判别式与根的情况
根的判别式是判断方程实根个数的公式,在解题时应用十分广泛,涉及到解系数的取值范围、判断方程根的个数及分布情况等。
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是b^2-4ac,用“△”表示(读做“delta”)。
扩展资料
一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式,通常用希腊字母“Δ”表示它,即Δ=b2-4ac.
当Δ>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根;
当Δ=0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根;
当Δ<0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
例题讲解:已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|。
求证:对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根;
证明:原方程可化为
x2-5x+6-|m|=0,(很重要的的一步)
∴Δ=(-5)2-4×1×(6-|m|)
=25-24+4|m|
=1+4|m|.
∵ |m|≥0,
∴ 1+4|m|>0.
参考资料百度百科 -判别式
判别式>0时有两个不等的实数根,判别式=0时,方程有两个相等的实数根,当判别式<0时,方程没有实数根。
判别式[编辑本段]定义
任意一个一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)均可配成(x+(b/2a))^2=b^2-4ac,因为a≠0,由平方根的意义可知,b^2-4ac的符号可决定一元二次方程根的情况.
b^2-4ac叫做一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,用“△”表示(读做delta),即△=b^2-4ac.
1 一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的根的情况判别
(1)当△>0时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当△=0时,方程有两个相等的实数根;
(3)当△<0时,方程没有实数根.
(1)和(2)合起来:当△≥0时,方程有两实数根.
上面结论反过来也成立.可以具体表示为:
在一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)中,
①当方程有两个不相等的实数根时,△>0;
②当方程有两个相等的实数根时,△=0;
③当方程没有实数根时,△<0。
注意 根的判别式是△=b^2-4ac,而不是△=sqrt(b^2-4ac) 。(sqrt指根号)
2 一元二次方程的判别式的应用
(1)不解方程,判别一元二次方程根的情况.
它有三种不同层次的类型:
①系数都为数字;
②系数中含有字母;
③系数中的字母人为地给出了一定的条件.
(2)根据一元二次方程根的情况,确定方程中字母的取值范围或字母间关系.
(3)应用判别式证明方程根的情况(有实根、无实根、有两不等实根、有两相等实根)
[编辑本段]应用
① 不解一元二次方程,判断根的情况。
② 根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。
③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④ 应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤ 判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式
⑥ 可以判断抛物线与直线有无公共点
联立方程。
⑦ 可以判断抛物线与x轴有几个交点
抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点 (1)当y=0时,即有ax^2+bx+c=0,要求x的值,需解一元二次方程ax^2+bx+c=0。可见,抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的情况确定的,而决定一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的情况的,是它的判别式的符号,因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形:
① 当Δ>0时,抛物线与x轴有两个交点,若此时一元二次方程ax^2+bx+c=0的两根为x1、x2,则抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1,0)(x2,0)。
②当Δ=0时,抛物线与x轴有唯一交点,此时的交点就是抛物线的顶点,其坐标是(-b/2a)。
③当 Δ<0时,抛物线与x轴没有交点。
⑧ 利用根的判别式解有关抛物线(Δ>0)与x轴两交点间的距离的问题.
⑨当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下。
大于0,两根
等于0,一个根
小于0,没有根
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