解一元二次方程 的方法公式
解:x2+bx+c=0(a≠0)配方,得(x+b/2a)2=(b^2-4ac)/4a^2;
因为a≠0,所以4a2>0,当b^2-4ac≥0时;
得x+b/2a=±根号下(b2-4ac)/2a;
所以x=(-b±根号下加b2-4ac)/2a
在一元二次方程是一般形式的前提下,才可以准确判断a、 b、 c(注意它们的符号),从而可以运用求根公式;一定不会出现不能用公式法解一元二次方程的情况,只存在有没有实数根问题。
扩展资料:
解一元二次方程除了公式法,另外还有配方法、十字相乘法、直接开平方法与分解因式法等解方程的方法。公式表达了用配方法解一般的一元二次方程的结果。
根据因式分解与整式乘法的关系,把各项系数直接带入求根公式,可避免配方过程而直接得出根,简单来说就是套用公式。一定不会出现不能用公式法解一元二次方程的情况,但在能直接开方或者因式分解时最好用直接开方法和分解因式法。
参考资料来源:
百度百科-公式法
一元二次方程求根公式详细的推导过程:
一元二次方程的根公式是由配方法推导来的,那么由ax^2+bx+c(一元二次方程的基本形式)推导根公式的详细过程如下,
1、ax^2+bx+c=0(a≠0,^2表示平方),等式两边都除以a,得x^2+bx/a+c/a=0,
2、移项得x^2+bx/a=-c/a,方程两边都加上一次项系数b/a的一半的平方,即方程两边都加上b^2/4a^2,
3、配方得 x^2+bx/a+b^2/4a^2=b^2/4a^2-c/a,即 (x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a,
4、开根后得x+b/2a=±[√(b^2-4ac)]/2a (√表示根号),最终可得x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。
一、一元二次方程求根公式
1、
2、公式描述:一元二次方程形式:ax2+bx+c=0(a≠0,且a,b,c是常数)。
3、满足条件:
(1)是整式方程,即等号两边都是整式,方程中如果有分母;且未知数在分母上,那么这个方程就是分式方程,不是一元二次方程,方程中如果有根号,且未知数在根号内,那么这个方程也不是一元二次方程(是无理方程)。
(2)只含有一个未知数。
(3)未知数项的最高次数是2。
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程,其解为x=m± .
例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11
分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
(2)解: 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c
将二次项系数化为1:x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2=
当b2-4ac≥0时,x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解:将常数项移到方程右边 3x2-4x=2
将二次项系数化为1:x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2-x+( )2= +( )2
配方:(x-)2= 直接开平方得:x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5
解:将方程化为一般形式:2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让
两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学)
(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 �6�12 ,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
LS说的是公式法,其实公式也是配方法推导出来的。十字相乘和分解因式差不多,举例x^2+3x+2=0:可以因式分解为(x+1)(x+2)=0;也可观察x平方项系数1可分解为两个1之积,常数项2可分解为1和2之积,写成
1 1
1 2
后交叉(对角线)相乘(这就是“十字相乘”),所得积之和为3,满足x一次项系数。再按行写成两个代数式相乘(x+1)(x+2)即可,最后添上“=0”得化简方程。
ax^2+bx+c=0
这是方程
公式是这个 [-b^2+「(b^2-4ac)]/2a
其中「的意思是根号
一元二次方程公式解
箕壮临泰:[答案] 一般来说,一元二次方程的解法有:(注:以下 ^ 是平方的意思.) 一、直接开平方法.如:x^2-4=0 x^2=4 x=±2(因为x是4的平方根) ∴x1=2,x2=-2 二、配方法.如:x^2-4x+3=0 x^2-4x=-3 配方,得(配一次项系数一半的平方) x^2-2*2*x+2^2=-3+2^2...
修水县17769778475: 一元二次方程公式解法??? - ?
箕壮临泰: http://wenku.baidu.com/view/76acd64e767f5acfa1c7cdbe.html 一般来说,一元二次方程的解法有:(注:以下 ^ 是平方的意思.)一、直接开平方法.如:x^2-4=0 解:x^2=4 x=±2(因为x是4的平方根) ∴x1=2,x2=-2二、配方法.如:x^2-4x+3=...
修水县17769778475: 怎么用公式法解一元二次方程? - ?
箕壮临泰: 记住用公式法解一元二次方程的步骤: 例如 3x²-7x= -2 第一步:先把方程变成 ax²+bx+c=0这样的一般形式:3x²-7x+2=0 (右边一定要是0) 第二步:写出各项的系数: a=3,b=-7,c=2 第三步:计算出b²-4ac这个特殊式子(叫判别式)的...
修水县17769778475: 解一元二次方程的公式是什么啊?用公式法解一元二次方程,那个公式是什么啊? - ?
箕壮临泰:[答案] ax²+bx+c=0 x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)
修水县17769778475: 一元二次方程的解法,需要详细的 - ?
箕壮临泰: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解法:1、直接开平方法; 2、配方法; 3、公式法; 4、因式分解法. 1、直接开平方法: 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方...
修水县17769778475: 解一元二次方程的公式法 - ?
箕壮临泰:[答案] 把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项 系数a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根.例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5 将方程化为一般形式:2x2-8x+5=0 ∴a=2,b=...
修水县17769778475: 解一元二次方程的公式法是什么? - ?
箕壮临泰:[答案] 配方法:1.化二次系数为1.x^2+(b/a)x+c/a=0 2两边同时加上一次项系数一半的平方; x^2+(b/a)x+(b/2a)^2=(b/2a)^2-c/a 3用直接开平方法求解.{x+(b/2a)}^2=(b^2-4ac)/4a^2 当 b^2-4ac>=0 (a>0)时 x+b/2a=+ -根号下{(b...
修水县17769778475: 一元二次方程的公式解法只需要公式即可 - ?
箕壮临泰:[答案] 一元二次方程的解法 一、知识要点: 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今... 配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法 解一元二次方程.但是...
修水县17769778475: 解一元二次式的各种方法 - ?
箕壮临泰: 解一元二次方程一般有以下四种方法:直接开平方法,因式分解法,配方法,求根公式法.(1)当方程形如(x-a)2=b(b≥0)时,可用直接开平方法; 把方程变形:左边是一个含有x的式子的完全平方,而右边是一个非负数. 1:先移项:含有...
修水县17769778475: 数学一元二次方程怎么解? 最好说详细点 - ?
箕壮临泰: 1、直接开平方法2、配方法3、因式分解法4、求根公式法直接开平方时,要注意正负号.配方时,两边都要加上1次项系数一半 的平方.因式分解时,要注意使右边的数为0.求根公式法,要注意分母为2a,而分子为-b +\- 根号b^2-4ac . 先算b^2-4ac结果要大于等于0,才有实数根.给偶分具体过程 还要自己学习...