在三角形ABC中,,已知sinA\sinC=sin(A-B)\sin(B-C),求证:a^2+c^2=2b^2

已知三角形ABC中,A:B:C=1:2:3,a=1,则a-2b+c/sinA-2sinB+sinC=？~

因为A+B+C=180°

A:B:C=1:2:3

所以A=30°，B=60°，C=90°

由正弦定理得

b=asinB/sinA=√3

c=asinC/sinA=2

则(a-2b+c)/(sinA-2sinB+sinC)=2



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sinC=sin(180度-A-B)=sin（A+B）
故原式等于sin(A+B)+sin(A-B)=sinA
原式等于(sinAcosB+cosAsinB)+(sinAcosB-cosAsinB)=sinA
2sinAcosB=sinA
因为sinA不等于0，故cosB=1/2。B=60°

解
假设三角形的外接圆的直径为d,对应角的边分别为a，b，c
则a/sinA=b/sinB=c/sinC=d
所以
sinA=a/d
sinB=b/d
sinC=c/d

因为
sinA=sin(B+C)
sinC=sin(A+B)
所以
sin(B+C)/sin(A+B)=sin(A-B)/sin(B-C)
即sin(B+C)sin(B-C)=sin(A-B)sin(A+B)
(sinBcosC+cosBsinC)(sinBcosC-cosBsinC)=(sinAcosB-cosAsinB)(sinAcosB+cosAsinB)
sin^2Bcos^2C-cos^2Bsin^2C=sin^2Acos^2B-cos^2Asin^2B
将系数为负的移项
sin^2Bcos^2C+cos^2Asin^2B=sin^2Acos^2B+cos^2Bsin^2C
sin^2B(cos^2C+cos^2A)=cos^2B(sin^2A+sin^2C)
根据sin^2B+cos^2B=1
可以得到
cos^2B=1-sin^2B
所以
sin^2B(cos^2C+cos^2A)=(1-sin^2B)(sin^2A+sin^2C)
将上式拆分
sin^2B(cos^2C+cos^2A)=(sin^2A+sin^2C)-sin^2B(sin^2A+sin^2C)
将系数为负的移项
sin^2B(cos^2C+cos^2A+sin^2A+sin^2C)=sin^2A+sin^2C
因为
cos^2A+sin^2A=1
cos^2C+sin^2C=1
所以
2sin^2B=sin^2A+sin^2C
所以
2(b/d)^2=(a/d)^2+(c/d)^2
即2b^2=a^2+c^2
所以命题得证

对角相乘 sinCsin(A-B)=sinAsin(B-C)
化解 sinCsinAcosB-sinCcosAsinB=sinAsinBcosC-sinAcosBsinC
移项 2sinAcosBsinC=sinB（sinCcosA+sinAcosC）
=sinBsin(A+C)=sinBsin(180-B)=sinBsinB
在三角形中，对应边与对应角的关系为
a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC (R为三角形外接圆的半径)
上式两边同时乘以4R^2 得 2accosB=b^2
根据余弦定理 2accosB=a^2+c^2-b^2
因此得证:a^2+c^2=2b^2

（b^2+c^2-a^2)/(a^2+c^2-b^2)=sin^2b/sin^2a
根据正弦定理
sinb/sina=b/a
∴（b^2+c^2-a^2)/(a^2+c^2-b^2)=b^2/a^2
∴a²b²+a²c²-a⁴=a²b²+b²c²-b²
∴a⁴-b⁴=a²c²-b²c²
(a²+b²)(a²-b²)=c²(a²-b²)
∴a²=b²或a²+b²=c²
∴a=b或∠c=90º
∵sinc=cosa≠1
∴c≠90º,
只有a=b
∴c=180º-2a
又sinc=cosa=sin(90º-a)
c≠90º-a
(否则b=90º)
∴c+90º-a=180º
∴c=90º+a
即解得a=b=30º,c=120º

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乐安县13197836061： 在三角形ABC中,已知sinA+sinC=2sinB,∠B=30度,若三角形ABC的面积为二分之一,则∠B的对边b等于多少 - ？
仁浦立加： 因为sinA+sinC=2sinB,所以a+c=2b,4b²=a²+c²+2ac; 因为b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-√3ac; 可以求出:ac=3(2-√3)b²; 三角形面积S=√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)/16]=1/2 所以(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=4,因为a+c...

乐安县13197836061： 在三角形ABC中 已知sinA加cosA等于5分之3 则角A 为在三角形ABC中 已知sinA加cosA等于5分之3 则角A 为 - ？
仁浦立加：[答案] 在三角形ABC中,sinA+cosA=3/5(a的平方记为a^2) (sinA+cosA)^2=1+2sinAcosA=9/25 2inAcosA=-16/25 (sinA-cosA)^2=41/25 因为A是钝角,所以sinA-cosA>0 所以sinA-cosA=根号41/5 解方程组sinA+cosA=3/5,sinA-cosA=根号41/5 可解出sinA,...

乐安县13197836061： 在三角形ABC中,已知sinA:sinB:sinC=1:2:3 ,判断 ABC的形状 - ？
仁浦立加： sinA:sinB:sinC=1:2:3 所以 a:b:c=1:2:3 A+B+C=180度 大角对大边 角C=90度 角B=60度 角A=30度 直角三角形

乐安县13197836061： 在三角形ABC中 已知sinA =4/5,cos B=5/13 那么cosC的值是sinb>0sin²b+cos²b=1所以sinb=12/13sin²a+cos²a=1所以cosa=±3/5sinc=sin[180 - (a+b(]=sin(... - ？
仁浦立加：[答案] cos a = -cos(180 - a),对任何角都是满足的,不是只对于大于90度的角. cos(180 - a) = -cos(-a) = -cos a

乐安县13197836061： 在三角形abc中已知sina=1/3,求sin(b+c)、cos(b+c) - ？
仁浦立加：[答案] 仅供参考! a+b+c=π 应用三角函数诱导公式得: sin(b+c)=sin a=1/3; ∵sin ²a+cos ²a=1 ∴cos a=√2/3或-√2/3 再次应用三角函数诱导公式得: cos (b+c)=-cos (a)=-√2/3或√2/3 √ 表示根号,(根号不好打)

乐安县13197836061： 在三角形ABC中已知sinA=3/5,B=2π/3,c=4 - 根号3,则a=? - ？
仁浦立加：[答案] 在△ABC中已知sinA=3/5,B=2π/3,c=4-√3,则a=? A=arcsin(3/5),故C=π-[2π/3+arcsin(3/5)]=π/3-arcsin(3/5); 故a=(csinA)/sinC=(4-√3)(3/5)/sin[π/3-arcsin(3/5)] =[3(4-√3)/5]/[sin(π/3)cosarcsin(3/5)-cos(π/3)sinarcsin(3/5)] =[3(4-√3)/5]/[(√3/2)(4/5)-(1/2)...

乐安县13197836061： 在三角形ABC中,已知sinA+sinC=2sinB,且B=60度,若三角形ABC的面积为[根号3/2],则角B的对边b等于 - ？
仁浦立加：[答案] sinA+sinC=2sinB 根据正弦定理 a+c=2b a²+c²+2ac=4b² 三角形ABC的面积为[根号3/2] S△=1/2acsinB √3/2=1/2acsin60° ac=2 a²+c²=4b² -4 根据余弦定理 b²=a²+c²-2accosB b²=4b² -4-2 3b²=6 b=√2

乐安县13197836061： 在三角形ABC中,已知sinA和sinB,如何求sinC?是在任意三角形中,不一定是直角 - ？
仁浦立加：[答案] 答: 已经知道sinA和sinB,则根据sin²A+cos²A=1可以算出cosA 根据sin²B+cos²B=1可以算出cosB 则:sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 但是要讨论或者根据其他条件确定cosA和cosB的正负号. 三角形中最多有一个角的余弦值为负数(就...

乐安县13197836061： 在三角形ABC中,已知sinA+sinC=2sinB,且最大角与最小角之差为90度,求三边长之比...说一下原因... - ？
仁浦立加：[答案] sinA,sinB,sinC成等差数列,角B不可能为最大角或最小角不妨设A为最大角,sinC=sin(A-90度)=-cosA cosC=cos(A-90度)=sinAsinA+sinC=2sinB=2sin(A+C)sinA+sinC=2sinAcosC+2cosAsinCsinA(2cosC-1)+sinC(2cosA-1)=0sinA(2s...

乐安县13197836061： 已知在三角形ABC中,sinA+cosA=1/5,判断三角形形状.求tanA的值 - ？
仁浦立加： (sinA+cosA)^2=1+2sinAcosA=1/25 所以 sinAcosA=-12/25 得:cosA故 角A为钝角 sinA,cosA是方程X^2-X/5-12/25=0的两个根 所以:sinA=3/5 cosA=-4/5 tanA=-3/4 很高兴为你解决问题,新年快乐!