求助利用欧拉公式将函数(e^x)cos x展开成x的幂级数
简单计算一下即可，答案如图所示
cosx=[e^ix+e^(-ix)]/2
e^x cosx=[e^(x+ix)+e^(x-ix)]/2
=1/2*∑[(x+ix)^n+(x-ix)^n]/n!
=1/2* ∑[x^n/n!*( (1+i)^n+(1-i)^n]
因
1+i=√2(cosπ/4+isinπ/4)
1-i=√2[cos(-π/4)+isin(-π/4)]
(1+i)^n+(1-i)^n=(√2)^n* 2cosnπ/4
故e^xcosx=∑[x^n/n! *(√2)^n cosnπ/4]
类似地：
sinx=[e^ix-e^(-ix)]/2i
e^x sinx=[e^(x+ix)-e^(x-ix)]/2i
=1/2*∑[(x+ix)^n-(x-ix)^n]/n!
=1/2* ∑[x^n/n!*( (1+i)^n+(1-i)^n]
因
1+i=√2(cosπ/4+isinπ/4)
1-i=√2[cos(-π/4)+isin(-π/4)]
(1+i)^n-(1-i)^n=(√2)^n* 2isin(nπ/4)
故e^xsinx=∑[x^n/n! *(√2)^n sinnπ/4]
简单计算一下即可，答案如图所示
蓝线处， Re 表示取复数的实部（real）。
因由欧拉公式 e^(ix) = cosx + isinx, 其实部是 cosx。
红线处是复数三角式乘方公式，高中学的。
绿线处， Re 取实部， 自然舍弃虚部了。
e的(a+bi)x次方为什么可以用三角函数表示?
由欧拉公式，我们可以将指数函数 $e^x$ 表示成 $\\cos x + i\\sin x$ 的形式，即：e^{ix} = \\cos x + i\\sin x 对于任意复数 $z=a+bi$，我们希望将其表示为指数函数的形式：e^{zx} = e^{(a+bi)x} = e^{ax} e^{bix} 我们已经知道了 $e^{ix}$ 可以用 $\\cos x + i\\...
欧拉公式的证明
步骤三：证明过程展开 接下来，利用三角函数的加法定理和复数运算规则，通过代数变换逐步展开证明。这些变换包括对复数形式的操作以及对三角恒等式的应用。通过这些变换，我们可以证明上述公式成立。步骤四：结论 经过上述步骤的推导和证明，最终可以得出欧拉公式的结论：e^ = cos + i * sin。这个公式在数学...
欧拉公式的证明过程
现在，我们考虑单位圆上的一个点z，它可以表示为z = cos(x) + i*sin(x)。然后，我们应用欧拉公式，得到e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)。通过比较，我们可以发现e^(ix)和z是同一个复数，只是用了不同的表示方法。因此，我们可以得出结论：e^(ix)和z是相等的复数。这就证明了欧拉公式。
最简单的欧拉公式
最简单的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx。欧拉公式 欧拉公式在不同的学科中有着不同的含义。复变函数中，e^(ix)=(cosx+isinx)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则 R+V-E=2，这就是欧拉定理，它于...
ex和三角函数什么关系?
ex与三角函数的关系是欧拉定理。高等代数中使用欧拉公式将三角函数转换为指数。sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]\/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]\/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]\/[ie^(ix)+ie^(-ix)]。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数...
4如何利用欧拉公式 e^10=cos+isin 推导出cos3,sin3等公式?
利用欧拉公式 e^ix = cos(x) + i*sin(x)，我们可以推导出 cos(3x) 和 sin(3x) 的公式。首先，令 x = 10\/3，那么我们有 e^(i*10\/3) = cos(10\/3) + i*sin(10\/3)。接下来，我们要计算 e^(i*10\/3) 的立方。利用指数函数的性质，我们知道 (e^a)^b = e^(a*b)。因此，...
欧拉公式是一种什么公式?
欧拉公式的意思是：当以e为底，以虚数i乘上一个实数x时，其结果可以表示为一个具有实部和虚部的复数，实部为cos（x），虚部为sin（x）。这个公式的深刻之处在于它将三个看似无关的数学概念，即e、i和三角函数cos、sin，联系在了一起。这让欧拉公式成为数学中非常重要的公式，具有广泛的应用。涉及...
欧拉公式怎么推导?
欧拉公式表达为：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)。在这个公式中，e代表自然对数的底数，i是虚数单位。该公式将三角函数的定义域扩展到了复数领域，并建立了三角函数与指数函数之间的联系，在复变函数理论中占据着极其重要的地位。如果我们把公式中的x替换为-x，可以得到另一个表达式：e^(-ix) =...
震撼的欧拉公式
这个公式是震撼人心的原因在于它将三个基本的数学常数e、π和i联系在一起，展示了这些数之间的深刻关系。它揭示了复数与三角函数之间的紧密联系，并且可以用简洁而优雅的方式描述很多复杂的数学问题。欧拉公式的一个重要应用是在复数的指数形式表示中，可以将复数用指数的方式表示出来，这在很多计算和分析...
欧拉公式如何推出来的呢?
您好，欧拉公式是数学中的一条重要公式，它描述了一个复数的指数函数形式。欧拉公式的推导过程如下：首先，我们知道欧拉公式的表达式是 $e^{ix}=\\cos x+i\\sin x$，其中 $e$ 是自然常数，$i$ 是虚数单位，$x$ 是实数。我们可以将 $\\cos x$ 和 $\\sin x$ 用泰勒级数展开：\\begin{aligned} ...
昔寒普司： cosx=[e^ix+e^(-ix)]/2 e^x cosx=[e^(x+ix)+e^(x-ix)]/2 =1/2*∑[(x+ix)^n+(x-ix)^n]/n! =1/2* ∑[x^n/n!*( (1+i)^n+(1-i)^n] 因 1+i=√2(cosπ/4+isinπ/4) 1-i=√2[cos(-π/4)+isin(-π/4)] (1+i)^n+(1-i)^n=(√2)^n* 2cosnπ/4 故e^xcosx=∑[x^n/n! *(√2)^n cosnπ/4]类似地...
肇州县15019772928： 求积分,如图 - ？
昔寒普司： 解:分享一种利用欧拉公式【e^(ix)=cosx+isinx】的解法.【计算过程中,设c=y-i(ξ-x),丨c丨>0】设I1=∫(0,∞)e^(-αy)cosα(ξ-x)dα,I2=∫(0,∞)e^(-αy)sinα(ξ-x)dα,则I=I1+iI2=∫(0,∞)e^[-αy+iα(ξ-x)]dα=∫(0,∞)e^(-αc)dα=(-1/c)e^(-αc)丨(α=0,∞)=1/c=1/[y-i(ξ-x)]=[y-i(ξ-x)]/[y^2+(ξ-x)^2],∴原式=I1=y/[y^2+(ξ-x)^2].供参考.
肇州县15019772928： 关于常微分方程中的问题(欧拉公式) - ？
昔寒普司： 解:思路是不错的.将特征值r=±i代入Y=C1e^r1x+C2e^r2x,有Y=C1e^ix+C2e^(-ix).利用欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx,可得e^(-ix)=cosx-isinx,再代入Y经整理(i为常数,并对常数表示式略作调整)即可.供参考啊.
肇州县15019772928： 用欧拉公式函数进行幂级数展开用欧拉公式展开 e^x * cosx .这是同济大学高等数学第五版下册P229习题11 - 5的3题.答案书里给的不清楚,它是用柯西乘法给出... - ？
昔寒普司：[答案] cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2e^x cosx=[e^(1+i)x+e^(1-i)x]/2=1+a1x+a2x^2/2!+..anx^n/n!+.an=[(1+i)^n+(1-i)^n]/2=[(√2)^n(cosnπ/4+isinnπ/4)+(√2)^n(cos-nπ/4+isin(-nπ/4)]/2=2^(n/2)cos(nπ/4)
肇州县15019772928： 把函数f(x)=e^x展开成x的幂函数.求帮忙解决 - ？
昔寒普司： 泰勒中值定理:若函数f(x)在开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和:f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(...
肇州县15019772928： 欧拉公式的所有内容及有关运用欧拉公式的例题 - ？
昔寒普司： 欧拉公式有4条 (1)分式: a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c (2)复数 由e^iθ=cosθ+isinθ,得到: sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2 此函数将两种截然不同的函数---指数函数与...
肇州县15019772928： 用欧拉公式函数进行幂级数展开用欧拉公式展开 e^x * cosx .这是同济大学高等数学第五版下册P229习题11 - 5的3题.答案书里给的不清楚,它是用柯西乘法... - ？
昔寒普司：[答案] cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 e^x cosx=[e^(1+i)x+e^(1-i)x]/2=1+a1x+a2x^2/2!+..anx^n/n!+.... an=[(1+i)^n+(1-i)^n]/2=[(√2)^n(cosnπ/4+isinnπ/4)+(√2)^n(cos-nπ/4+isin(-nπ/4)]/2 =2^(n/2)cos(nπ/4)
肇州县15019772928： 欧拉公式e^ix=cosx+isinx是怎么推出来的 - ？
昔寒普司： 将函数y=e^x、y=sinx、y=cosx用幂级数展开,有e^x=exp(x)=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+…+x^n/n!+… <1> sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+…… <2> cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+…… <3>将<...
肇州县15019772928： 欧拉公式的推导 - ？
昔寒普司： 复变函数论里的欧拉公式e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位. e^ix=cosx+isinx的证明: 因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/...
肇州县15019772928： 函数e的x次方乘cosx展开成x的幂函数高数下,282页 - ？
昔寒普司：[答案] 这个题目需要利用欧拉公式 (e^x)[cos(x)+i*sin(x)]=e^[(1+i)x] 把这个函数展开成x的幂级数 e^[(1+i)x]=∑[(1+i)^n]*(x^n)/n! 取这个级数的实部,就是(e^x)*cos(x)的展开式. 因为(1+i)^n=[√2*e^(i*π/4)]^n=[2^(...
