5-59/7，即x=-24/7

∴x=-24/7，y=59/7

这种解法就是代入消元法。

2、加减消元

例：解方程组x+y=9① x-y=5②

解：①+②，得2x=14，即x=7

把x=7带入①，得7+y=9，解得y=2

∴x=7，y=2

这种解法就是加减消元法。

首先肯定不是x=y，
也不是a=0或者b=0，因为此种情况肯定是1.无穷多个整数解2.没有整数解

其实这题是带余除法的变相题目，如果学过高等数学（初等数论）可以理论证明
如果是高中题目 ax+by=c 我简单举几个例子 9=5*1…4 （9 5 1）；8=3*2…2（8 3 2）
通过几个例子可以看出带余除法其实产生方程ax+by=c 而我们都知道我们带余除法结束的条件是不能再除下去且每次余数跟除数不存在公因子即a b互质，又因为是带余数的即不能整除 所以a c互质 所以推得 a b c互质

　　只需讨论a、b、c为整数且三者互素的情况，若为非整数则可以化为互素的整数形式的方程，或者直接判断无整数解。
此时，若ax+by=c恰好有且只有一个整数解，则（a，b）=c，即a、b的最大公约数为c，反之，也成立。
关于此结论的证明参见高等数学中的辗转相除法。

有且只有一个解，a或者b只有一个是0，则ab=0且a≠b，又因为是整数解，所以c=ka或kb，k为常数。

a，b，c互质。
如果有具体的二元一次方程，应该可以解出来。

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瑞昌市13284622139： 如果方程组x+y=1 ax+by=c 有唯一的一组解,那么a,b,c的值应当满足什么条件? - ？
超良复方： x+y=1 ax+by=c 有唯一的一组解 解得: x=(b-c)/(b-a) y=(c-a)/(b-a) b不等于a 所以 选 B

瑞昌市13284622139： 如果方程组 x+y=1 ax+by=c 有唯一的解,那么a,b,c的值就应该满足 什么？
超良复方： 解答:由题目可知,有唯一解表明两条直线经过化简后的斜率必定不相等,即: 分两种情况分析,当a=0时, 方程平行于X轴,必定与X+Y=1有交点,此时,若C=0,也可以满足条件,但b不能等于0,否则就不是方程了. 当a不等于0时, y=-x+ 斜率:-1不等于-a/b,即:a和b不能相等; 综上,a\b\c满足: a=0且b不等于0; 或者a,b不等于0,但a,b互不相等. c可以取任意的数

瑞昌市13284622139： 如果方程组x+y=1和ax+by=c 有唯一的一组解,那么a、b、c的值应当满足(保留计算过程) A.a=1,c=1... - ？
超良复方： 选择B x+y=1①ax+by=c② ①*a-②得:(a-b)y=a-c 即y=(a-c)/(a-b) 因为原方程组有唯一解 所以a-b≠0即a≠b

瑞昌市13284622139： 如果方程组 x+y=1 ax+by=c 有唯一的一组解,那么a,b,c的值应当满足 - ？
超良复方： 根据题意得:y=1-xy= cb - ab x ,∴1-x=cb - ab x ,∴(a-b)x=c-b,∴x=c-ba-b ,要使方程有唯一解,则a≠b,故选B.

瑞昌市13284622139： 二元一次方程在什么情况下有唯一借(ax+by+c=0) - ？
超良复方： 二元一次方程的图像是一条直线,直线上的任何一点都是方程的解,因此一个二元一次方程是不可能有唯一解的.只有二元一次方程组才有可能有唯一解,其图像的表现形式为,两条相交的直线,它们的交点就是方程的唯一解. 请采纳

瑞昌市13284622139： ax+by=c有整数解吗 - ？
超良复方： 任何ax+by=c都有整数解!但未必有正整数解. 设p,q是方程一解,则x=p+kb,y=q-ka,(k是整数)是原方程的通解.

瑞昌市13284622139： a,b,c是整数,证明ax+by=c在整数范围内有解的充要条件是(a,b)整除c - ？
超良复方： 证明:设(a,b)=d 1)充分性:因为d=(a,b),所以存在x0,y0∈Z使ax0+by0=d,又d│c,所以c=dk =k(ax0+by0)=a(kx0)+b(ky0),所以方程ax+by=c有整数解(kx0,ky0) 2)必要性:因为ax0+by0=c,x0,y0∈Z d是a,b的最大公约数,所以d│a,d│b,故d│ax0+by0,即d│c

瑞昌市13284622139： 已知A:x^2+y^2=r^2与直线ax+by+c=0相切,B:c^2=(a^2+b^2)r^2.试判断A是B的什么条件?(跪求答案) - ？
超良复方： 若A成立,则x^2+y^2=r^2与直线ax+by+c=0只有一个交点.将x=-(by+c)/a代入x^2+y^2=r^2,得到方程(a^2+b^2)y^2+2bcy+c^2-a^2r^2=0.该方程只有一个根,其根的判别式Δ=4a^2(c^2-(a^2+b^2)r^2)=0,可得到B:c^2=(a^2+b^2)r^2(注意a≠0,因为a=0时,不能保证关于x的方程只有一个解).反之,若B成立,Δ=0,A成立,所以A是B的充要条件.

瑞昌市13284622139： 直线的一般式方程Ax+By+C=0中A和B 不同时为0 是否只有其中就有一个可以为0.直线的一般式方程Ax+By+C=0中A和B 不同时为0时 是否只有其中就有一个可... - ？
超良复方：[答案] 不能同时为0 其中一个为0,表示平行于X轴或,Y轴的直线.

瑞昌市13284622139： 求证:如果a,b是互质的正整数,c是整数,且方程ax+by=c ①,有一组整数解x0,y0,则此方程的一切整数解 - ？
超良复方： 证明:因为x0,y0是方程①的整数解,当然满足ax0+by0=c,② 因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c. 这表明x=x0-bt,y=y0+at也是方程①的解. 设x′,y′是方程①的任一整数解,则有 ax′+by′=c.③ ③-②得 a(x′-x0)=b′(y0-y′).④ ∵a,b是互质的正整数即(a,b)=1,∴即y′=y0+at,其中t是整数.将y′=y0+at代入④,即得x′=x0-bt. ∴x′,y′可以表示成x=x0-bt,y=y0+at的形式,∴x=x0-bt,y=y0+at表示方程①的一切整数解.