立体几何：如何判断一个点是否在一个三角形的三维平面里面，已知平面上的三个端点l1,l2,l3和该平

如何判断一个点是否在三角形内~

已知：三角形ABC，点P
问题：点P是否在三角形内
1.面积法
如果三角形PAB、PAC和PBC的面积之和与三角形ABC的面积相等，则可判定点P在三角形ABC内（包括在三条边上）。
已知三角形顶点A、B、C)的坐标分别为（Ax, Ay）、（Bx, By）、（Cx, Cy），即可计算其面积：
S = |(Ax * By + Bx * Cy + Cx * Zy - Ay * Bx - By * Cx - Cy * Ax) / 2|
2.线段法
如果线段PA与线段BC、或者线段PB与线段AC、或者线段PC与线段AB有交点，则可判定点P在三角形之外。
如果点P到AB的距离比C到AB的距离短，并且点P到AC的距离比B到AC的距离短，并且点P到BC的距离比A到BC的距离短，则可以判定点P在三角形内。
3.向量法
设三边方程BC:fa(x,y)=0，AC:fb(x,y)=0，AB:fc(x,y)=0
以BC为例，在三角形内的点必须与点A在BC的同侧，对于点P(x,y)在三角形内首先要满足fa(x,y)*fa(Ax, Ay)>0，其他边也同理，所以只要比较fa(x，y)*fa(Ax, Ay)、fb(x，y)*fb(Bx, By)、fc(x，y)*fc(Cx, Cy)
这三个数的正负性
1）三个数都是正数：D在三角形内
2）至少有一个负数：D在三角形外
3）有且只有一个0，另两个为正数：在三角形边上
4）有且只有一个0，一个正数一个负数：在三角形边的延长线上，也算在三角形外，因为满足2
5）有二个0：在三角形的顶点上
6）不可能出现3个0，或3个负数，或一个0两个负数的情况
4.同向法
假设点P位于三角形内，沿着ABCA的方向在三条边上行走时，点P始终位于边AB，BC和CA的右侧。当选定线段AB时，点C位于AB的右侧，同理选定BC时，点A位于BC的右侧，最后选定CA时，点B位于CA的右侧，所以当选择某一条边时，我们只需验证点P与该边所对的点在同一侧即可。判断两个点在某条线段的同一侧可以通过叉积来实现，连接PA，将PA和AB做叉积，再将CA和AB做叉积，如果两个叉积的结果方向一致，那么两个点在同一侧。

已知：三角形ABC，点P
问题：点P是否在三角形内
1.面积法
如果三角形PAB、PAC和PBC的面积之和与三角形ABC的面积相等，则可判定点P在三角形ABC内（包括在三条边上）。
已知三角形顶点A、B、C)的坐标分别为（Ax, Ay）、（Bx, By）、（Cx, Cy），即可计算其面积：
S = |(Ax * By + Bx * Cy + Cx * Zy - Ay * Bx - By * Cx - Cy * Ax) / 2|
2.线段法
如果线段PA与线段BC、或者线段PB与线段AC、或者线段PC与线段AB有交点，则可判定点P在三角形之外。
如果点P到AB的距离比C到AB的距离短，并且点P到AC的距离比B到AC的距离短，并且点P到BC的距离比A到BC的距离短，则可以判定点P在三角形内。
3.向量法
设三边方程BC:fa(x,y)=0，AC:fb(x,y)=0，AB:fc(x,y)=0
以BC为例，在三角形内的点必须与点A在BC的同侧，对于点P(x,y)在三角形内首先要满足fa(x,y)*fa(Ax, Ay)>0，其他边也同理，所以只要比较fa(x，y)*fa(Ax, Ay)、fb(x，y)*fb(Bx, By)、fc(x，y)*fc(Cx, Cy)
这三个数的正负性
1）三个数都是正数：D在三角形内
2）至少有一个负数：D在三角形外
3）有且只有一个0，另两个为正数：在三角形边上
4）有且只有一个0，一个正数一个负数：在三角形边的延长线上，也算在三角形外，因为满足2
5）有二个0：在三角形的顶点上
6）不可能出现3个0，或3个负数，或一个0两个负数的情况
4.同向法
假设点P位于三角形内，沿着ABCA的方向在三条边上行走时，点P始终位于边AB，BC和CA的右侧。当选定线段AB时，点C位于AB的右侧，同理选定BC时，点A位于BC的右侧，最后选定CA时，点B位于CA的右侧，所以当选择某一条边时，我们只需验证点P与该边所对的点在同一侧即可。判断两个点在某条线段的同一侧可以通过叉积来实现，连接PA，将PA和AB做叉积，再将CA和AB做叉积，如果两个叉积的结果方向一致，那么两个点在同一侧。

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