二项分布数学期望和方差公式,
二项分布的期望、方差公式:
X~b(n,p),其中n≥1,0<p<1.
P{X=k}=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k),k=0,1,...,n.
EX=np,DX=np(1-p).
最简单的证明方法是:X可以分解成n个相互独立的,都服从以p为参数的(0-1)分布的随机变量之和:
X=X1+X2+...+Xn,Xi~b(1,p),i=1,2,...,n.
P{Xi=0}=1-p,P(Xi=1)=p.
EXi=0*(1-p)+1*p=p,
E(Xi^2)=0^2*(1-p)+1^2*p=p,
DXi=E(Xi^2)-(EXi)^2=p-p^2=p(1-p).
EX=EX1+EX2+...+EXn=np,
DX=DX1+DX2+...+DXn=np(1-p).
1、二项分布求期望:
公式:如果r~ B(r,p),那么E(r)=np
示例:沿用上述猜小球在哪个箱子的例子,求猜对这四道题目的期望。E(r) = np = 4×0.25 = 1 (个),所以这四道题目预计猜对1道。
2、二项分布求方差:
公式:如果r~ B(r,p),那么Var(r)=npq
示例:沿用上述猜小球在哪个箱子的例子,求猜对这四道题目的方差。
Var(r)=npq = 4×0.25×0.75=0.75
扩展资料
由二项式分布的定义知,随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数,且在每次试验中A发生的概率为p。因此,可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的(0-1)分布随机变量之和.
设随机变量X(k)(k=1,2,3...n)服从(0-1)分布,则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n).
因X(k)相互独立,所以期望:
方差:
参考资料来源:百度百科-二项分布
二项分布的期望的方差的证明
山西大学附属中学 韩永权
离散型随机变量的二项分布:
在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是Pn(k)Cnkpkqnk,(k0,1,2n q1p)
称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B(n,p),其中n,p为参数,并记Cnkpkqnk=b(k;n,p).
1 求证:服从二项分布的随机变量的期望Enp.
kk1
证明如下:预备公式: kcnncn1
00n10n220n2k1k1(n1)(nk)n1n10(pq)n1(cnc1cn...cnq...cnq)1pqn1pq1pq1p1pkkkknk因为p(k)cnp(1p)nkcnpq,
00n1n122n2kknkn0n所以 E0cnpq1c12cnpq...kcnpq...ncnpq npq00n110n220n2k1k1(n1)(nk)n1n10 =np(cnpqcpqcpq...cpq...cq) 1n1n1n1n1p
=np(pq)n1np 所以Enp 方法二:
证明:若 X~B(n,p),则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数,现在我们来求X的数学期望。
若设Xi
1如第i次试验成功
i1,2,
0如第i次试验失败
n
则XX1X2...Xn,因为 P(Xi1)P,P(Xi0)1Pq 所以E(Xi)0q1pp,则E(X)E[Xi]E(Xi)np
i1
i1
n
n
可见,服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np 需要指出,不是所有的随机变量都存在数学期望。 2 求证:服从二项分布的随机变量
的方差公式
Dnpq(q1p)
1k2
预备公式:k2CnknCnk1n(n1)Cn2 kk1k1k2CnknCn)1]Cn1n[(k11
k1k12kk1k2k1k2nCn)Cn1n(k1)Cn1nCn1n(n12 kCnnCn1n(n1)Cn2
22方法一:证明:DE(E)
iini
Ei2Cnpq 2
i0
n
n
n
Cpq
1
n
n1
nC
i2n
i1n1
pq
ini
i2ini
n(n1)Cn 2pqi2
npq
n1
npC
i1
i1
n1
pq
i1ni
npCq
0n1n1
n(n1)p
2
C
i2
n
i2n2
pi2qni
npqn1np(pq)n1npqn1n(n1)p2(pq)n2
npqn1npnpqn1n(n1)p2npn2p2np2np(1p)n2p2npqn2p2
22
由公式D(X)E(X2)[E(X)]2知,DE(E)
npqn2p2(np)2np(1p)
方法二: 设~B(n,p), 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数。
若设Xi
n
1如第i次试验成功
i1,2,
0如第i次试验失败
n
则i是n次试验中“成功”的次数,E(i)0q1pp,
i1
故 D(i)E(i2)[E(i)]2pp2p(1p), i1,2,,n 由于1,2,...,n相互独立,于是
n
D()D(i)np(1p)
i1
1、二项分布数学期望Eξ=∑{ξ =0,n}ξ*C{ξ ,n}*p^ξ *q^(n-ξ)
=∑{ξ =0,n}ξ*n!/ξ!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)
=∑{ξ =1,n}n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)
=n*p*∑{ξ =1,n}C{ξ-1,n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)
=n*p*(p+q)^(n-1)
=n*p,
方差Dξ =E(ξ^2)-Eξ^2
=∑{ξ =0,n}ξ^2*C{ξ,n}*p^ξ *q^(n-ξ) - n*p*∑{ξ =0,n}ξ*C{ξ ,n}*p^ξ *q^(n-ξ)
=n*p*∑{ξ =1,n}ξ*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^(ξ-1) *q^(n-ξ) - n*p*∑{ξ =1,n}ξ*C{ξ ,n}*p^ξ *q^(n-ξ)
=n*p*∑{ξ =1,n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*(C{ξ-1,n-1}-C{ξ ,n}+C{ξ ,n}*q)
=n*p*∑{ξ =1,n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*[C{ξ ,n}*q-(C{ξ ,n}-C{ξ-1,n-1})]
=n*p*[∑{ξ =1,n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ ,n}*q-∑{ξ =1,n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ,n-1}]
=n*p*[∑{ξ =1,n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*q-∑{ξ =1,n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-1-ξ)!]
=n*p*[∑{ξ =1,n}n*q*C{ξ-1,n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)-
∑{ξ =1,n-1}(n-1)*q*C{ξ-1,n-2}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ-1)]
=n*p*[n*q*(p+q)^(n-1)-(n-1)*q*(p+q)^(n-2)]
=n*p*[n*q-(n-1)*q]
=n*p*q,其中p为单次事件发生的概率,q=1-p。
2、二项分布的概念:在每次试验中只有两种可能的结果,而且两种结果发生与否互相对立,并且相互独立,与其它各次试验结果无关,事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变,则这一系列试验总称为n重伯努利实验,当试验次数为1时,二项分布就是伯努利分布。
期望 E(x)=np 方差=np(1-p)
望采纳 谢谢
二项分布的期望、方差公式:
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