几何的三大问题
几何三大问题(Three major geometric problems),亦称尺规作图问题,源于古希腊是几何学中的著名问题,主要包括尺规作图三大问题:
(1)三等分角问题:即把任意一个已知角三等分;
(2)立方倍积问题:即求作一个立方体,使它的体积等于已知立方体的体积的2倍;
(3)化圆为方问题:也称圆积问题,即求作一个正方形,使它的面积等于一个已知圆的面积。
这三个问题吸引了历代许多学者进行研究,长期未能解决,被称为几何三大问题。直至1837年,Wantzel用代数方法首先证明了(1)、(2)两个问题均属尺规作图不能问题。1882年,林德曼(Lindemann)证明了第三个问题也属于尺规作图不能问题.1895年,克莱因(Klein, (C. )F.)总结了前人的研究,著有《几何三大问题》一书,给出三大问题不可能用尺规来作图的简明证法,彻底解决了两千多年的悬案。如果不限制作图工具,几何三大问题根本就不是什么难题,而且早已解决。公元前5世纪,雅典的智人学派以上述三大问题为中心开展研究,正因为问题不能用尺规来解决,常常使人进人新的领域中去,促进了数学的发展.如激发了圆锥曲线、割圆曲线以及三、四次代数曲线的出现。
内容
三等分角问题
三等分角问题的完整叙述为:在只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分。在尺规作图(指用没有刻度的直尺和圆规作图)的前提下,此题无解。若将条件放宽,例如允许使用有刻度的直尺,或者可以配合其他曲线使用,可以将一给定角分为三等分[1]。
立方倍积问题
立方倍积问题(problem of duplication of a cube)亦称倍立方体问题、德里安问题、Delos问题、德洛斯问题 、第罗斯问题等,是几何三大问题之一。假设已知立方体的棱长为a,所求立方体的棱长为x,则学x3=2a3,令a=1,有x3-2=0。可以证明,若此方程有有理根,不外乎±1,±2,但它们都不是方程的根,因而不存在有理根,根据“有理系数的三次方程若无有理根,则长度等于它的任何实根的线段不能仅用尺规作图”的定理,立方倍积属尺规作图不能问题。
化圆为方问题
化圆为方问题(problem of quadrature of circle),也称圆积问题,由古希腊著名学者阿纳克萨戈勒斯提出的,但是阿纳克萨戈勒斯一生也未能解决自己提出的问题。该问题为求作一个正方形,使其面积等于已知圆的面积,其难度在于作图使用工具的限制。若不受标尺的限制,化圆为方问题并非难事,欧洲文艺复兴时代的大师,意大利数学家达芬奇(1452-1519)用已知圆为底,圆半径的1/2为高的圆柱,在平面上滚动一周,所得的矩形,其面积恰为圆的面积,所得矩形的面积为r/2,2πr=πr2,然后再将矩形化为等积的正方形即可。
意义
虽然三大几何作图难都被证明是不可能由尺规作图的方式做到的,但是为了解决这些问题,数学家们进行了前赴后继的探索,最后得到了不少新的成果,发现了许多新的方法。同时,它反映了数学作为一门科学,它是一片浩瀚深邃的海洋,仍有许多未知的谜底等待这我们去发现。
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德美康容:[答案] 古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题.用数学语言表达就是:已知一个立方体,求作一个立方体,使它的体积是已知立方体的两倍.另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题.
罗平县17267963918: 几何三大问题是什么 - ?
德美康容:[答案] 1.化圆为方-求作一正方形使其面积等於一已知圆; 2.三等分任意角; 3.倍立方-求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍.
罗平县17267963918: 古希腊的三大几何问题是什么? - ?
德美康容:[答案] 采用尺规作图: 1 三等分一个角,不可能是因为不能作出一般三次方程的根 2 立方倍积,不可能是因为作不出2的立方根 3 化圆为方,不可能是因为作不出圆周率! 其实还有个是作正十七边形,这个由德国高斯解决了,所以三个不肯能问题就指以上...
罗平县17267963918: “几何三大问题”是什么啊??
德美康容: 这是三个作图题,只使用圆规和直尺求出下列问题的解,直到十九世纪被证实这是不可能的: 1.立方倍积,即求作一立方体的边,使该立方体的体积为给定立方体的两倍. 2.化圆为方,即作一正方形,使其与一给定的圆面积相等. 3.三等分角,即分一个给定的任意角为三个相等的部分.
罗平县17267963918: 古希腊三大几何问题是什么? - ?
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罗平县17267963918: 古希腊的“几何作图三大难题”是什么?这三大难题是在公元前五世纪,首次由古希腊雅典城内一个包括各方面学者的智慧(巧辩)学派提出的. - ?
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罗平县17267963918: 古代的三大几何难题是哪三大? - ?
德美康容:[答案] 平面几何作图限制只能用直尺、圆规,而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺.用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形,但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来.有些问题看起来好像很简单,但真正做出来却很困难,...
罗平县17267963918: 三大几何难题 - ?
德美康容: 三大几何难题是指: (1)倍立方体:即作一立方体,是该立方体的体积为给定立方体的两倍; (2)但等分角:即对人员给定的一个角,作其三等分角; (3)化圆为方:即作一个正方形,使其面积与一给定的圆相等 “古希腊三大几何问...
罗平县17267963918: 世界三大几何难题是什么? - ?
德美康容: 、 化圆为方问题:求作一正方形,使其面积等于一已知圆. 2、 立方倍积:求作一立方体,使其体积是已知立方体的二倍. 3、 三等分任意角:画将任意角的三等分角