如何巧解小学六年级工程问题?
工程问题无非就是几分之一的问题
你可以吧总工程量设为1
那么甲每天就可以工作几分之一(分母是甲单独完成的总天数)
然后可以设乙每天工作X分之一
用1除以甲和乙每天工程量的和
等于甲乙两人工作总天数
解方程就能得出来了
在日常生活中,做某一件事,制造某种产品,完成某项任务,完成某项工程等等,都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量,它们之间的基本数量关系是 ——工作量=工作效率×时间
在小学数学中,探讨这三个数量之间关系的应用题,我们都叫做“工程问题”. 举一个简单例子.:一件工作,甲做15天可完成,乙做10天可完成.问两人合作几天可以完成? 一件工作看成1个整体,因此可以把工作量算作1.所谓工作效率,就是单位时间内完成的工作量,我们用的时间单位是“天”,1天就是一个单位, 再根据基本数量关系式,得到 所需时间=工作量÷工作效率 =6(天)• 两人合作需要6天. 这是工程问题中最基本的问题,这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的。为了计算整数化(尽可能用整数进行计算),如第三讲例3和例8所用方法,把工作量多设份额.还是上题,10与15的最小公倍数是30。设全部工作量为30份,那么甲每天完成2份,乙每天完成3份,两人合作所需天数是 30÷(2+ 3)= 6(天) 如果用数计算,更方便. 3:2.或者说“工作量固定,工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是10∶15=2∶3
参考资料:百度百科
一、用单位“1”来解答
【例1】一项工程,由甲队做12天,乙队做20天,两队合做需要几天?
【分析】把这项工程总量看作单位“1”。甲队做一天完成这项工程的 1/12 ;乙队做一天完成这项工程的1/20 ;甲、乙两队合做一天完成这项工程的(1/12 + 1/20 )= 2/15 ,工作总量“1”中包含了多少个2/15 ,就是两队合做完成这项工程的天数。
1÷( 1/12 + 1/20 )=7.5(天)
【点评】这是一道工程问题的基本题,把工作总量看作单位“1”,用工作总量除以工作效率的和,就可以求出完成这项工程所用的时间。
二、用份数解答
【例2】一项工程,甲单独做需要12天完成,乙单独做需要15天,现甲单独做了3天后,乙再加入一起做,还需要几天完成?
【分析】把这项工程的总量平均分成(12×15)份,从甲乙两人单独完成分别要12、15天,得知甲、乙每天分别完成这一工程的15、12份,每天可以合做(15+12)份,甲先做了3天,即做了(15×3)份,剩下的是(12×15-15×3)份,乙加入后合做还需的时间:(12×15-15×3)÷(15+12)=5(天)
【评点】解答这种应用题时,关键是把甲、乙两人单独做所需时间的乘积看作总份数。
三、用倍数关系解答
【例3】加工一批零件,师傅单独做14天完成,若师徒二人合做10天,由徒弟一人做需多少天完成?
【分析】师傅做10天+徒弟做10天完成全部工作;
师傅做14天(10天+4天)完成全部工作;由此我们看出,师傅4天的工作量=徒弟10天的工作量,即师傅的工作效率是徒弟的2.5倍,所以徒弟单独做需14×2.5=35(天)。
【点评】在解答这道题时,利用师傅的工作效率是徒弟的2.5倍,从而简单地求出徒弟单独做所需要的天数。
以上几例,由于采用了一些特殊的方法去分析思考,能化难为易,化繁为简,为工程问题提供了新的解题方法,开拓了学生的解题思路,培养了学生的创造性思维能力。
1.钟声
小明家离火车站很近,他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大楼的钟,每敲响一下延
时3秒,间隔1秒后再敲第二下。
假如从第一下钟声响起,小明就醒了,那么到小明确切判断出已是清晨6点,前后共经过了几
秒钟?
2.越减越多
同学们对这样的问题可能并不陌生:“一个长方形被切去1个角,还剩几个角?”这种题的最
大特点是答案不唯一,要根据去掉的这个角的不同情况来确定“剩角”的多少。
图1
以上3幅示意图,表明了3种不同情况的3种不同答案。其中第3种情况最有趣,长方形原有
4个角,切去了1个角,反而多了1个角,出现了越减越多的情况。下面一道题的思考方法与上题
类似,看你能否正确回答。
“一个正方体,锯掉一个角,还剩几个角?”请注意,这里的“角”是立体的“角”,它不同
于平面上的角。
3.数一数
如果有人问你“会数数儿吗?”,你会不屑一顾地说:“这么大了,还不会数数儿!”其实,
数数儿的学问还是很大的。不信,请你数出下面几何图形的个数。
图2
4.画一画
下面这些图形你能一笔画出来吗?(不重复画)
图3
5.最短的路线
养貂专业户养殖场内安置了9个貂笼(如下图)。为了节省每次喂食的时间,他必须走一条最
短的路,但又
图4
不能漏掉一个貂笼,喂完食后还要回到原出发点。你能替他设计一条最短的路线吗?并算出每
喂食一次,至少要走多少米的路。
6.切西瓜
六(1)班召开夏夜乘凉晚会,买来了许多西瓜。班主任李老师说:“今天买来了许多西瓜请
大家吃。在吃以前我先要以切西瓜为名请大家做一道数学题。我规定,西瓜只能竖切,不能横剖。
大家知道,切一刀最多分成2块,切2刀最分成多4块,那么切3刀最多能分成几块?切4刀、切
5刀、切6刀呢?这中间有没有规律?如果有规律,请同学们找出来。”李老师刚说完,同学们就
七嘴八舌地讨论起来。请你也参加他们的讨论吧。
7.均分承包田
有一块等腰梯形菜地(如下图),地边有一口水井。现在3户种菜专业户都提出要承包这块地。
经研究,决定让这3户共同承包这块地,因此必须把这块地分成面积相等、形状相同且与这口水井
的距离也要相等的3块地。
你能帮助解决这个问题吗?
图5
8.巧分食盐水
大家在常识课上认识了量杯。快下课时,王老师让我们用手中的量杯做
一个智力小游戏:
有30毫升、70毫升、100毫升的量杯各1个,请你用这三个量杯把水槽中的100毫升
食盐水平均分成两份,但分的时候不准看量杯的刻度。大家动手试一试,至少要分几次才成?
9.扩大鱼池
养鱼专业户张强,去年承包了一个叫“金三角”的鱼池(如下图),喜获丰收。为了进一步增
产,决定把鱼池扩大。但有这样的要求:①扩大后的鱼池必须仍是三角形,保持“金三角”鱼池的
称号;②扩大后的鱼池面积是原面积的4倍;③原鱼池的三个角上栽的3棵大柳树不能移动。你能
替张强设计一个施工草图吗?
10.巧妙的算法(一)11=122=1+3
32=1+3+542=1+3+5+7
…………
请你仔细观察上面这些算式,试着找出某种规律,并利用
这个规律迅速算出下面式子的答案:
(1)1+3+5+7+9+11+13+15
(2)1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37
+39 1.钟声
小明家离火车站很近,他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大楼的钟,每敲响一下延
时3秒,间隔1秒后再敲第二下。
假如从第一下钟声响起,小明就醒了,那么到小明确切判断出已是清晨6点,前后共经过了几
秒钟?
分析与解从第一下钟声响起,到敲响第6下共有5个“延时”、5个“间隔”,共计(3+ 1
)×5= 20秒。当第6下敲响后,小明要判断是否清晨6点,他一定要等到“延时3秒”和“间
隔1秒”都结束后而没有第7下敲响,才能判断出确是清晨6点。因此,答案应是:(3+1)×
6= 24(秒)。
2.越减越多
同学们对这样的问题可能并不陌生:“一个长方形被切去1个角,还剩几个角?”这种题的最
大特点是答案不唯一,要根据去掉的这个角的不同情况来确定“剩角”的多少。
以下3幅示意图,表明了3种不同情况的3种不同答案。其中第3种情况最有趣,长方形原有
4个角,切去了1个角,反而多了1个角,出现了越减越多的情况。下面一道题的思考方法与上题
类似,看你能否正确回答。
图13
“一个正方体,锯掉一个角,还剩几个角?”请注意,这里的“角”是立体的“角”,它不同
于平面上的角。
分析与解锯掉角的情况有4种,因此剩角的答案也有4种(如14图所示)。
图14
3.数一数
如果有人问你“会数数儿吗?”,你会不屑一顾地说:“这么大了,还不会数数儿!”其实,
数数儿的学问还是很大的。不信,请你数出下面几何图形的个数。
图15
分析与解图(1)中:边长1个单位的三角形有12个;边长2个单位的
三角形有6个,边长3个单位的三角形有2个。
一共有三角形20个。
图(2)中:先按公式,计算出边长8个单位的大正方形中,共有(12
+22+32+42+52+62+72+82)=204个正方形;然后再分别计算左、右两侧
各多出的一部分构成13×2=26个正方形;最后计算出共有大、小不同的正方
形204+26= 230个。
图(3)中:共有长方形(1+2+3+4+5)×(1+2+3+4)=15×10=150
(个)。
图(4)中:共有梯形(1+2+ 3+ 4+ 5)×(1+ 2+ 3)= 15×6= 90(个)。
4.画一画
下面这些图形你能一笔画出来吗?(不重复画)
图16
分析与解一笔画需要解决两个关键问题。一个是这幅图能不能一笔画?
另一个是,若能一笔画,应该怎样画?对于这两个问题,数学家欧拉在1736年研究了“哥
尼斯堡七桥”的问题后,做了相当出色的回答。他指出,如果一幅图是由点和线连接组成,那么与
奇数条线相连的点叫“奇点”;与偶数条线相连的点叫“偶点”。
例如,在图17中,B为奇点,A和C为偶点。
图17
如果一幅图的奇点的个数是0或是2,这幅图可以一笔画,否则不能一笔画。这是对第一个问
题的回答。欧拉又告诉我们,如果一幅图中的点全是偶点,那么,你可以从任意一个点开始画,最
后还回到这一点;如果图中只有两个奇点,那么必须从一个奇点开始画,并结束于另一个奇点。
本题的4幅图,其中图(1)、(4)各有两个奇点,图(2)、(3)的奇点个数为0。因
此这4幅图都可一笔画。画法请参看图
图18
5.最短的路线
养貂专业户养殖场内安置了9个貂笼(如下图)。
为了节省每次喂食的时间,他必须走一条最短的路,但又不能漏掉一个貂笼,喂完食后还要回
到原出发点。你能替他设计一条最短的路线吗?并算出每喂食一次,至少要走多少米的路。
分析与解要给9个貂笼的貂分别喂食,最短的路线不止一条。我们只给出其中的一种如图20
所示。
我们选择这条路线的根据是:(1)尽量多走3米长的貂笼间隔,少走4米长的貂笼间隔;(
2)根据勾股定理,第⑨步走斜边(长5米,这是因为52= 32+42)比走两条直角边(3+
4= 7米)要少走2米。
他每喂食一次,至少要走3×5+4×3+ 5= 32(米)。
图20
6.切西瓜
六(1)班召开夏夜乘凉晚会,买来了许多西瓜。班主任李老师说:“今天买来了许多西瓜请
大家吃。在吃以前我先要以切西瓜为名请大家做一道数学题。我规定,西瓜只能竖切,不能横剖。
大家知道,切一刀最多分成2块,切2刀最多分成4块,那么切3刀最多能分成几块?切4刀、切
5刀、切6刀呢?这中间有没有规律?如果有规律,请同学们找出来。”李老师刚说完,同学们就
七嘴八舌地讨论起来。请你也参加他们的讨论吧。
分析与解分割圆时,切的刀数和最多可分的块数之间有如下规律:切n刀时,最多可分成:(
1+ 1+ 2+3+……+ n)块。
经整理,可归纳成公式:。其中表示切的刀数举例如图
nn22
2
+ +
n
21所示。
图21
7.均分承包田
有一块等腰梯形菜地(如下图),地边有一口水井。现在3户种菜专业户都提出要承包这块地。
经研究,决定让这3户共同承包这块地,因此必须把这块地分成面积相等、形状相同且与这口水井
的距离也要相等的3块地。
你能帮助解决这个问题吗?
图22
分析与解分法如图23所示。我们只要把等腰梯形上底的两个端点,分别与水井连接,这样就
把这块菜地分成符合题意的3块了。
图23
8.巧分食盐水
大家在常识课上认识了量杯。快下课时,王老师让我们用手中的量杯做
一个智力小游戏:
有30毫升、70毫升、100毫升的量杯各1个,请你用这三个量杯把水槽中的100毫升
食盐水平均分成两份,但分的时候不准看量杯的刻度。大家动手试一试,至少要分几次才成?
分析与解至少分9次。这种题,一般统称为分液问题。解答时,最好用列表的方法。本题解答
方法,如下表所示(这不是唯一的方法):
杯子容量
杯中盐水
分的次数
100毫升70毫升30毫升
130700
2304030
360400
4601030
590100
690010
7207010
8205030
950500
9.扩大鱼池
养鱼专业户张强,去年承包了一个叫“金三角”的鱼池(如图24),喜获丰收。为了进一步
增产,决定把鱼池扩大。但有这样的要求:①扩大后的鱼池必须仍是三角形,保持“金三角”鱼池
的称号;②扩大后的鱼池面积是原面积的4倍;③原鱼池的三个角上栽的3棵大柳树不能移动。你
能替张强设计一个施工草图吗?
分析与解草图如图25所示。
我们只要过三角形的三个顶点,分别作它们所对的边的平行线,两两相交,成一个大三角形,
这个大三角形的面积是原三角形面积的4倍。
10.巧妙的算法(一)
11=122=1+3
32=1+3+542=1+3+5+7
…………
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