二项分布数学期望和方差公式，

二项分布数学期望和方差公式，~

二项分布的期望、方差公式：

X～b(n,p)，其中n≥1,0<p<1.
P{X=k}=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k),k=0,1,...,n.
EX=np,DX=np(1-p).
最简单的证明方法是：X可以分解成n个相互独立的，都服从以p为参数的(0-1)分布的随机变量之和：
X=X1+X2+...+Xn,Xi～b(1,p)，i=1,2,...,n.
P{Xi=0}=1-p,P(Xi=1)=p.
EXi=0*(1-p)+1*p=p,
E(Xi^2)=0^2*(1-p)+1^2*p=p,
DXi=E(Xi^2)-(EXi)^2=p-p^2=p(1-p).
EX=EX1+EX2+...+EXn=np,
DX=DX1+DX2+...+DXn=np(1-p).

1、二项分布求期望：

公式：如果r～ B(r,p），那么E(r)=np

示例：沿用上述猜小球在哪个箱子的例子，求猜对这四道题目的期望。E(r) = np = 4×0.25 = 1 （个），所以这四道题目预计猜对1道。

2、二项分布求方差：

公式：如果r～ B(r,p），那么Var(r)=npq

示例：沿用上述猜小球在哪个箱子的例子，求猜对这四道题目的方差。

Var(r)=npq = 4×0.25×0.75=0.75

扩展资料

由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和.

设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n).

因X(k)相互独立，所以期望：

方差：

参考资料来源：百度百科-二项分布

二项分布的期望的方差的证明
山西大学附属中学 韩永权
离散型随机变量的二项分布:
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是Pn(k)Cnkpkqnk，（k0,1,2n q1p）

称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记Cnkpkqnk＝b(k；n，p)．
1 求证：服从二项分布的随机变量的期望Enp.
kk1
证明如下：预备公式： kcnncn1
00n10n220n2k1k1(n1)(nk)n1n10(pq)n1(cnc1cn...cnq...cnq)1pqn1pq1pq1p1pkkkknk因为p(k)cnp(1p)nkcnpq,
00n1n122n2kknkn0n所以 E0cnpq1c12cnpq...kcnpq...ncnpq npq00n110n220n2k1k1(n1)(nk)n1n10 =np(cnpqcpqcpq...cpq...cq) 1n1n1n1n1p
=np(pq)n1np 所以Enp 方法二：
证明：若 X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X的数学期望。
若设Xi
1如第i次试验成功
i1,2,
0如第i次试验失败
n
则XX1X2...Xn，因为 P(Xi1)P，P(Xi0)1Pq 所以E(Xi)0q1pp，则E(X)E[Xi]E(Xi)np
i1
i1
n
n
可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np 需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。 2 求证：服从二项分布的随机变量
的方差公式
Dnpq(q1p)
1k2
预备公式：k2CnknCnk1n(n1)Cn2 kk1k1k2CnknCn)1]Cn1n[(k11
k1k12kk1k2k1k2nCn)Cn1n(k1)Cn1nCn1n(n12 kCnnCn1n(n1)Cn2
22方法一：证明：DE(E)
iini
Ei2Cnpq 2
i0
n
n
n
Cpq
1
n
n1
nC
i2n
i1n1
pq
ini
i2ini
n(n1)Cn 2pqi2
npq
n1
npC
i1
i1
n1
pq
i1ni
npCq
0n1n1
n(n1)p
2
C
i2
n
i2n2
pi2qni
npqn1np(pq)n1npqn1n(n1)p2(pq)n2
npqn1npnpqn1n(n1)p2npn2p2np2np(1p)n2p2npqn2p2
22
由公式D(X)E(X2)[E(X)]2知，DE(E)
npqn2p2(np)2np(1p)
方法二： 设~B(n,p), 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数。
若设Xi
n
1如第i次试验成功
i1,2,
0如第i次试验失败
n
则i是n次试验中“成功”的次数，E(i)0q1pp，
i1
故 D(i)E(i2)[E(i)]2pp2p(1p)， i1,2,,n 由于1,2,...,n相互独立，于是
n
D()D(i)np(1p)
i1

　　1、二项分布数学期望Eξ=∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)
　　=∑{ξ =0，n}ξ*n!/ξ!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)
　　=∑{ξ =1，n}n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)
　　=n*p*∑{ξ =1，n}C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)
　　=n*p*(p+q)^(n-1)
　　=n*p，
　　方差Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2
　　=∑{ξ =0，n}ξ^2*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ) － n*p*∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)
　　=n*p*∑{ξ =1，n}ξ*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^(ξ-1) *q^(n-ξ) － n*p*∑{ξ =1，n}ξ*C{ξ ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)
　　=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*(C{ξ-1，n-1}－C{ξ ，n}＋C{ξ ，n}*q)
　　=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*[C{ξ ，n}*q－(C{ξ ，n}－C{ξ-1，n-1})]
　　=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ ，n}*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n-1}]
　　=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-1-ξ)!]
　　=n*p*[∑{ξ =1，n}n*q*C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－
　　∑{ξ =1，n-1}(n-1)*q*C{ξ-1，n-2}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ-1)]
　　=n*p*[n*q*(p+q)^(n-1)－(n-1)*q*(p+q)^(n-2)]
　　=n*p*[n*q－(n-1)*q]
　　=n*p*q，其中p为单次事件发生的概率，q=1-p。
　　2、二项分布的概念：在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。

期望 E（x）=np 方差=np（1-p）
望采纳 谢谢

二项分布的期望、方差公式：

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额济纳旗19889079475： 最好全一点,二项分布期望和方差的公式两点分布期望和方差的公式超几何期望和方差的公式 - ？
竹宋穿金：[答案] 二项分布期望:Ex=np 方差:Dx=np(1-p) (n是n次独立事件 p为成功概率) 两点分布期望:Ex=p 方差:Dx=p(1-p) 对于离散型随机变量: 若Y=ax+b也是离散,则EY=aEx+b DY=(a^2)*Dx 期望通式:Ex=x1*p1+x2*p2+...+xn*pn 方差通式:Dx=(x1-Ex)^2 ...

额济纳旗19889079475： 数学期望和方差的几个推广公式? - ？
竹宋穿金：[答案] 对于2项分布(例子:在n次试验中有K次成功,每次成功概率为P,他的分布列求数学期望和方差)有EX=np DX=np(1-p) n为试验次数 p为成功的概率 对于几何分布(每次试验成功概率为P,一直试验到成功为止)有EX=1/P DX=p^2/q 还有任何分布...

额济纳旗19889079475： 求二项概率分布的期望和方差的推导公式 - ？
竹宋穿金：[答案] n次试验成功率p期望是npE(X)=np把二项分布X拆分为n个伯努利(p)的和伯努利分布表示为YY的分布如下Y 1 0 P p 1-pE(Y)=p(1)=pE(Y^2)=p(1^2)=pD(Y)=p-p^2X=Y1+Y2+.Yn每个Yi都和Y独立同分布D(X)=nD(Y)=n(p-p^2)=np(1-p)...

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竹宋穿金： 二项分布B(n,p) 的期望为np 方差为np(1-p) 几何分布 的期望为1/p 方差为(1-p)/p^2

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竹宋穿金： 二项分布b(n,p) 期望 np 方差 np(1-p) 几何分布G(p) 期望 1/p 方差 (1-p)/(pXp)

额济纳旗19889079475： 二项分布的数学期望E(X^2)怎么求? - ？
竹宋穿金： 因为x服从二项分布b(n,p), 所以e(x)=np,d(x)=npq而方差d(x)=e(x^2)-[e(x)]^2,因为e(x^2)=d(x)+[e(x)]^2=npq+(np)^2=np(q+np),即e(x^2)=np(np+q) 二项分布即重复n次独立的伯努利试验.在每次试验中只有两种可能的结果,而且两种结果发生与...

额济纳旗19889079475： 高三数学中随机变量服从二项分布及几何分布的期望值和方差公式如何推导是只需记住还是需要会推导?用高中知识可不可以推导出来? - ？
竹宋穿金：[答案] 二项分布的数学期望推导:采用离散型随机变量数学期望公式即可.将X平方后可求E(X^2). 方差推导:求出E(X)及E(X^2)即可求方差