立体几何:如何判断一个点是否在一个三角形的三维平面里面,已知平面上的三个端点l1,l2,l3和该平
已知:三角形ABC,点P
问题:点P是否在三角形内
1.面积法
如果三角形PAB、PAC和PBC的面积之和与三角形ABC的面积相等,则可判定点P在三角形ABC内(包括在三条边上)。
已知三角形顶点A、B、C)的坐标分别为(Ax, Ay)、(Bx, By)、(Cx, Cy),即可计算其面积:
S = |(Ax * By + Bx * Cy + Cx * Zy - Ay * Bx - By * Cx - Cy * Ax) / 2|
2.线段法
如果线段PA与线段BC、或者线段PB与线段AC、或者线段PC与线段AB有交点,则可判定点P在三角形之外。
如果点P到AB的距离比C到AB的距离短,并且点P到AC的距离比B到AC的距离短,并且点P到BC的距离比A到BC的距离短,则可以判定点P在三角形内。
3.向量法
设三边方程BC:fa(x,y)=0,AC:fb(x,y)=0,AB:fc(x,y)=0
以BC为例,在三角形内的点必须与点A在BC的同侧,对于点P(x,y)在三角形内首先要满足fa(x,y)*fa(Ax, Ay)>0,其他边也同理,所以只要比较fa(x,y)*fa(Ax, Ay)、fb(x,y)*fb(Bx, By)、fc(x,y)*fc(Cx, Cy)
这三个数的正负性
1)三个数都是正数:D在三角形内
2)至少有一个负数:D在三角形外
3)有且只有一个0,另两个为正数:在三角形边上
4)有且只有一个0,一个正数一个负数:在三角形边的延长线上,也算在三角形外,因为满足2
5)有二个0:在三角形的顶点上
6)不可能出现3个0,或3个负数,或一个0两个负数的情况
4.同向法
假设点P位于三角形内,沿着ABCA的方向在三条边上行走时,点P始终位于边AB,BC和CA的右侧。当选定线段AB时,点C位于AB的右侧,同理选定BC时,点A位于BC的右侧,最后选定CA时,点B位于CA的右侧,所以当选择某一条边时,我们只需验证点P与该边所对的点在同一侧即可。判断两个点在某条线段的同一侧可以通过叉积来实现,连接PA,将PA和AB做叉积,再将CA和AB做叉积,如果两个叉积的结果方向一致,那么两个点在同一侧。
已知:三角形ABC,点P
问题:点P是否在三角形内
1.面积法
如果三角形PAB、PAC和PBC的面积之和与三角形ABC的面积相等,则可判定点P在三角形ABC内(包括在三条边上)。
已知三角形顶点A、B、C)的坐标分别为(Ax, Ay)、(Bx, By)、(Cx, Cy),即可计算其面积:
S = |(Ax * By + Bx * Cy + Cx * Zy - Ay * Bx - By * Cx - Cy * Ax) / 2|
2.线段法
如果线段PA与线段BC、或者线段PB与线段AC、或者线段PC与线段AB有交点,则可判定点P在三角形之外。
如果点P到AB的距离比C到AB的距离短,并且点P到AC的距离比B到AC的距离短,并且点P到BC的距离比A到BC的距离短,则可以判定点P在三角形内。
3.向量法
设三边方程BC:fa(x,y)=0,AC:fb(x,y)=0,AB:fc(x,y)=0
以BC为例,在三角形内的点必须与点A在BC的同侧,对于点P(x,y)在三角形内首先要满足fa(x,y)*fa(Ax, Ay)>0,其他边也同理,所以只要比较fa(x,y)*fa(Ax, Ay)、fb(x,y)*fb(Bx, By)、fc(x,y)*fc(Cx, Cy)
这三个数的正负性
1)三个数都是正数:D在三角形内
2)至少有一个负数:D在三角形外
3)有且只有一个0,另两个为正数:在三角形边上
4)有且只有一个0,一个正数一个负数:在三角形边的延长线上,也算在三角形外,因为满足2
5)有二个0:在三角形的顶点上
6)不可能出现3个0,或3个负数,或一个0两个负数的情况
4.同向法
假设点P位于三角形内,沿着ABCA的方向在三条边上行走时,点P始终位于边AB,BC和CA的右侧。当选定线段AB时,点C位于AB的右侧,同理选定BC时,点A位于BC的右侧,最后选定CA时,点B位于CA的右侧,所以当选择某一条边时,我们只需验证点P与该边所对的点在同一侧即可。判断两个点在某条线段的同一侧可以通过叉积来实现,连接PA,将PA和AB做叉积,再将CA和AB做叉积,如果两个叉积的结果方向一致,那么两个点在同一侧。
怎样判断一个几何体的面是平面还是曲面?
通过面的任意一个角点或边缘点,向面内任意方向画射线,这个角点(或边缘点)与面内这条射线上所有的点的垂直角值都相等;如果面内任意一条射线都具有这特性,那么这个面就是一个平面.
如何判断一个几何体是不是球体?
体是由面围成的。面有平面,有曲面。例如长方体是由六个平面围成的;球是由一个曲面围成的;圆柱是由一个曲面和两个平面围成的。按构成体的主要元素——面的特点,可以把体分成两类:第一类是有曲面参与其中的曲面几何体,也称曲面立体,如:圆柱体、球体。第二类是纯由平面围成的平面几何体,...
如何判断一个几何体是棱台?
判断应该用性质:(1)正棱台的侧棱相等,侧面是全等的等腰梯形。各等腰梯形的高相等,它叫做正棱台的斜高;(2)正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形;(3)正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形;两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形。...
高中立体几何都有哪些重点?
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内。(1)判定直线在平面内的依据 (2)判定点在平面内的方法 公理2:如果两个平面有一个公共点,那它还有其它公共点,这些公共点的集合是一条直线 。(1)判定两个平面相交的依据 (2)判定若干个点在两个相交平面...
立体几何中,如何确定两个平面的交线是哪一条呢 ???
你的困惑可能是这样的图形,一般是在一条边(如图中的BC)上选一个特殊点(如图中的M),得到直线AM与平面α的交点D,连接CD 即可得到平面ABC与平面α的交线。假如平面ABC与平面α的交点在图形中一个也没有,则可以延长ABC的两条边,得到与平面α的两个不同交点,连接这两个交点即可。如果你认可我...
怎么根据三面图判断一个几何体的表面积
∵如图所示可知,圆锥的高为12,底面圆的直径为10, ∴圆锥的母线为:13, ∴根据圆锥的侧面积公式:πrl=π×5×13=65π, 底面圆的面积为:πr 2 =25π, ∴该几何体的表面积为90π. 故答案为:90π.
如何判断两个几何体的线面平行?
1、判定定理:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行。2、性质定理:如果两个平面平行同时与第三个平面相交,那它们的交线平行。三、线面垂直。 1、判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。2、...
如何判断几何形体的形心位置?
【形心】1,面的形心就是截面图形的几何中心,质心是针对实物体而言的,而形心是针对抽象几何体而言的,对于密度均匀的实物体,质心和形心重合。2,n 维空间中一个对象X的几何中心或形心是将X分成矩相等的两部分的所有超平面的交点。非正式地说,它是X中所有点的平均。如果一个物件质量分布平均,形心...
几何异构体怎么判断
几何异构 几何异构是组成相同的配合物的不同配体在空间几何排列不同而致的异构现象,主要出现在配位数为4的平面正方形和配位数为6的八面体结构中,以顺式-反式异构体与面式-经式异构体的形式存在。从空间关系上考虑,顺式(cis-)是指相同的配体处于邻位,反式(trans-)是指相同的配体处于对位...
高中数学立体几何有哪些小性质、小结论?
推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且仅有一个平面。 (1)判定若干条直线共面的依据 (2)判断若干个平面重合的依据 (3)判断几何图形是平面图形的依据 推论2:经过两条相交直线,有且仅有一个平面。推论3:经过两条平行线,有且仅有一个平面。立体几何 直线与平面 --- 空 间 二 直 ...
戢底依芬: 要用解析几何的方法做,将点的坐标带入圆的标准方程的左边,得出的结果如果小于半径的平方,则点在圆内,等于则在圆上,大于则在圆外
太子河区19280997680: 数学,立体几何的三个推论,三个公理,总结一下 - ?
戢底依芬: 下面是解立体几何一些简单的公式定例: 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内. (1)判定直线在平面内的依据 (2)判定点在平面内的方法 公理2:如果两个平面有一个公共点,那它还有其它公...
太子河区19280997680: 如何判断一个点是否在三角形内 - ?
戢底依芬: 我有个想法,就是先判断该点是否在三角形上,如过是就不用在判断了,否则从该点做一条平行于x轴的射线,判断此射线与三角形的边有几个交点,如果是一个,则在三角形内,如果是0个或2个则在三角形外.
太子河区19280997680: #立体几何#过已知直线外一点与这条直线上的三点分别画三条直线,判断这三条直线是否在同一个平面内并说明?
戢底依芬: 是在同一平面内.已知直线外任何一点与直线上所有的点连接都在同一平面内.
太子河区19280997680: 详细帮我讲解一下立体几何 - ?
戢底依芬: 数学上,立体几何(solid geometry)是3维欧氏空间的几何的传统名称— 因为实践上这大致上就是我们生活的空间.一般作为平面几何的后续课程.立体测绘(Stereometry)处理不同形体的体积的测量问题:圆柱,圆锥, 圆台, 球, 棱柱,棱...
太子河区19280997680: 高二数学立体几何知识点 - ?
戢底依芬: 一线线问题 1 位置关系(定义) 相交:有且只有一个公共点 平行:在 同一平面内 没有公共点 异面:不同在任何一个平面内,没有公共点 2 公理及推论 【要记忆】 3 考点 ---异面直线所成角①→直角→公垂线(垂直相交)→异面直线间距离 ① ...
太子河区19280997680: 怎样判断一个点是否在三角形内或者外 - ?
戢底依芬: 设三角形三个点 A(a1,a2),B(b1,b2),C(c1,c2) 三条边方程 BC:fa(x,y)=0 AC:fb(x,y)=0 AB:fc(x,y)=0 以BC为例,在三角形内的点必须与点A在BC的同侧 所以对于点D(x,y) 在三角形内首先要满足fa(x,y)*fa(a1,a2)>0 其他边也同理 所以只要比较 fa(x,y)*fa(...
太子河区19280997680: 假设有个不规则的几何图形如何判断点(x,y)是否在几何图形内 - ?
戢底依芬: 首先,楼上的说法都是错误的!!分析:设该曲线对应方程为f(x,y)=0,对平面任一点P(x0,y0),f(x0,y0)>0,f(x0,y0)=0,f(x0,y0)因此,f(x,y)=0以外的点P必满足f(x0,y0)>0或f(x0,y))其次,大于和小于零都是相对而言的,设f(x0,y0)>0,那么-f(x0,y0)不妨令g...
太子河区19280997680: 高中数学三角函数和立体几何公式立体几何要 线线平行 垂直面面平行 垂直线面平行 垂直的判断依据 - ?
戢底依芬:[答案] 高中立体几何梳理(看完立几无难题!) 基本概念 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内. 公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3: 过不在同一...
太子河区19280997680: 平面及立体几何中 确定一条一条直线要几个点? - ?
戢底依芬: 在立体几何,所有的每一个图形,(大实话:)都是由点线面构成的.一个多面体,有“顶点”.每一个顶点都必须至少是三个平面的相交处得到的.而且是三条交线的公共点.这是画立体图的基本原则.我们针对某个问题,完全可以直截了当...